人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置同步练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置同步练习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
已知集合A=x,y|xx−1+yy−1≤r，集合B=(x,y)x2+y2≤r2，若A⊆B，则实数r可以取的一个值是( )
A. 2+1B. 3C. 2D. 1+22
两圆相交于两点(1,3)和(m,1)，两圆的圆心都在直线x−y+c2=0上，则m+c=( )
A. −1B. 2C. 3D. 0
若圆(x−a)2+(y−b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长，则a，b满足的关系是( )
A. a2+2a+2b−3=0B. a2+2a+2b+5=0
C. a2+b2+2a+2b+5=0D. a2−2a−2b+5=0
圆心为2,0的圆C与圆x2+y2+4x−6y+4=0相外切，则圆C的方程为( )
A. x2+y2−4x+2=0B. x2+y2−4x=0
C. x2+y2+4x+2=0D. x2+y2+4x=0
圆(x+3)2+(y+4)2=16与圆x2+y2=4的位置关系为（ ）
A. 相离B. 内切C. 外切D. 相交
圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x−2y=0的位置关系是（ ）
A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离
已知圆C1：x2+y2−2mx+m2=4，圆C2：x2+y2+2x−2my=8−m2(m>3)，则两圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离
已知圆C1：x2+y2−2ax+a2−1=0和圆C2：x2+y2−2by+b2−4=0恰有三条公共切线，则(a−3)2+(b−4)2的最小值为（ ）
A. 1+2B. 2C. 3−2D. 4
已知圆C1:(x+2)2+y2=1与圆C2:(x−a)2+y2=4相交，则实数a的取值范围是( )
A. 3C. −1已知圆C：x2+y2=1，点M为直线x−2y−6=0上一动点，过点M向圆C作切线MA，MB，A，B为切点，则直线AB经过定点( )
A. 13,−16B. 16,−13C. −16,13D. −13,16
若圆O1：(x−1)2+(y+2)2=4与圆O2：(x−4)2+(y−2)2=r2(r>0)相切，则r=( )
A. 3 或7B. 1或5C. 3D. 5
已知点A(−2,0)，B(2,0)，若圆(x−3)2+y2=r2(r>0)上存在点P(P不同于点A，B)，使得PA⋅PB=0，则实数r的取值范围是( )
A. (1,5)B. [1,5]C. (1,3]D. [3,5)
圆C1:x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2:x2+y2−4x−4y−1=0的公切线有( )条
A. 2条B. 1条C. 4条D. 3条
圆x2+y2−4x+6y=0和圆x2+y2−6x=0交于A,B两点，则直线AB的方程是（ ）
A. x+3y=0B. 3x−y=0C. 3x−y−9=0D. 3x+y+9=0
二、填空题
已知圆C1：(x−2)2+(y−3)2=1，圆C2：(x−4)2+(y−5)2=1，M，N分别为圆C1，C2上的动点，点P是x轴上的动点，则PM+PN的最小值为__________．
圆C1：x2+y2−4x+3=0与圆C2：(x+1)2+(y−4)2=a恰有三条公切线，则实数a的值是______．
圆x2+y2=16和圆(x−4)2+(y+3)2=R2(R>0)在一个交点处的切线互相垂直，则R= .
