高中人教A版 (2019)第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第2课时练习

8.6.3 平面与平面垂直

第2课时 平面与平面垂直的性质

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1．若平面与平面互相垂直，则（    ）

A．内任一条直线都垂直于 B．中只有一条直线垂直于

C．平行于的直线必垂直于 D．内垂直于交线的直线必垂直于

【答案】D

【解析】如果两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线垂直于两个平面的交线，则这条直线垂直另一个平面. 根据这一性质可知D选项正确.

2．已知长方体，在平面上任取点，作于点，则（    ）

A．平面

B．平面

C．平面

D．以上都有可能

【答案】A

【解析】

∵平面，平面平面，且平面平面，∴平面.

3．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)

A．PD平面ABC

B．PD⊥平面ABC

C．PD与平面ABC相交但不垂直

D．PD∥平面ABC

【答案】B

【解析】∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.

又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，

∴PD⊥平面ABC.故选B

4．如图，在斜三棱柱中，，且，过作底面，垂足为，则点在(    ).

A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部

【答案】B

【解析】连接，如图.

∵，∴，

∵，，

∴平面.

又在平面内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面平面，

则根据面面垂直的性质定理知，在平面内一点向平面作垂线，垂足必落在交线上.

5．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为　(　　)

A．2 B． C．4 D．4

【答案】B

【解析】连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM=，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM=4×=2，所以PM的最小值为2. 选B.

6．平面平面，，，，直线（，是两条不同的直线），则直线与的位置关系是______.

【答案】

【解析】因为平面平面，，，，

由面面垂直的性质可得，又，所以.

故答案为：

7．如图所示，为空间四点，在△ABC中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时，________.

【答案】2.

【解析】取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.当平面平面时，因为平面平面，且，所以平面，故.由已知可得，在中，.

8．已知是△ABC所在平面外的一点，且平面，平面平面.求证:.

【答案】证明见解析

【解析】如图，在平面内作于点，

∵平面平面，平面平面，

平面，且，

平面，

又平面，

.

平面，平面，

，

，平面，

平面，

又平面，

.

能力提升

9．如图，在四边形中，，，，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．△A´DC是正三角形 D．四面体的体积为

【答案】B

【解析】，，，平面平面，由与不垂直，，知与平面不垂直，仅与平行的直线垂直，故A错误；

由，平面平面，易得平面，，又由，，可得，则平面，，故B正确；

由平面，得，即△A´DC是直角三角形，故C错误；

四面体的体积选，故D错误.

故选：B.

10．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______.

【答案】6

【解析】，O为的中点，

.

又平面平面，且交线为，

平面.

平面，，△COD为直角三角形.

∴图中的直角三角形有，，△ABC，，△BOD，，共6个.

故答案为：6.

11．如图所示，在三棱锥中，平面，为直角三角形，，过点分别作，，，分别为垂足.

（1）求证：平面 平面.

（2）求证：.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】证明：（1）因为平面， 平面，所以．又，，所以平面．又平面，所以平面平面．

（2）由（1）可知，平面，平面，所以．又，，所以平面．

又平面，所以．

又，，，所以平面．

又平面，所以．

素养达成

12．如图所示，平面平面，平面平面，平面，为垂足.

（1）求证：平面；

（2）当为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.

【答案】(1)见解析.(2)见解析.

【解析】(1）在平面内取一点，作于，于.

∵面平面，且平面平面，

平面.

又平面，.同理可证.

，平面.

（2）连接并延长交于.

是△PBC的垂心，，又平面，故，又，平面，.

又平面，，又，平面，，即△ABC是直角三角形.