2021学年2.5 直线与圆、圆与圆的位置精品习题
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2.5.2圆与圆的位置关系同步练习人教 A版（2019）高中数学选择性必修第一册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知圆O：，圆C：，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则面积的取值范围是
A. B. C. D.
- 两圆和的位置关系是
A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切
- 过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为
A. B. C. D.
- 已知两圆的方程是和，那么这两个圆的位置关系是
A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
- 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于
A. 14 B. 34 C. 14或45 D. 34或14
- 已知圆C：，则圆C关于直线l：对称的圆的方程为
A. B.
C. D.
- 若圆O：与圆C：关于直线l 对称，则直线l的方程是
A. B. C. D.
- 圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是
A. B. C. D.
- 已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则以的最小值为
A. B. C. D.
- 一束光线从点出发，经x轴反射到圆C：上的最短路径长度是
A. B. 5 C. D. 4
- 已知圆，圆，A，B分别是圆和圆上的动点，则的最大值为
A. B. C. D.
- 两圆与只有一条公切线，则的最小值为
A. 1 B. C. D.
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P在圆上运动．若恒为锐角，则实数a的取值范围是 ．
- 圆C：关于直线l：对称的圆的方程为 ．
- 圆关于原点对称的圆的方程为 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知圆，则圆心C的坐标是 ；圆C关于原点对称的圆的方程是 ．
- 已知点P是圆C：上的动点，点则
线段AP中点M的轨迹方程是 ．
点M的轨迹与圆C相交，则过交点的直线方程是 ．
- 圆与圆交于两点，则过两点的直线方程为 ，A、B两点间的距离为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 已知在平面直角坐标系xOy中，点，直线l：设圆C的半径为1，圆心在直线l上．
若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围．
- 已知圆：和：．
求证：圆和圆相交；
求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
- 已知两圆：，：．
求证：圆和圆相交；
求圆和圆的公共弦所在直线方程和公共弦长．
- 如图，已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，与直线相切于点B．
求圆M的方程；
圆M和圆相交于P，Q两点，求线段PQ的长度．
|
- 已知圆与圆关于直线对称．
求圆的方程；
设过点的直线l与圆交于M、N两点，O为坐标原点，求时直 线l的方程．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力．
面积的大小与线段AB的大小有关，要求面积的取值范围，只需求出AB的范围，即可求解．
【解答】
解：由题意，圆O：的半径为，
圆O的切线l交圆C于A，B两点，则面积：，
可知AB是圆C：的弦长，
圆C：的圆心，半径为：4，
圆心到AB的距离最小时，AB最大，圆心到AB的距离最大时，AB最小，如图：
AB的最小值为：；
AB的最大值为：；
面积的最小值为：．
面积的最大值为：．
面积的取值范围是：．
故选A．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查学生掌握两圆的位置关系的判别方法，两点间的距离公式，基础题．
分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与及d与的大小，即可得到两圆的位置关系．
【解答】
解：把化为，又，
所以两圆心的坐标分别为：和，两半径分别为和，
则两圆心之间的距离，
因为即，所以两圆的位置关系是相交．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，公共弦的方程，属于基础题．
求出以、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减即可求解答案．
【解答】
解：圆的圆心，半径为1，
以、为直径的圆的方程为，
将两圆的方程相减，即公共弦AB的方程为，即．
故选B．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题给出两个定圆，求它们的位置关系，着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．