已知圆C1：x2+y2+2x+2y−2=0，圆C2：x2+y2−4x−2y+1=0，则两圆的位置关系为______(填“内含”、“内切”、“相交”、“外切”或“外离”)，它们的公切线条数为______．
在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P(异于原点O)为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2+(y−2)2=1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．
三、解答题
已知圆C1：x2+y2−4x+2y=0与圆C2：x2+y2−2y−4=0．
(1)求证两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程．
已知圆M：(x−a)2+y2=5与两条坐标轴都相交，且与直线x+2y−5=0相切．
(1)求圆M的方程；
(2)若动点A在直线x=5上，过A引圆M的两条切线AB，AC，切点分别为B，C，求证：直线BC恒过定点．
若实数x，y满足x2+y2+2x−4y+1=0，求下列各式的最大值和最小值．
(1)yx−4；
(2)3x−4y；
(3)x2+y2．
已知圆M:x2+(y-4)2=1，直线l:2x-y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B；
(1)若∠APB=60∘，求点P的坐标；
(2)若点P的坐标为(1,2)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=2时，求直线CD的方程；
(3)求证：经过A，P，M三点的圆与圆M的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解答】解：A=x,yx−122+y−122≤r+12，B=(x,y)|x2+y2≤r2．
根据选项分析，A，B分别表示两个圆及其内部，要满足A⊆B，即两圆内切或内含．
故圆心距O1O2=22≤r1−r2，
即22≤r−r+12
⇔r2−2⋅r⋅r+12+r+12≥12
⇔rr−2r+12+1≥0
⇔r−2r+12+1≥0
⇔r+1≥2r+12
⇔r2−2r−1≥0
⇔r≥1+2或r≤1−2(舍)．
显然，r≥1+2，故只有A项正确．
2.【答案】C
【解答】
解：已知两圆相交于两点(1,3)和(m,1)，且两圆的圆心都在直线x−y+c2=0上，
公共弦的斜率为：−1，经过(1,3)点的公共弦为：y−3=−1(x−1)，所以x+y−4=0，
又因为(m,1)在公共弦上，所以m+1−4=0，
解得m=3；
两点(1,3)和(3,1)的中点在连心线x−y+c2=0上，
即(2,2)在连心线x−y+c2=0上，所以c=0，
所以m+c=3．
故选C．
3.【答案】B
【解答】
解：∵圆(x−a)2+(y−b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长，
∴两圆的公共弦必过(x+1)2+(y+1)2=4的圆心，
两圆相减得相交弦的方程为−2(a+1)x−2(b+1)y+a2+1=0，
将圆心坐标(−1,−1)代入可得a2+2a+2b+5=0．
故选B．
4.【答案】B
【解答】
解：圆x2+y2+4x−6y+4=0，即(x+2)2+(y−3)2=9的圆心为M(−2,3)，半径为r=3，
|CM|=(2+2)2+(−3)2=5，
∴圆C的半径为5−3=2，
∴圆C的标准方程为：(x−2)2+y2=4，即x2+y2−4x=0．
故选B．
5.【答案】D【解答】
解：根据题意，圆(x+3)2+(y+4)2=16的圆心为(−3,−4)，半径r1=4，
圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径r2=2，
两圆的圆心距d=9+16=5，
有r1−r2=2故选D．
6.【答案】A
【解析】解：圆心分别为(0,0)，(−1,1)，半径分别为2，2，
圆心距为：2，两圆半径之和为22
所以两圆相交．
故选：A．
7.【答案】D
【解答】
解：将两圆方程分别化为标准式得到圆C1：(x−m)2+y2=4；圆C2：(x+1)2+(y−m)2=9，
则圆心C1(m,0)，C2(−1,m)，半径r1=2，r2=3，
两圆的圆心距C1C2=(m+1)2+m2=2m2+2m+1>2×32+2×3+1=5=2+3，
则圆心距大于半径之和，
故两圆相离．
故选：D．
8.【答案】B
9.【答案】C
【解答】
解：圆C1:(x+2)2+y2=1的圆心C1(−2,0)，半径r1=1，
圆C2:(x−a)2+y2=4的圆心C2(a,0)，半径r2=2，
∵圆C1:(x+2)2+y2=1与圆C2:(x−a)2+y2=4相交，
∴r1−r2<|C1C2|即2−1解得−1故选C．
10.【答案】B
【解答】
解：因为P是直线x−2y−6=0上的任一点，设P(6+2m,m)，
圆x2+y2=1的两条切线为PA、PB，切点分别为A、B，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A、B在以OP为直径的圆上，圆心为M，即AB是圆M和圆C的公共弦，
圆心M的坐标是(3+m,m2 )，且半径的平方是r2=6+2m2+m24 ，
圆M方程为：x−3−m2+y−m22=6+2m2+m24，①
又x2+y2=1，②，
②−①得，(6+2m)x+my−1=0，
即公共弦AB所在的直线方程是：m(x+2y)+(6x−1)=0，
由x+2y=06x−1=0，解得：x=16,y=−13，
所以直线AB恒过定点16,−13．
故选B．
11.【答案】A
【解答】
解：根据题意，圆O1：(x−1)2+(y+2)2=4，其圆心为(1,−2)，半径R=2，
圆O2：(x−4)2+(y−2)2=r2，其圆心为(4,2)，半径为r，
则圆心距|O1O2|=(4−1)2+(2+2)2=5，
若两圆相切，则有|O1O2|=r+2=5或|O1O2|=r−2=5，解可得r=3或r=7；
故选：A．
12.【答案】A
【解答】
解：根据直径对的圆周角为90°，结合题意可得以AB为直径的圆和圆 (x−3)2+y2=r2有交点，
显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交．
而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，两个圆的圆心距为3，
故|r−2|<3<|r+2|，求得1故选A.
