高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直同步练习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 温馨提示：    此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时素养检测三十二　平面与平面垂直(一)(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为              (　　)A.90° B.60° C.45° D.30°【解析】选A.因为PA⊥平面ABC,BA,CA⊂平面ABC,所以BA⊥PA,CA⊥PA,因此∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,所以二面角B-PA-C的大小为90°.2.在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB,若AB与棱l的夹角为45°,AB与平面β所成的角为30°,则此二面角的大小是              (　　)A.30°    B.30°或45°C.45°    D.45°或135°【解析】选D.如图所示,设AB与l交于一点C,在AB上任取一点M,过M作MN⊥β于N,过M作ME⊥l于E,连接NE,则NE⊥l.∠NEM为二面角α-l-β的平面角或它的补角,连接NC.因为∠BCE=45°,∠BCN=30°.设ME=x,则MC=x,MN=x.在Rt△MNE中,sin∠NEM===,所以∠NEM等于45°或135°3.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的平面角              (　　)A.相等     B.互补C.相等或互补   D.关系无法确定【解析】选D.如图所示,设平面ABCN⊥平面BCPQ,平面EFDG⊥平面ABCN,GD⊥平面BCPQ,当平面HDGM绕DG转动时,平面HDGM始终与平面BCPQ垂直,因为二面角H-DG-F的大小不确定,所以两个二面角的平面角的大小关系不确定.4.已知直线a,b与平面α,β,γ,下面能使α⊥β成立的条件是 (　　) A.α⊥γ,β⊥γ   B.α∩β=a,b⊥a,b⊂βC.a∥β,a∥α    D.a∥α,a⊥β【解析】选D.由a∥α,知α内必有直线l与a平行,而a⊥β,所以l⊥β,所以α⊥β.选D.5.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是              (　　)A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC【解析】选C.如图,因为BC∥DF,所以BC∥平面PDF.所以A正确.因为BC⊥PE,BC⊥AE,所以BC⊥平面PAE.所以DF⊥平面PAE.所以B正确.所以平面ABC⊥平面PAE,所以D正确,不成立的是C选项.6.(多选题)下列命题中正确的是 (　　)A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解析】选ABC.如果平面α⊥平面β,那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β,其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直,故D项叙述是错误的.二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,平面α⊥平面β,在α与β交线上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和β内,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=3,BD=12,则CD=________. 【解析】连接BC.因为BD⊥AB,α⊥β,α∩β=AB,所以BD⊥α.因为BC⊂α,所以BD⊥BC,所以△CBD是直角三角形.在Rt△BAC中,BC==5.在Rt△CBD中,CD==13.答案:138.(双空题)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),写出图中互相垂直的两对平面________,________. 【解析】因为DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,所以DA⊥平面PAB,同样BC⊥平面PAB,又易知AB⊥平面PAD,所以DC⊥平面PAD.所以平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.选其中两对即可.答案:平面PAD⊥平面ABCD　平面PAD⊥平面PAB(答案不唯一)三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,E为AB的中点.求证:平面DD1E⊥平面CD1E.【证明】在矩形ABCD中,E为AB的中点,AD=2,AB=4,所以DE=CE=2,因为CD=4,所以CE⊥DE,因为D1D⊥平面ABCD,所以D1D⊥CE,因为D1D∩DE=D,所以CE⊥平面D1DE,又CE⊂平面CED1,所以平面DD1E⊥平面CD1E.10.已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证:EF∥平面A1B1BA;(2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.【解析】(1)连接A1B.在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EF∥A1B.又因为A1B⊂平面A1B1BA,EF⊄平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.(2)因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC,因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥AE.又因为BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1.又因为AE⊂平面AEA1,所以平面AEA1⊥平面BCB1.(3)取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点,所以NE∥B1B,且NE=B1B,所以NE∥A1A,且NE=A1A,所以A1AEN是平行四边形,所以A1N∥AE,且A1N=AE.又因为AE⊥平面BCB1,所以A1N⊥平面BCB1,所以∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成的角.在△ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=2.因为BM∥AA1,BM=AA1,所以A1ABM是平行四边形,所以A1M∥AB且A1M=AB.