2020-2021学年第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数测试题

4.4对数函数

1. 对数函数概念；2. 对数函数的定义域；3. 对数函数的图象；4. 对数函数性质及应用；5. 对数函数单调性的应用；6. 对数型复合函数的单调性；7. 对数型复合函数的值域；8. 对数型复合函数的奇偶性.

一、单选题

1．（2019·浙江湖州�高一期中）下列各式中错误的是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】C

【解析】

A、∵y＝3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；

B、∵y＝log0.5x，在上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B正确；

C、∵y＝0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；

D、∵，在上为增函数，∵，∴，故D正确.

故选：C．

2．（2020·全国高三课时练习（理））“”是“函数为奇函数”的(   )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

时， ，当 时， ，函数为奇函数；当 时，，函数不是奇函数时， 不一定奇函数，当是奇函数时，由可得，所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件  ，故选B.

3．（2020·全国高三课时练习（理））设，都是不等于的正数，则“”是“”的（   ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.

4．（2020·全国高一课时练习）图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　

A．，，， B．，，，

C．，，， D．，，，

【答案】A

【解析】

由已知中曲线是对数函数的图象，

由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，

由取，，，四个值，

故，，，的值依次为，，，，

故选：．

5．（2020·全国高一课时练习）设则（    ）

A．a＞b＞c B．a＞c＞b

C．b＞a＞c D．b＞c＞a

【答案】A

【解析】

，

.

故选：A.

6．（2020·武威第六中学高三其他（文））设函数，则满足的的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题意，，

所以，

①当时，，即，

解得，所以；

②当时，，即，

解得，所以；

综上是，时的取值范围为.

故选：B

7．（2019·浙江高一期中）函数的单调递增区间是(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增，

故选：A

8．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意：，

且：，

据此：，

结合函数的单调性有：，

即.

本题选择C选项.

9．（2019·浙江高一期中）若，，，定义在上的奇函数满足:对任意的且都有，则的大小顺序为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

由题意，在上单调递减，

又，所以，

所以，故选B．

10．（2020·全国高一课时练习）函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

试题分析：若函数在上为减函数,则，计算得出，所以B选项是正确的.

点睛：复合函数的单调性需遵循原则“同增异减”，即内层函数和外层函数单调性相异时，符合函数才会单减，作为对数的底，所以有，所以内层函数单减，所以外层函数必须单增，故，还需保证真数在定义域上恒大与，只需保证正数部分最小值大于即可.

二、多选题

11．（2020·浙江高一单元测试）已知，且，，若，则下列不等式可能正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

∵，

∴若，则，即．

∴，故A正确．

，故D正确．

若，则，

∴，，故BC错误，

故选：AD

12．（2020·全国高一课时练习）函数在上是减函数，那么（    ）

A．在上递增且无最大值 B．在上递减且无最小值

C．在定义域内是偶函数 D．的图象关于直线对称

E.，满足在上是减函数

【答案】ADE

【解析】

由得，函数的定义域为.

设则在上为减函数，在上为增函数，

且的图象关于对称，所以的图象关于对称，D正确；

因为在上是减函数，所以，所以E正确；

由上述分析知在上递增且无最大值，A正确，B错误；

又，

所以C错误，

故选：ADE.

13．（2019·山东日照�高二期末）给出下列三个等式：，，，下列函数中至少满足一个等式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】

对A：，符合；

对B：，符合；

对C：不满足任何一个等式；

对D：，符合.

故选：ABD

14．（2019·江苏姑苏�苏州中学高一期中）对于函数，下列说法正确的有（     ）

A．是偶函数

B．是奇函数

C．在区间上是减函数，在区间上是增函数

D．没有最小值

【答案】AD

【解析】

对A,B,因为,故,

又,故为偶函数.故A正确,B错误.

对C.因为.

当时,因为在为减函数,故为减函数,所以在区间为减函数.故C错误.

对D,因为当时, 为减函数.故且当时, .

故没有最小值.故D正确.