13.【答案】D
【解答】
解：圆C1：x2+y2+2x+4y+1=0，可化为(x+1)2+(y+2)2=4，圆心为C1−1,−2，半径为r1=2
圆C2：x2+y2−4x−4y−1=0，可化为(x−2)2+(y−2)2=9，圆心为C22,2，半径为r2=3，
因为C1C2=(2+1)2+(−2−2)2=9=r1+r2，
所以两圆外切，
所以两圆的公切线的条数为3，
故选D．
14.【答案】A
【解析】解：圆：x2+y2−4x+6y=0和圆：x2+y2−6x=0交于A、B两点，
两圆相减可得：直线AB的方程是：x+3y=0．
15.【答案】217−2
【解答】
解：由题得圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A2,−3，半径为1，
圆C2的圆心坐标4,5，半径为1，
PM+PN的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：4−22+5+32−2=217−2．
故答案为：217−2．
16.【答案】16
【解答】
解：圆C1：x2+y2−4x+3=0与圆C2：(x+1)2+(y−4)2=a恰有三条公切线，
则圆C1与圆C2外切，
则圆C1的圆心为：(2,0)，半径r1=1；圆C2的圆心为：(−1,4)，半径r2=a；
则(2+1)2+42=r1+r2=1+a，
解之得a=16．
故答案为16．
17.【答案】3
【解答】解：由题意知两圆的一个交点与两圆圆心构成直角三角形，
两圆的圆心分别为(0,0)，(4,−3)，圆心距d=5，两圆的半径分别为4，R，
则52=R2+42，
解得R=3．
18.【答案】相交 2
【解析】解：圆C1：x2+y2+2x+2y−2=0，可化为(x+1)2+(y+1)2=4，其圆心坐标C1(−1,−1)，半径为2，
圆C2：x2+y2−4x−2y+1=0，可化为(x−2)2+(y−1)2=4，其圆心坐标C2(2,1)，半径为2，
又|C1C2|=(2+1)2+(1+1)2=13<2+2=4，．
则两圆的位置关系为：相交，
故它们的公切线有2条．
19.【答案】3
【解答】
解：设以AB为直径的圆的圆心为O2(a,0)，A点在B点左侧，圆O2的半径为r(变量)，OP=t(常数)，r>0，t>0，
则，，
．
∵a2+4=r+1，∴a2=(r+1)2−4，
，
∵∠APB的大小恒为定值，∴t2−3=0，
∴t=3，∴OP=3．
答案为3．
20.【答案】(1)证明：圆C1：x2+y2−4x+2y=0与圆C2：x2+y2−2y−4=0化为标准方程分别为圆C1：(x−2)2+(y+1)2=5与圆C2：x2+(y−1)2=5
∴C1(2,−1)与圆C2(0,1)，半径都为5
∴圆心距为0<(2−0)2+(−1−1)2=22<25
∴两圆相交；
(2)解：将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即
(x2+y2−4x+2y)−(x2+y2−2y−4)=0
即x−y−1=0
(3)解：由(2)得y=x−1代入圆C1：x2+y2−4x+2y=0，化简可得2x2−4x−1=0
∴x=2±62
当x=2+62时，y=62；当x=2−62时，y=−62
设所求圆的圆心坐标为(a,b)，则
(a−2+62)2+(b−62)2=(a−2−62)2+(b+62)22a+4b=1
∴a=32b=−12
∴r2=(32−2+62)2+(−12−62)2=72
∴过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为(x−32)2+(y+12)2=72
