高中湘教版（2019）4.5 函数模型及其应用课后练习题

这是一份高中湘教版（2019）4.5 函数模型及其应用课后练习题，共4页。

1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－1)；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2x)－1.
A．0个 B．1个
C．3个 D．4个
解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确．
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·2x，x≥0，,2－x，x<0，))若f(f(－1))＝1，则a＝( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．1 D．2
解析：选A 根据题意可得f(－1)＝21＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝a·22＝1，解得a＝eq \f(1,4)，故选A.
3．若指数函数y＝f(x)的图象过点(2，4)，则f(3)的值为( )
A．4 B．8
C．16 D．1
解析：选B 设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，a≠1)，又由函数的图象经过点(2，4)，则a2＝4，解得a＝2或a＝－2(舍)，即f(x)＝2x，所以f(3)＝23＝8，故选B.
4．已知f(x)＝ax＋a－x(a>0，且a≠1)，且f(1)＝3，则f(0)＋f(1)＋f(2)的值是( )
A．14 B．13
C．12 D．11
解析：选C 由f(x)＝ax＋a－x得f(0)＝a0＋a0＝2.
又f(1)＝3，即a＋a－1＝3，∴(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝9，∴a2＋a－2＝7，即f(2)＝7.
因此，f(0)＋f(1)＋f(2)＝2＋3＋7＝12，故选C.
5．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是( )
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝eq \f(f（x）,f（y）)
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)
D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
解析：选ABD f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A中的等式正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝eq \f(ax,ay)＝eq \f(f（x）,f（y）)，故B中的等式正确；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))＝aeq \s\up6(\f(x,y))＝(ax)eq \s\up6(\f(1,y))，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)eq \s\up6(\f(1,y))，故C中的等式错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D中的等式正确．
6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________．
解析：由指数函数的定义得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－2a＋2＝1，,a＋1>0，,a＋1≠1，))
解得a＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，其图象经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为________．
解析：由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝5，,a0＋b＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝3.))所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋3，所以f(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－2)＋3＝4＋3＝7.
答案：7
8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低eq \f(1,3)，则现在价格为8 100元的计算机经过15年价格应降为________．
解析：5年后价格为8 100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))；10年后价格为8 100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(2)；15年后价格为8 100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(3)＝2 400(元)．
答案：2 400元
9．某生态文明小镇2018年底人口为20万人，人均住房面积为8 m2，计划2022年底人均住房达到10 m2，如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万平方米？(精确到1万平方米)
解：设这个城市平均每年要新增住房x万m2，
据题意可得20×8＋4x＝20(1＋1%)4·10，所以x＝50×1.014－40≈12.
所以这个城市平均每年至少需新增住房12万m2.
10．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
解：(1)由a2＋a－5＝1，a>0，且a≠1，
可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x.
(2)F(x)＝2x－2－x，
∴F(－x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数．
[B级 综合运用]
11．池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是( )
A．第15天 B．第20天
C．第25天 D．第29天
解析：选D 因为浮萍覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍，且第30天时刚好被浮萍盖满，所以可知第29天时刚好覆盖池塘的一半．故选D.
12．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(ax)，a为常数，且函数的图象过点(－1，2)，则a＝________，若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，则x＝________．
解析：因为函数的图象过点(－1，2)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－a)＝2，所以a＝1，
所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，g(x)＝f(x)可变形为4－x－2－x－2＝0，
解得2－x＝2，所以x＝－1.
答案：1 －1
13．已知函数f(x)满足：对任意实数x1解析：∵x1∴f(x)为增函数．
∵f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)符合指数函数的性质，
∴满足条件的函数可以是y＝ax(a>1)．
答案：y＝2x(底数大于1的指数函数即可)
14．有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．
乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．
请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？
解：设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4.01a.
乙方案在10年后的木材产量为
y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.
∵a>0，∴4.98a>4.01a，即y2>y1，
∴乙方案能获得更多的木材．
[C级 拓展探究]
15．已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，eq \f(f（1）,f（0）)＝eq \f(1,2)，eq \f(f（2）,f（1）)＝eq \f(1,2)，…，eq \f(f（n）,f（n－1）)＝eq \f(1,2)，n∈N＋，求函数y＝f(x)的一个解析式．
解：当x增加1时函数值都以eq \f(1,2)的衰减率衰减，
所以函数f(x)为指数型函数，
令f(x)＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)(k≠0)，
又f(0)＝3，所以k＝3，
所以f(x)＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x).