故选：AD

三、填空题

15．（2019·六盘水市第二中学高一期中（理））函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】

由题意可得，即，解得且.

因此，函数的定义域是.

故答案为：.

16．（2020·安徽蚌埠�高三其他（文））已知函数，则_______.

【答案】

【解析】

．

故答案为：－1

17．（2020·湖南天心�长郡中学高三其他（文））设函数则满足的的取值范围是_______________.

【答案】

【解析】

时，，，，∴，

时，，，，所以，

综上，原不等式的解集为．

故答案为：．

四、双空题

18．（2019·浙江湖州�高一期中）函数的定义域为______，最小值为______.

【答案】       

【解析】

由题意得，解得，所以函数的定义域为，

令，所以在递减，且.

 因此函数的值域为，最小值为.

故答案为：；

19．（2020·上海高三专题练习）已知函数，若它的定义域为，则a_________，若它的值域为，则a__________．

【答案】       

【解析】

函数的定义域为，则恒成立，故，

即；

函数为，则是函数值域的子集，

则，即.

故答案为：；.

20．（2020·上海高一课时练习）若，则的取值范围是___________；若，则的取值范围是__________．

【答案】       

【解析】

在定义域内是增函数

由，可得

解得：

，则的取值范围是：

在定义域内是减函数

由，可得

解得：

，则的取值范围是：

故答案为：；．

21．（2018·浙江嘉兴�高三月考）已知，则_________，若，则_________.

【答案】；    或.   

【解析】

，

，

当时，若，则，求得；

当时，若，则，求得.

故答案为：；或.

五、解答题

22．（2020·全国高一课时练习）画出下列函数的图象：

（1）y＝lg|x－1|．（2）．

【答案】图象见解析

【解析】

（1）设，

所以是偶函数，图象关于轴对称，

图象是由向右平移个单位得到，

所以图象关于对称，

当时，，

图象是图象向右平移个单位得到，

再画出其关于对称部分，

即可得出图象，如下图所示：

（2）由函数，则满足，解得，即函数的定义为，

先画得对数函数的图象，将函数的图象向右平移1个单位，

得到函数，再将函数下方的图象关于轴对称，

即可得到函数的图象，如图所示：

23．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝log2(1－x)＋log2(x＋3)，求f(x)的定义域、值城．

【答案】定义域为，值域为.

【解析】

由函数有意义得，解得，

所以函数的定义域为.

因为

，，

又因为在上递增，在上递减，所以，

所以.

所以函数的值域为.

24．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）已知

(1)求的定义域；

(2)判断的奇偶性并予以证明；

(3)求使的的取值范围．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

 (1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．

(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．

(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得0<x<1；

若0<a<1，f(x)>0，则0<<1，解得－1<x<0.

判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数） .

25.（2019·浙江高一期中）已知函数．

（Ⅰ）若，求函数的定义域和值域；

（Ⅱ）若函数的定义域为，值域为，求实数的值．

【答案】（Ⅰ）定义域为，值域为；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）若，则，由，得到

，得到，故定义域为．

令，则

当时，符合．

当时，上述方程要有解，则，得到或，

又，所以，

所以，则值域为．

（Ⅱ）由于函数的定义域为，则恒成立，则，即，令，由于的值域为，则，而

，则由解得 ，故和是方程即的两个根，则，得到，符合题意．所以．

26．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））设,且.

（1）求的值及的定义域；

（2）求在区间上的最大值．

【答案】（1），定义域为；（2）2

【解析】

（1）,解得.

故,

则,解得,

故的定义域为.

（2）函数,定义域为,,

由函数在上单调递增,函数在上单调递增,在上单调递减,可得函数在上单调递增,在上单调递减.

故在区间上的最大值为.

27．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知函数.

(1)当时,求；

(2)求解关于的不等式；

(3)若恒成立,求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）当时，   

（2）由得：

或

当时，解不等式可得：或

当时，解不等式可得：或

综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为

（3）由得：

或

①当时，，

或，解得：

②当时，，

或，解得：

综上所述：的取值范围为