21.【答案】解：(1)圆M：(x−a)2+y2=5的圆心坐标为(a,0)，半径为5，
∵圆M与直线x+2y−5=0相切，∴|a−5|5=5，即a=0或a=10．
又圆M与两条坐标轴都相交，∴a=0．
则圆M的方程为：x2+y2=5；
证明：(2)设A(5,m)，则A，B，O，C四点共圆，
AO的中点为(52,m2)，|AO|=25+m2，
则以AO为直径的圆的方程为(x−52)2+(y−m2)2=14(25+m2)，
整理得：x2+y2−5x−my=0．
又圆M：x2+y2=5，
两圆联立可得公共弦BC所在直线方程为5x+my−5=0．
∴直线BC恒过定点(1,0)．
22.【答案】(1)最大值为0，最小值为−2021；
(2)最大值为−1，最小值为−21；
(3)最大值为9+45，最小值为9−45
【解析】(1)(方法1)令yx−4=k，则kx−y−4k=0．
∵x，y满足x2+y2+2x−4y+1=0，∴圆心(−1,2)到直线kx−y−4k=0的距离不大于圆的半径2，即2+5kk2+1≤2，解得−2021≤k≤0，
∴yx−4的最大值为0，最小值为−2021．
(方法2)令yx−4=k，则y=k(x−4)代入圆的方程，整理得(1+k2)x2+(2−4k−8k2)x+16k2+16k+1=0，
∵上述方程有实数根，∴Δ=(2−4k−8k2)2−4(1+k2)·(16k2+16k+1)≥0，化简整理得21k2+20k≤0，解得−2021≤k≤0，∴yx−4的最大值为0，最小值为−2021．
(2)(方法1)设3x−4y=k，则3x−4y−k=0，圆心(−1,2)到该直线的距离不大于圆的半径，即−3−8−k25≤2，解得−21≤k≤−1，∴3x−4y的最大值为−1，最小值为−21．
(方法2)设k=3x−4y，即y=34x−k4，代入圆的方程，整理得25x2−(16+6k)x+k2+16k+16=0，∵上述方程有实数根，∴Δ=(−16−6k)2−4×25(k2+16k+16)≥0，化简整理得k2+22k+21≤0，解得−21≤k≤−1，∴3x−4y的最大值为−1，最小值为−21．
(3)(方法1)先求出原点与圆心之间的距离d=−1−02+2−02=5，根据几何意义，知x2+y2的最大值为5+22=9+45，最小值为5−22=9−45．
(方法2)由(1)的方法知，圆的方程中的x，y变为x=−1+2csα,y=2+2sinα(α∈R),
23.【答案】解：(1)圆M:x2+(y−4)2=1，圆心M(0,4)，半径为1，
由条件可知∠APM=30°，|PM|=2，设P(a,2a)，
则|PM|=a2+(2a−4)2=2，
解得a=2或a=65，
所以P(2,4)或P65,125．
(2)CD=2，可知圆心M到直线CD的距离d=1−222=22，
当直线CD的斜率不存在时，直线CD的方程为x=1，
与圆M只有一个交点1,4，不满足条件，
当直线CD的斜率存在时，
设直线CD的方程为y−2=k(x−1)，
则|k+2|k2+1=22，解得k=−7或k=−1，
所以直线CD的方程为x+y−3=0或7x+y−9=0．
(3)设P(a,2a)，过A，P，M三点的圆即以PM为直径的圆，
线段PM的中点为a2,a+2，线段PM的长为a2+2a−42=5a2−16a+16，
所以以PM为直径的圆的方程为x−a22+y−a−22=5a2−16a+164，
与x2+(y−4)2=1相减可得(4−2a)y−ax+8a−15=0，
即(−x−2y+8)a+4y−15=0，
由4y−15=0−x−2y+8=0，可得x=12y=154,
∴经过A、P、M三点的圆与圆M的公共弦必过定点(12,154).