3.2.4 抽象函数单调性及奇偶性 -【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

抽象函数的单调性一类：一次函数型  函数满足： 或  1.函数f(x)对任意x､y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0, f(3)=-2.(1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.          2.已知函数对任意实数恒有，且当x＞0，(1)判断的奇偶性；(2)求在区间[－3,3]上的最大值；      3.已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：（1）函数是上的减函数；（2）函数是奇函数。          4.已知函数的定义域为R，对任意实数都有，且，当时, >0. (1)求； (2) 判断函数的单调性，并证明.     二类：对数函数型   函数满足： 或  1.函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。 （1）证明：； （2）若成立，求x的取值范围。    2.定义在上的函数满足对任意恒有，且不恒为0。
（1）.求和的值；
（2）.试判断的奇偶性，并加以证明；
（3）.若时为增函数，求满足不等式的的取值范围.   3.已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足:. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论;  4.定义在，上的函数，满足 ，且当 时，.
（1）.求的值；
（2）.求证:；
（3）.求证:在上是增函数；
（4）.若，解不等式 .   三类：指数函数型     函数满足： 或  1.已知函数的定义域为R，对任意实数都有，且当时，. (1)证明:； (2)证明:在R上单调递减.           2.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）   求证：f(0)=1；（2）   求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。     四类：幂函数型   函数满足： 或  1.已知函数满足：①对任意，都有，②时，.（I）判断的奇偶性；（II）判断在上的单调性，并证明；（III）若，且，求的取值范围。   五类：其他类数函数型1.已知定义在(0,+∞)上的函数满足(1)时，；(2)；(3)对任意的，都有，求不等式的解集.   2.已知函数. （1）.若函数的定义域和值域均为，求实数的值;（2）.若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的值.   3.已知函数=是定义在（－1，1）上的奇函数，且＝①确定函数的解析式   ②用定义证明函数在上是增函数   ③解不等式 .     4.函数的定义域为R，并满足以下条件：①对任意，有>0；②对任意，有；③. (1)求的值； (2)求证: 在R上是单调减函数.