高中数学人教A版 (2019)选择性必修第一册2.4 圆的方程课后复习题

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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修第一册2.4 圆的方程课后复习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
已知方程x2+y2−2x+2k+3=0表示圆，则k的取值范围是（）
A. (−∞,−1)B. (3,+∞)
C. (−∞,−1)∪(3,+∞)D. (−32,+∞)
若直线2ax−by+2=0(a>0,b>0)过圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆心，则9a+1b的最小值是（）
A. 16B. 10C. 12D. 14
已知点M(3,1)在圆C:x2+y2−2x+4y+2k+4=0外，则k的取值范围( )
A. −612
C. k>−6D. k<12
已知定点B(3,0)，点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（）
A. (x+1)2+y2=1B. (x−2)2+y2=4
C. (x−1)2+y2=1D. (x+2)2+y2=4
在直角坐标平面内，过定点P的直线l：x+ay−1=0与过定点Q的直线m：ax−y−2a+3=0相交于点M，则1|MP|+1|MQ|的最小值为（）
A. 10B. 10C. 52D. 255
当a为任意实数时，直线(a−1)x−y−a−1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为（）
A. x2+y2−2x+4y=0B. x2+y2+2x+4y=0
C. x2+y2+2x−4y=0D. x2+y2−2x−4y=0
方程x2+y2+ax−2by+c=0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（）
A. 4、2、4B. −4、2、4C. −4、2、−4D. 4、−2、−4
圆C:x2+y2+2x−2y=0的圆心C坐标为( )
A. (1,−1)B. (−1,1)C. (−2,2)D. (2,−2)
圆x2+y2+2x−2y=0的圆心为（）
A. (0,0)B. (−1,1)C. (1,1)D. (1,0)
已知圆C：x2+y2−4x−2y=0与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，则弦长|AB|=
A. 5B. 5C. 25D. 32
方程(x2−4)2+(y2−4)2=0表示的图形是( )
A. 两个点B. 四个点C. 两条直线D. 四条直线
与圆x2+y2−4x+6y+3=0同圆心，且与直线x−2y−3=0相切的圆的方程( )
A. x2+y2−4x+6y−8=0B. x2+y2−4x+6y+8=0
C. x2+y2+4x−6y−8=0D. x2+y2+4x−6y+8=0
已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C：x2+y2−2x−15=0的半径，则椭圆的标准方程是（）
A. x24+y23=1B. x216+y212=1C. x24+y2=1D. x216+y24=1
若圆x2+y2+2ax−b2=0的半径为2，则点(a,b)到原点的距离为（）
A. 1B. 2C. 2D. 4
二、填空题
方程C：x2+y2+2x−3y+m=0表示圆，则实数m的取值范围为______．
直线ax+y+1=0被圆x2+y2−2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是________．
若实数x、y满足x2+y2+4x-2y-4=0，则x2+y2的最大值是___________．
已知圆x2+y2−4x+2y−11=0的一条直径通过直线x−2y+3=0被此圆所截弦的中点，则该直径所在的直线被圆x2+y2=5截得的弦长为________．
三、解答题
已知圆C过点O(0,0)，A(−1,−7)和B(8,−4)．
(1)求圆C的方程；
(2)求与AB垂直且被圆C截得弦长等于|AB|的直线l的方程．
已知圆C：x2+y2−2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，直线l：3x−4y−15=0．
(1)求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；
(2)当圆C与圆C1外切时，求m的值；
已知圆C1：x2+y2−2x−6y−1=0和C2：x2+y2−10x−12y+45=0．
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
已知圆C：x2+y2−2mx−3=0(m∈R)．
