（人教A版2019）高二数学选修二 专题06 导数与函数的单调性（课时训练）

专题06 导数与函数的单调性

A组 基础巩固

1．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

求出函数的导函数，根据函数在区间上单调递增，可得在恒成立，从而可得出答案.

【详解】

解：，

因为，所以，

因为函数在区间上单调递增，

所以在恒成立，

即在恒成立，

所以，因为，所以，

所以，

故选：C.

2．已知函数，，设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用导数判断函数的单调性，再利用指数函数和对数函数的性质比较的大小，从而可比较出三个数的大小

【详解】

由，得，

所以在上为增函数，

因为在上为减函数，且，

所以，

因为在上为增函数，且，

所以，

因为在上为增函数，且，

所以，

所以，

因为在上为增函数，

所以，

即，

故选：D

3．若函数h(x)＝2x－在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是（       ）

A． B．(2，＋∞) C． D．(－∞，2)

【答案】C

【解析】

【分析】

h(x)在(1，＋∞)上是增函数，等价于其导数在(1，＋∞)上恒大于或等于0.

【详解】

，，

∵函数在上是增函数，∴在上恒成立，

即在上恒成立，

∵在上，

.

故选：C.

4．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

分析可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出，求出在时的取值范围，即可得出实数的取值范围.

【详解】

因为，则，

由题意可知对任意的恒成立，则对任意的恒成立，

当时，，.

故选：B.

5．函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

求出导函数，由于函数在区间，单调递增，可得在区间，上恒成立求解即可.

【详解】

由得，

函数在区间，单调递增，

在区间，上恒成立.

，

而在区间，上单调递减，

.

的取值范围是：，.

故选：A.

6．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是 （       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即得.

【详解】

由函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图像自左至右是先减后增，可知函数y＝f (x)图像的切线的斜率自左至右先减小后增大，且，在处的切线的斜率为0，故BCD错误，A正确.

故选：A.

7．函数的单调递减区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先求函数的定义域，然后再通过求导，令导函数小于0，求出x的范围，跟定义域求交集即可完成求解.

【详解】

，定义域为，其导数，在区间上，，函数单调递减.

故选：D.

8．下列函数中，在为增函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复合函数的单调性判断ABC，利用导数判断D．

【详解】

解：A不正确，在每一个单调区间上增，在不是增函数，时函数不存在；B是对称轴为，在不是增函数；C在为减函数，D求导得可，可知D正确

故选：D．

9．若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则实数a的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意可得当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，分离参数，即 恒成立，然后变为函数的最值问题求解即可.

【详解】

函数h(x)＝ln x－ax2－2x,故 ，

因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，

即（x∈[1,4]）恒成立，

令，则，

而，

因为x∈[1,4]，所以 ，所以， (此时x＝4)，

所以 ，又因为a≠0，所以a的取值范围是，

故答案为：　

10．若函数在R上是增函数，则实数的取值范围是____________.

【答案】

【解析】

【分析】

对给定函数求导，再借助导数值恒大于等于0求解作答.

【详解】

因函数在R上是增函数，则，，

即恒成立，而有最大值，则，

所以实数的取值范围是.

故答案为：

11．函数的减区间是____________.

【答案】##

【解析】

【分析】

求出，然后由可得答案.

【详解】

由可得

所以由可得

所以函数的减区间是

故答案为：

12．已知函数，若，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据的奇偶性和单调性，结合导数的使用，求解不等式即可.

【详解】

因为的定义域为，且，故为奇函数；

又，故为单调增函数；

则，即，也即，

整理得，解得.

故答案为：.

B组 能力提升

13．（多选题）已知函数，则（       ）

A．在上是减函数 B．在，上是减函数

C．的单调递增区间为和 D．在和上是增函数

【答案】BCD

【解析】

【分析】

求出函数的定义域与导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.

【详解】

的定义域为.

，

令，得或，

所以的单调递增区间为和，

在和上是增函数.

令，得或.

所以在和上是减函数，

故选：BCD.