分别求出两圆的圆心坐标和半径大小，利用两点的距离公式算出它们的圆心距为5，恰好等于两圆的半径之和，由此可得两圆相外切．
【解答】
解：化成标准方程，得，
圆的圆心为，半径．
同理可得圆的圆心为，半径．
两圆的圆心距为，，
，可得两圆相外切．
故选C．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系及圆的一般方程和标准方程，属于中档题．
由圆的方程，得a的范围，然后求出圆，的圆心坐标和半径，再利用圆外切和内切求解即可．
【解答】
解：由圆得，解得，
圆的标准方程为，圆心，半径，
圆的标准方程为，圆心，半径，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以再圆外切或内切，
若两圆外切，则，
解得，符合，
若两圆内切，则，
解得，符合，
综合得实数a等于34或14．
故选D．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查圆关于直线的对称圆方程，属于基础题．
根据轴对称图形的特点，对称后的圆的半径不变，只要求解圆心关于直线的对称点即可．
【解答】
解：根据题意，圆C：的圆心为，半径为2，
设圆心C关于直线l：对称的点的坐标为，
则有，解得，
可知所求圆的圆心坐标为，半径为2，
则圆的方程为，
即 ．
故选A
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查圆关于直线对称圆的问题，属于基础题．
方法一，由题意可知圆O和圆C是相交的，故直线l是两圆的公共弦所在直线，只需把两个圆的方程相减即可得到答案；
方法二，由于圆O和圆C关于直线l对称，故直线l为线段OC的垂直平分线，求出线段OC的中点坐标，线段OC的垂直平分线的斜率，利用点斜式求出l的方程．
【解答】
解：由题意，知圆，所以．
方法一：又，所以两圆的圆心距，故两圆相交．
因为圆与圆关于直线l对称，
所以直线l是两圆的公共弦所在直线，
把两圆的方程相减可得直线l的方程为．
故选A．
方法二：又，所以线段OC的中点坐标为．
又，所以，
所以直线l的方程为，即．
故选A．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题，属于基础题；
处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程可减小运算量．
【解答】
解：由题意得圆的圆心为，
圆的圆心为，
两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，
其方程为，即；
故选A．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查关于直线对称的圆方程，圆与圆的位置关系，属于中档题．
根据两圆的圆心均在第一象限，先求的最小值，求出圆关于x轴的对称圆，所以，进而可求得的最小值．
【解答】
解：因为圆，圆，
所以圆心，，
作圆关于x轴的对称圆，
则圆心，
借助图形可得，当且仅当P，，三点共线时取等号；
所以的最小值为．
故选A．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查与圆有关的最值问题，灵活运用两点间的距离公式化简求值，掌握数形结合的数学思想解决实际问题，属于中档题．
先作出圆C关于x轴的对称的圆，问题转化为求点A到圆上的点的最短路径，方法是连接与圆交于B点，则AB为最短的路线，利用两点间的距离公式求出，然后减去半径即可求出．
【解答】
解：圆C方程为，
先作出圆C关于x轴对称的圆，
则圆的方程为：，
所以圆的圆心坐标为，半径为，
则最短距离．
故选C．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了圆与圆的位置关系和最值问题，是基础题．
求出两圆的圆心距d，确定两圆的关系，再求圆、上的两点间的距离最大值．
【解答】
解：圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为3，
则圆心距为，两圆外离，
圆和圆上的两点的最大值为．
故选A．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查两个圆的位置关系以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．
根据题意两圆内切，再利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：圆：化为：，
圆心坐标，半径为2，
圆：，化为，
圆心坐标，半径为1，
两圆与只有一条公切线，
，即，
由，
即，，
当且仅当“”时等号成立，
的最小值为，
故选C．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查与圆有关的最值问题，涉及直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
设以MN为直径的圆C，圆心为；点P与M，N构成恒为锐角，则点P恒在圆C之外，同时由于不能为当然也肯定不能为，即P不能与M、N共线，于是已知圆与圆C相离，且与直线相离，列出不等式组求解即得a的取值范围．
【解答】
解：直线与x，y轴的交点，，
以MN为直径的圆C的圆心为，
恒为锐角，则点P恒在圆C之外，
圆C与圆相离；
由于不能为当然也肯定不能为，
不能与M、N共线，