(Ⅰ)若m=1，求圆C的圆心坐标及半径；
(Ⅱ)若直线l:x−y=0与圆C交于A，B两点，且AB=4，求实数m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：方程x2+y2−2x+2k+3=0，
即为(x−1)2+y2=−2−2k，
由方程表示圆，可得−2−2k>0，解得k<−1．
即k的取值范围为(−∞,−1)．
故选A．
2.【答案】A
【解答】
解：由题意，可得圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆心(−1,2)，
故−2a−2b+2=0，即a+b=1，(a>0,b>0)，
则9a+1b=(9a+1b)(a+b)
=10+9ba+ab≥10+29ba⋅ab=16，
当且仅当9ba=ab且a+b=1，即b=14，a=34时取等号，
所以9a+1b的最小值是16，
故选：A．
3.【答案】A
【解答】
解：∵圆C:x2+y2−2x+4y+2k+4=0，
∴圆的标准方程为(x−1)2+(y+2)2=1−2k，
∴圆心坐标1,−2，半径r=1−2k，
若M(3,1)在圆C:x2+y2−2x+4y+2k+4=0外，
则满足(3−1)2+(1+2)2>1−2k ，且1−2k>0，
即13>1−2k且k<12，即−6故选A．
4.【答案】C
【解析】解：设点M的坐标为(x,y)，点A(m,n)，则(m+1)2+n2=4．
∵M是线段AB上的中点，
∴(x−m,y−n)=(3−x,−y)，
∴m=2x−3，n=2y，
∵(m+1)2+n2=4，
∴(2x−2)2+(2y)2=4，
∴(x−1)2+y2=1．
5.【答案】D
【解答】
解：∵在平面内，过定点P的直线l：x+ay−1=0与过定点Q的直线m：ax−y−2a+3=0相交于点M，
∴P(1,0)，Q(2,3)，
∵直线x+ay−1=0与直线ax−y−2a+3=0垂直，
∴M位于以PQ为直径的圆上，
∵|PQ|=9+1=10，
∴|MP|2+|MQ|2=10，
∵|MP|2+|MQ|2=10≥2|MP|⋅|MQ|，
当且仅当|MP|=|MQ|=5时等号成立，
∴|MP||MQ|≤5．
∴1|MP|+1|MQ|≥21|MP||MQ|≥255，
当且仅当|MP|=|MQ|=5时等号成立，
∴1|MP|+1|MQ|的最小值为255，
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：直线(a−1)x−y−a−1=0即a(x−1)−(x+y+1)=0，
由x−1=0x+y+1=0，求得x=1y=−2，故圆心C的坐标为(1,−2)，
再根据半径为5，
可得圆的方程为(x−1)2+(y+2)2=5，
即x2+y2−2x+4y=0，
故选：A．
7.【答案】B
【解答】
解：由x2+y2+ax−2by+c=0得，圆心坐标是(−a2,b)，半径r满足r2=a24+b2−c；
因圆心为C(2,2)，半径为2，解得a=−4，b=2，c=4，
故选：B．
8.【答案】B
【解答】
解：将圆x2+y2+2x−2y=0化成标准方程，得(x+1)2+(y−1)2=2，
所以圆表示以(−1,1)为圆心，半径为2的圆，
故选B．
9.【答案】B
【解析】略
10.【答案】C
【解答】
解：令y=0，x=4；x=0，y=2．
所以A(4,0)，B(0,2)，
所以AB=4−02+0−22=25，
故选C．
11.【答案】B
【解答】
解：方程(x2−4)2+(y2−4)2=0
则x2−4=0且y2−4=0，
即x2=4y2=4，
解得x=2y=2，x=−2y=2，x=2y=−2，x=−2y=−2，
得到4个点．
故选：B．
12.【答案】B
【解答】
解：由圆C：x2+y2−4x+6y+3=0，得(x−2)2+(y+3)2=10，
∴圆C的圆心坐标为C(2,−3)，圆心(2,−3)到直线x−2y−3=0的距离=|2+6−3|5=5=r，
∴圆的方程是(x−2)2+(y+3)2=5.即x2+y2−4x+6y+8=0．
故选B．
13.【答案】A
【解答】
解：设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，(a>b>0)．
由圆x2+y2−2x−3=0可得(x−1)2+y2=16，半径R=4．
∴a=2．
∵离心率e=12=ca，
∴c=1．
∴b2=a2−c2=3．
∴椭圆的标准方程是x24+y23=1．
故选A．
14.【答案】B
【解答】
解：由半径r=12D2+E2−4F=124a2+4b2=2，
得a2+b2=2，
∴点(a,b)到原点的距离d=a2+b2=2．
故选B．
15.【答案】(−∞,134)
【解析】解：
对圆的一般式方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0
有D2+E2−4F>0，
∴方程C：x2+y2+2x−3y+m=0表示圆
可得：22+(−3)2−4m>0，求得m<134，
故答案为：(−∞,134).