14．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间：

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)单调增区间为

(2)

【解析】

【分析】

（1）对函数求导后，令导函数大于零，解不等到式可求出函数的增区间，

（2）由恒成立，可得恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值，然后使其最小值大于，从而可求出实数的取值范围

(1)

，

，

令，即，

解得，

的单调增区间为；

(2)

当时，由已知得当时，

即恒成立，

设，

，

由，得，

在单调递减，在单调递增，

当时，，

，

在为增函数，

，

，解得，

的取值范围为

15．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，且，求证：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求导，分和，讨论求解；

（2）由， 得到，令，利用导数法得到时， 或证明.

(1)

解：，

当时，，在R上单调递增，

当时，由，得；由，得．

∴在上单调递减，在上单调递增．

综上所述，当时，在R上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

(2)

证明：由，得，

即，，

令，则．

∵，

∴在上单调递增，在上单调递减．

当时，，∴或，

①若，显然

②若，要证，只需证，

即证，若能证，则原命题得证，

令，，

，

∵，∴，，∴，

∴在单调递增，∴，

∴，原命题得证．

综上所述，．

【点睛】

关键点点睛：当时，关键是将证，转化为证，然后令，，利用导数而得解.

16．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)求函数的零点个数．

【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；

(2)当，无零点；当，有一个零点；当，有两个零点.

【解析】

【分析】

（1）求得，对参数分类讨论，即可求得的单调性；

（2）根据（1）中所求单调性，利用零点存在定理，分类讨论求解即可.

(1)

因为，定义域为，又，

当时，，则在上单调递增；当时，令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在单调递减，在单调递增.

(2)

当时，在上单调递增，且恒成立，无零点；

当时，在上单调递增，且，

故在存在一个零点；

当时，由（1）可知，，

若，此时无零点；

若，，此时有一个零点；

若，，又，故在，有一个零点，

又，令，

则，，在单调递增，故，

故，则在，有一个零点，

即当时，有两个零点.

综上所述：当，无零点；当，有一个零点；

当，有两个零点.

【点睛】

本题考察利用导数研究含参函数单调性和零点个数的研究，涉及分类讨论、构造函数以及零点存在定理，属综合困难题.

17．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若函数，不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；

(2).

【解析】

【分析】

（1）求得，对参数进行分类讨论，即可利用导数求得函数的单调性；

（2）根据的单调性，结合的单调性以及，即可利用导数求得参数的范围.

(1)

．

①当时，，在上单调递增；

②当时，令，得．

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在单调递减，在单调递增.

(2)

由题意，函数，且在上恒成立，

先由，可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

当时，函数．

再令，且，可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

当，函数取得最小值，为，

，即在区间上恒成立．

由（1）知，当时，在上单调递增，

在上恒成立，符合题意；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

在上不恒成立．

综上可得，实数a的取值范围是．

【点睛】

本题考察利用导数研究函数的单调性，以及由不等式求参数的范围问题；其中第一问处理的关键是，对参数合理的分类；第二问处理的关键是利用的单调性，结合的值域，合理转化，属综合困难题.

18．已知函数，．

(1)求的单调区间；

(2)当时，求证：在上恒成立．

【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性从而求得函数单调区间；

（2）根据题意，转化目标不等式为，分别构造函数，，利用导数研究其单调性，即可证明.

(1)

因为，故可得，又为单调增函数，

令，解得，故当时，；当时，，

故的单调减区间为，单调增区间为.

(2)

当时，，要证，即证，

又，则只需证，即证，

令，，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

故当时，取得最大值；

令，，又为单调增函数，且时，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

故当时，取得最小值.

则，且当时，同时取得最小值和最大值，故，

即，也即时恒成立.

【点睛】

本题考察利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究恒成立问题；处理本题的关键是合理转化目标式，属中档题.

19．已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)的单减区间为，单增区间为和．

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据导数的正负，求得函数的单调增、减区间；

（2）先根据，求得，然后当时，利用放缩法，结合（1）中的结论，证得对于恒成立，从而得到的取值范围.

(1)

解：由，则，

，

令，得或；令，得，

所以的单减区间为，单增区间为和．

(2)

解：由当时，恒成立，∴，解得；

当时，，

记，由（1）可知，在单调递减，在单调递增，所以，即．

综上可知，实数a的取值范围是．