又由AB⊥BB1,所以A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中,A1B1==4.所以在Rt△A1NB1中,sin∠A1B1N==,所以∠A1B1N=30°,即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°.【补偿训练】　　　如图所示,在Rt△AOB中,∠ABO=,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB的中点.求证:平面COD⊥平面AOB.【证明】由题意:CO⊥AO,BO⊥AO,所以∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.因为二面角B-AO-C是直二面角,所以CO⊥BO.又因为AO∩BO=O,所以CO⊥平面AOB,因为CO⊂平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.(25分钟　50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.如图,AB是圆O的直径,PA⊥圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,则图中互相垂直的平面共有              (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.2对   B.3对   C.4对    D.5对【解析】选B.因为PA⊥平面ACB,PA⊂平面PAC,PA⊂平面PAB,所以平面PAC⊥平面ACB,平面PAB⊥平面ACB.因为PA⊥平面ACB,CB⊂平面ACB,所以PA⊥CB.又AC⊥CB,且PA∩AC=A,所以CB⊥平面PAC.又CB⊂平面PCB,所以平面PAC⊥平面PCB.所以互相垂直的平面有:平面PAC⊥平面ACB,平面PAB⊥平面ACB,平面PAC⊥平面PCB.2.正三棱锥的高是,侧棱长为,那么侧面与底面所成的二面角是 (　　)A.60°   B.30°   C.45°   D.75°【解析】选A.如图,设O为底面正三角形的中心,则PO⊥平面ABC,所以OC=2.过O作OM⊥BC于M,连接PM,则有PM⊥BC,所以∠PMO即为侧面与底面所成的二面角.在直角△CMO中,OM=OCsin 30°=1,所以在直角△MPO中,PM==2,所以cos∠PMO==.所以∠PMO=60°.3.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥CD,构成几何体A-BCD,则在几何体A-BCD中,下列结论正确的是              (　　)A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC【解析】选D.因为CD⊥平面ABD,从而CD⊥AB,又AB⊥AD,AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.4.(多选题)下列四个命题中,正确的为 (　　)A.α∥β,β⊥γ,则α⊥γB.α∥β,β∥γ,则α∥γC.α⊥β,γ⊥β,则α⊥γD.α⊥β,γ⊥β,则α∥γ【解析】选AB.CD不正确,如图所示,α⊥β,γ⊥β,但α,γ相交且不垂直.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,P是二面角α-AB-β的棱AB上一点,分别在α,β上引射线PM,PN,截PM=PN.若∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,则二面角α-AB-β的大小是________. 【解析】在α内过点M作MO⊥AB于点O,连接NO,设PM=PN=a.因为∠BPM=∠BPN=45°,所以△OPM≌△OPN,所以NO⊥AB,所以∠MON为二面角α-AB-β的平面角.连接MN.因为∠MPN=60°,所以MN=a.又MO=NO=a,所以MO2+NO2=MN2,所以∠MON=90°.答案:90°6.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD且底面各边都相等,M是PC上一点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可) 【解析】连接AC,因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,因为四边形ABCD的各边相等,所以AC⊥BD,且PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,即BD⊥PC,要使平面MBD⊥平面PCD,只需PC垂直于面MBD上的与BD相交的直线即可,所以可填DM⊥PC(或BM⊥PC).答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)三、解答题(每小题10分,共20分)7.在四面体ABCD中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a.求证:平面ABD⊥平面BCD.【证明】如图所示,因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形,所以取BD的中点E,连接AE,CE,则AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中,AB=a,BE=BD=a,AE==a.同理CE=a.在△AEC中,AE=CE=a,AC=a,由于AC2=AE2+CE2,所以AE⊥CE,又BD∩EC=E,所以AE⊥平面BCD,又AE⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面BCD.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,且CD=2AB.(1)若AB=AD,直线PB与CD所成的角为45°,求二面角P-CD-B的大小;(2)若E为线段PC上一点,试确定点E的位置,使得平面EBD⊥平面ABCD,并说明理由.【解析】(1)因为AB⊥AD,CD∥AB,所以CD⊥AD,又PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD,所以∠PDA即是二面角P-CD-B的平面角.又直线PB与CD所成的角为45°,所以∠PBA=45°,所以PA=AB.所以在Rt△PAD中,PA=AD,所以∠PDA=45°,即二面角P-CD-B的大小为45°.(2)当点E在线段PC上,且满足PE∶EC=1∶2时,平面EBD⊥平面ABCD.理由如下:连接AC交BD于点O,连接EO.由△AOB∽△COD,且CD=2AB,得CO=2AO,所以PE∶EC=AO∶CO=1∶2,所以PA∥EO.因为PA⊥底面ABCD,所以EO⊥底面ABCD.又EO⊂平面EBD,所以平面EBD⊥平面ABCD.所以在线段PC上存在点E,满足PE∶EC=1∶2时,平面EBD⊥平面ABCD.  关闭Word文档返回原板块