由圆的一般式方程需要满足的条件可得D2+E2−4F>0，得到关于m的不等式，求解可得m的范围．
16.【答案】−2
【解答】
解：圆x2+y2−2ax+a=0化成标准方程为(x−a)2+y2=a2−a(a>1或a<0)，
圆心(a,0)到直线ax+y+1=0的距离d=|a2+1|a2+1=a2+1，
又因为ax+y+1=0被圆x2+y2−2ax+a=0所截得的弦长为2，
所以a2−a=(a2+1)2+1，即
[解后反思]在解决直线与圆相交涉及弦长问题时，一般用由半径，弦心距和弦长一半组成的直角三角形求解．
17.【答案】5+3
【解答】
解：x2+y2+4x-2y-4=0化为(x+2)²+(y−1)²=9，
故方程代表圆心坐标为C(−2,1)，半径为r=3的圆，
x2+y2代表圆上的点(x,y)与O(0,0)的距离，
故x2+y2的最大值为|OC|+r=(−2)²+1²+3=5+3．
故答案为5+3 ．
18.【答案】855 .
【解答】
解：圆x2+y2−4x+2y−11=0的圆心为(2,−1)，
直径所在直线与直线x−2y+3=0垂直，
故直径所在直线的方程为2x+y−3=0．
圆x2+y2=5的圆心到直线2x+y−3=0的距离d=35，
故所求弦长为2r2−d2=25−95=855，
(其中r为圆x2+y2=5的半径)，
故答案为855．
19.【答案】解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
因为O，A，B三点都在圆C上，所以它们的坐标都是圆C方程的解，
故F=050−D−7E+F=0,80+8D−4E+F=0解此方程组，得D=−6，E=8，F=0．
故所求圆C的方程为x2+y2−6x+8y=0．
(2)将圆C的方程化为标准形式：(x−3)2+(y+4)2=25，
直线AB的方程为y−(−4)−7−(−4)=x−8−1−8，即x−3y−20=0，
故设直线l的方程为3x+y+m=0．
由题意，圆心C(3,−4)到直线AB与直线l的距离相等，
故有|3−3×(−4)−20|12+(−3)2=|3×3+(−4)+m|32+12，
解得m=0或m=−10．
所以直线l的方程为3x+y=0或3x+y−10=0．
20.【答案】解：(1)因为圆C1：x2+y2=25的圆心O坐标为(0,0)，半径为5，
则圆心O到直线l：3x−4y−15=0的距离为d=|3×0−4×0−15|32+42=3，
所以直线l被圆C1：x2+y2=25截得的弦长为252−32=8；
(2)由圆C：x2+y2−2x+4my+4m2=0可得：(x−1)2+(y+2m)2=1，
则圆C的半径为1，圆心坐标为(1,−2m)，
由圆C1：x2+y2=25可知，其半径为5，圆心为(0,0)，如下图，
由勾股定理可得：(5+1)2=1+(2m)2，
解得：m=±352．
故当圆C与圆C1外切时，m的值为±352．
21.【答案】解：(1)证明：圆C1的标准方程：(x−1)2+(x−3)2=11，
∴C1的圆心为(1,3)，半径r1=11，
圆C2的标准方程：(x−5)2+(x−6)2=16，
∴圆心C2(5,6)，半径r2=4，
∴两圆圆心距d=|C1C2|=5，
r1+r2=4+11，
|r1−r2|=4−11，
∴|r1−r2|所以圆C1和C2相交；
(2)解：圆C1和圆C2的方程左右分别相减，
得4x+3y−23=0，
圆心C2(5,6)到直线4x+3y−23=0的距离
d=|20+18−23|16+9=3，
故公共弦长为216−9=27．
22.【答案】解：(Ⅰ) 当m=1时，x2+y2−2x−3=0，化简得(x−1)2+y2=4，
∴圆心坐标为(1,0)，半径为2；
(Ⅱ) 化圆C为(x−m)2+y2=m2+3，
设圆心(m,0)到直线l：x−y=0的距离为d，
则d=|m|2，
∵|AB|=4，d2+4=m2+3，即m22+4=m2+3．
即m=±2．

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