圆与直线相离，如图所示．
圆C的圆心，半径为，圆的圆心，半径为．
两圆外离，，
解得或，
由直线，即与圆相离，
，解得或，
由得a的取值范围是或．
故答案为或．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了关于直线对称的圆的方程，属于基础题．
先求出的圆心和半径，再利用两点关于已知直线对称，求出对称圆的圆心坐标即可求出结论．
【解答】
解：圆转化为标准方程为，
所以其圆心为：，半径，设关于直线对称点为：
则有，故所求圆的圆心为：，半径为1．
所求圆的方程为：，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆关于点对称的圆的方程的求法，属于基础题．
找出已知圆的圆心关于原点的对称点，即所求圆的圆心，根据半径不变即可求解．
【解答】
解：圆的圆心为，半径为，
关于原点对称的圆的圆心为，半径不变，
所以对称圆的方程为，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆的标准方程以及对称圆的相关问题，熟练掌握相关知识点是解决此类问题的关键．
【解答】
解：由题意可知，圆，则圆心C 的坐标为，半径为2，
关于原点对称的圆的圆心坐标为，半径为2，
故方程为，
故答案为；．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆有关的轨迹问题、两圆相交弦有关的综合问题，属于中档题．
首先设，，利用相关点法求点M的轨迹方程；
两圆相减后的直线方程就是过两圆交点的直线方程．
【解答】
解：设，，
则，整理为
因为，
所以，
整理为．
圆，圆，
两圆相减得：．
故答案为：；．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系和两圆相交弦有关的综合问题 ，属于中档题．
将两圆方程相减，即可得直线AB的方程，利用点到弦的距离，结合勾股定理即可求出弦长．
【解答】
解：将两圆的方程相减得，
即直线AB的方程为．
由题知圆，
故圆心，半径，
因为圆心到直线AB的距离为，
故 ．
故答案为， ．
19.【答案】解：由和联立，得圆心．
圆C的半径为1，
圆C的方程为，
显然切线的斜率一定存在，
设所求圆C的切线方程为，即．
圆心到切线的距离为，
，
或．
所求圆C的切线方程为或．
圆C的圆心在直线l：上，
设圆心C的坐标为，
则圆C的方程为．
又，设，
则，整理得，设为圆D．
点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，
，
由，得，
由，得．
综上所述，a的取值范围为
【解析】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆相切的等价条件和圆与圆相交的等价条件是解题的关键，属于中档题．
先求得圆心，再根据半径为1，可得圆C的方程考虑到切线的斜率一定存在，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得切线方程；
可设圆心 ，设点，则由可得，设此圆为圆D，由题意可得，圆C和圆D有交点，由此有，解之可得a的取值范围．
20.【答案】证明：圆的标准方程：，
的圆心为，半径，
圆的标准方程：，
圆心，半径，
两圆圆心距，
又，，
，
所以圆和相交；
解：圆和圆的方程左右分别相减，
得圆和圆的公共弦所在直线的方程，
圆心到直线的距离
，
故公共弦长为．
【解析】本题考查了两圆关系的判断以及弦长的求法，属于中档题．
由圆的一般式方程得出圆心坐标及圆的半径，求出两圆圆心距及两半径之和与两半径之差的绝对值，比较大小得出两圆的位置关系；
两圆方程作差得出公共弦所在的直线方程，再由圆心到公共弦的距离及圆的半径求出公共弦长．
21.【答案】证明：圆：的圆心，半径，
：的圆心，半径，
，
，
圆和圆相交．
解：两圆：，
：，
两圆相减，得圆和圆的公共弦所在直线方程为：
，即．
圆心到直线的距离，
圆和圆的公共弦长．
【解析】本题考查两圆相交的证明，考查两圆公共弦所在直线方程的求法，考查两圆公共弦长的求法，是中档题．
分别求出圆和圆的圆心和半径，再求出圆心距，即可得到结论．
两圆和，两圆相减，得圆和圆的公共弦所在直线方程；求出圆心到公共弦所在直线的距离，由此能求出圆和圆的公共弦长．
22.【答案】解：已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，
设圆心，，
则圆M的方程为，
由于该圆M与直线相切于点B，
故有，求得，
故圆M的方程为．
圆M和圆相交于P，Q两点，
把两个圆的方程相减，可得PQ的方程为．
由于点O到直线PQ的距离为，
故弦长．
【解析】设圆心，，则圆M的方程为，再根据圆和直线相切的性质可得，由此求得，可得圆的标准方程．
由题意利用两个圆相交的性质，利用弦长公式求出线段PQ的长度．
本题主要考查圆和直线相切的性质，点到直线的距离公式的应用，弦长公式，属于中档题．
23.【答案】解：表示圆心半径为2的圆 ，
设关于时对称点为，
则
，
．
与圆相交，
的斜率存在设为k，
将中，
得，
．
，
．
，
，
，
．
满足
，
直线l的方程为或．
【解析】本题考查了圆关于直线对称的圆的方程，直线与圆的位置关系，属于拔高题．
将化为标准方程，求解圆心关于直线的对称点即为圆的圆心，即可求解圆的方程；
设直线，代入，根据，结合根与系数的关系求解k的值即可求解．
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