数学必修 第一册4.4 对数函数第2课时导学案

这是一份数学必修 第一册4.4 对数函数第2课时导学案，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【自主学习】
1.对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为__ __；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为__ _.
对于对数型复合函数y＝lgaf(x)来说，函数y＝lgaf(x)可看成是y＝lgau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．
2.数型复合函数的值域
对于形如y＝lgaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝lgau，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝lgau的单调性求解．
【小试牛刀】
1．函数f(x)＝lgax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(0,1)D．(1，＋∞)
2．已知函数f(x)＝2 eq lg\s\d8(\f(1,2)) x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\r(2)))B．[－1,1]
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(\r(2),2)))∪[eq \r(2)，＋∞)
【经典例题】
题型一 比较对数值的大小
例1 比较下列各组中两个值的大小：
(1)lg31.9，lg32；
(2)lg23，lg0.32；
(3)lgaπ，lga3.14(a>0，a≠1).
[跟踪训练]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )
A.lga5.1lgeq \f(1,2)2.2
C.lg1.1(a＋1)题型二 对数型复合函数的单调性
1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．
2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).
例2 求函数y＝lg0.3(3－2x)的单调区间；
例3 讨论函数f(x)＝lga(3x2－2x－1)的单调性．
注意：求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集．
[跟踪训练]2 (1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A.(－∞，－2) B.(－∞，1)
C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)
（2）函数f(x)＝lgeq \f(1,3)(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.
题型三 对数型复合函数的奇偶性
注意：判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称．
例4 已知函数f(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．
[跟踪训练]3 设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
题型四 对数型复合函数的值域
1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．
2．对于形如y＝lga f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y＝lgau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝lgau的单调性求解．
例5 求下列函数的值域：
(1)y＝lg2(x2＋4)；
(2)y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (3＋2x－x2)．
[跟踪训练]4 函数f(x)＝lg2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)
题型五 解对数不等式
注意：两类对数不等式的解法
(1)形如lgaf(x)①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如lgaf(x)①当0ab；
②当a>1时，可转化为0例6 已知lg0.3(3x)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
[跟踪训练]5 不等式lgeq \f(1,2)(2x＋3)A.(－∞，3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(6,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，3))
【当堂达标】
1.设a＝lg54，b＝(lg53)2，c＝lg45，则( )
A.aC.a2．函数f(x)＝lgax(a＞0，且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝__ __.
3.函数y＝lgeq \f(1,2)(x2－6x＋11)的值域为________.
4.函数f(x)＝lg2x2的单调递增区间是________.
5.判断函数f(x)＝lg2(eq \r(x2＋1)＋x)的奇偶性.
【参考答案】
【自主学习】
增函数 减函数
【小试牛刀】
1. C [解析] 由对数函数的单调知识易知02. A [解析] 由－1≤2 eq lg\s\d8(\f(1,2)) x≤1，得－1≤－2lg2x≤1.解得eq \f(\r(2),2)≤x≤eq \r(2).
【经典例题】
例1 解 (1)因为y＝lg3x在(0，＋∞)上是增函数，所以lg31.9(2)因为lg23>lg21＝0，lg0.32lg0.32.
(3)当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，则有lgaπ>lga3.14；
当0综上所得，当a>1时，lgaπ>lga3.14；当0[跟踪训练]1 B 对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以eq \f(1,2)为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，lg32.9>0，lg0.52.2<0，故不成立，故选B.
例2 解 (1)由3－2x>0，解得x例3 [解析] 由3x2－2x－1>0，得函数的定义域为{x|x>1或x<－eq \f(1,3)}．
当a>1时，若x>1，∵y＝lgau为增函数，又u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝lga(3x2－2x－1)为增函数．
若x<－eq \f(1,3)，∵u＝3x2－2x－1为减函数，
∴f(x)＝lga(3x2－2x－1)为减函数．
当01，则f(x)＝lga(3x2－2x－1)为减函数，
若x<－eq \f(1,3)，则f(x)＝lga(3x2－2x－1)为增函数．
[跟踪训练]2（1）D 解析 要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)，故选D.
(2)解 令t＝3x2－ax＋7，则y＝lgeq \f(1,3)t单调递减，故t＝3x2－ax＋7在[－1，＋∞)上单调递增且t>0.因为t＝3x2－ax＋7的对称轴为x＝eq \f(a,6)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a,6)≤－1，,10＋a>0，))
解得－10例4 [解析] (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0,1－x>0))，∴－1∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)知函数f(x)的定义域为(－1,1)关于原点对称．∴f(－x)＝lga(－x＋1)－lga(1＋x)
＝－[lga(1＋x)－lga(1－x)]＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
[跟踪训练]3 A [解析] 由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝lneq \f(1＋x,1－x)＝ln(eq \f(2,1－x)－1)，易知y＝eq \f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A．
例5 [解析] (1)y＝lg2(x2＋4)的定义域为R.
∵x2＋4≥4，∴lg2(x2＋4)≥lg24＝2.∴y＝lg2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.
∵u>0，∴0∴y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．
[跟踪训练]4 A [解析] ∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴lg2(3x＋1)>lg21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．
例6 A 解析 因为函数y＝lg0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x>0，,x＋1>0，,3x>x＋1，))解得x>eq \f(1,2).
[跟踪训练]5 D 解析 由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3>0，,5x－6>0，,2x＋3>5x－6，))解得eq \f(6,5)【当堂达标】
1. D 解析 ∵1＝lg55>lg54>lg53>lg51＝0，
∴1>a＝lg54>lg53>b＝(lg53)2.
又∵c＝lg45>lg44＝1.∴c>a>b.
2. 3 [解析] 当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，则lga3＝1，∴a＝3＞1，∴a＝3符合题意；
当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，则lga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意．
3.(－∞，－1] 解析 ∵x2－6x＋11＝(x－3)2＋2≥2，∴lgeq \f(1,2)(x2－6x＋11)≤lgeq \f(1,2)2＝－1，故所求函数的值域为(－∞，－1].
4. (0，＋∞) 解析 令t＝x2，易知t＝x2在(0，＋∞)上单调递增，而y＝lg2t在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞).
5.解 易知f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，又f(－x)＋f(x)＝lg2(eq \r(x2＋1)－x)＋lg2(eq \r(x2＋1)＋x)＝lg2(x2＋1－x2)＝lg21＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
课程标准
学科素养
1.进一步理解对数函数的性质(重点).
2.能运用对数函数的性质解决相关问题(重、难点).
1.数形结合
2.数学运算
函数
单调性
y＝f(μ)
增函数
增函数
减函数
减函数
μ＝g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
y＝f[g(x)]
增函数
减函数
减函数
增函数