人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后练习题

椭圆的简单几何性质同步练习

一、选择题

1. 已知有相同两焦点、的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则的形状是（ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 随m，n变化而变化

2. 已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为     

A.  B.  C.  D.

3. 若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为   

A.  B.
C.  D.

4. 已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为   

A.  B.  C.  D.

5. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”其中，如图，设点，，是相应椭圆的焦点，、和、是“果圆”与x，y轴的交点，若是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为

A. 5，4 B. ，1 C. 5，3 D. ，1

6. 如图，分别为椭圆的左右焦点，点P在椭圆上，的面积为的正三角形，则的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且为坐标原点，若，则椭圆的离心率为    

A.  B.  C.  D.

8. 已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）

A. 3 B. 2 C.  D.

10. 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2，过右焦点F且斜率为的直线与椭圆C相交于A、B两点．若，则k=（ ）

A. 1 B.  C.  D. 2

11. 已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且，则C的方程为（ ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则弦长

A.  B.  C.  D.

13. 若椭圆的右焦点为F，且与直线交于P，Q两点，则的周长为（ ）

A.  B.  C. 6 D. 8

14. 椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点M满足：，且，则
     

A. 1 B.  C.  D. 2

二、填空题

15. 已知抛物线C：的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为2，则弦长________．
16. 设M是椭圆C：上一点，以M为圆心的圆与x轴相切，切点为椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P，Q，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为________．
17. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_________．
18. 设，分别为椭圆的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若，则点A的坐标是_________．

三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

19. 已知椭圆四个顶点中的三个是边长为的等边三角形的顶点．

Ⅰ求椭圆E的方程；

Ⅱ设直线与圆相切且交椭圆E于两点，求线段的最大值．


 

20. 已知椭圆的两个顶点分别为，点P为椭圆上异于A，B的点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且．
    求椭圆C的离心率；
    若，设直线l与x轴交于点，与椭圆交于M，N两点，求面积的最大值．
    
    
     
21. 已知椭圆的右焦点为，且椭圆上的点到点F的最大距离为3，O为坐标原点．
    Ⅰ求椭圆C的标准方程；
    Ⅱ过右焦点F倾斜角为的直线与椭圆C交于M、N两点，求的面积．
    
    
    
     
22. 已知椭圆C：的焦距为2，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，M，N为椭圆C上的两点异于A，，连结AM，BN，MN，且BN斜率是AM斜率的3倍．

求椭圆C的方程；

证明：直线MN恒过定点．


 

答案和解析

1.【答案】B
【解答】
解：由题意，不妨设P是双曲线右支上的一点，，，则，，
，
两曲线有相同的焦点，
，
，
，
即，
是直角三角形，
故选B．
2.【答案】A
【解答】
解：设、，
则，，
，
，得．
．
又为AB中点，
，．
直线AB的斜率为．
直线AB的方程为，即．
故选：A．
3.【答案】A
【解答】
解：设弦的两端点为， ， P 为AB 中点得，
 由A ， B 在椭圆上有
两式相减得，
即，
即，即，
则斜率，且过点，有，
整理得．
故选 A．
4.【答案】D
【解答】解：圆的标准方程为，
圆心坐标是，
．
又，
．
椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为．
故选D．
5.【答案】D

【解析】解：由题意可得，
，解得，
又，得，即，．
6.【答案】B
【解答】
解：的面积为的正三角形，
，
解得．
代入椭圆方程可得：，与联立解得：．
故选B．
7.【答案】A
 

【解答】

解：设焦点坐标，，，

，，

所以，，

由，设线段的中点为M，则

则，

，

则，

，

可得，解得，

则椭圆的离心率为．

故选A．
8.【答案】C
【解答】
解：设椭圆方程为，焦距为2c，椭圆上任一点，
由的点M总在椭圆内，
则，得恒成立，
代入椭圆方程化简得，又，
所以，化简得，
得，可得，
又，，
故选C．
9.【答案】D
 

【解答】
解：不妨设，分别为左、右焦点，P为第一象限的点，如图：
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义知，，
，．
设，在中，，
由余弦定理得，，
化简得，即，
，
，
当且仅当时，等号成立，
则的最大值为，
故选D．

10.【答案】B
【解答】
解：椭圆C：的离心率为，短轴长为2，
可得：，，解得：，，，
椭圆方程为，
过右焦点F且斜率为的直线与椭圆C相交于A，B两点，
设，，
，，
设直线AB方程为，
代入，消去x，可得，
，，
，，
解得：．
故选：B．
11.【答案】C
【解答】

解：，是椭圆C的两个焦点，可得，
过且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且，
令椭圆方程中，得，
可得，
化简得，
解得，则，
所求的椭圆方程为：．
故选：C．
12.【答案】A
【解答】
解：设，，
代入椭圆方程得，，

相减得，
．
，，．
，
化为，又，解得，．
椭圆E的方程为 ．
AB的斜率为，且过，
直线AB的方程为，即，代入椭圆方程，得．
．
．
故选：A．
13.【答案】B

【解析】解：直线l过椭圆C的左焦点，
直线经过左焦点，
的周长

，
14.【答案】C
 

【解析】解：设，，因为，则，，
又，，
在中，由余弦定理可得：，
式平方减去式得：，得：．
故选：C．
设，，由数量积及的大小可得，再由椭圆的定义可得，在中，由余弦定理可得b的值．
本题考查椭圆的性质及数量积的运算性质，属于中档题．
15.【答案】10
【解答】
解：由题意可得，则，抛物线方程为．
设直线AB方程为，，，其中，．
由得，
所以在点A处的切线方程为，化简得， 
同理可得在点B处的切线方程为 
联立得，
又的横坐标为2，
．
将AB方程代入抛物线得，
，
，
，
．
故答案为10．
16.【答案】
【解答】
解：如图，过M作轴于N，由为等边三角形，
可得，
再由题意可得，则圆M为，
取，可得，，
，即，
解得：．
故答案为：．
17.【答案】6
【解答】
解：由题意，，
设点，
则有，
解得，
因为
所以，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为，
所以当时，取得最大值，
故答案为6．
18.【答案】或
【解答】

解：设．

由，
得．

又A，B均在椭圆上，

所以有

解得或

所以点A的坐标为或．
19.【答案】解：Ⅰ由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形，
所以，即，
所以椭圆E的方程为，
Ⅱ圆，因为直线与圆相切，
所以，即；
联立得，，
设，所以
由弦长公式得，
将代入：
，
当且仅当，即时等号成立，
故弦长最大值为．
20.【答案】解：设为椭圆上的点，
则，整理得：，
又，，，
联立两个方程则，
解得．
由知，又，
椭圆C的方程为．
由题意，设直线l的方程为：，
代入椭圆的方程有：，
则，
设，，
则，，
则的面积


，
令，，则有，
代入上式有，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为．
21.【答案】解：Ⅰ椭圆焦点坐标为，则，
由椭圆C上的点到F的最大距离为，则，
，
椭圆的标准方程为．
Ⅱ设，，
由已知可设直线MN的方程为：，
联立方程组消去x得：．
，，．
的面积
22.【答案】解：

所以
椭圆C的方程为；
连结BM，设，
则，
点在椭圆上，
，
，
，
当MN斜率不存在时，设，不妨设M在x轴上方，
，
，
；
当MN斜率存在时，设，
由，整理，得，
，
，
化简可得，即或，
当时，，恒过定点，当斜率不存在亦符合；
当，，过点与点B重合，舍去，
直线恒过定点．