3.3-3.4 幂函数及其应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

幂函数及图象变换

【要点梳理】

要点一、幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.

要点诠释：

幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.

要点二、幂函数的图象及性质

1.作出下列函数的图象：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)．

要点诠释：

幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；

(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

2.作幂函数图象的步骤如下:

(1)先作出第一象限内的图象；

(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；

若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性

如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；

如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.

3.幂函数解析式的确定

(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．

(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．

(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．

4.幂函数值大小的比较

(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．

(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．

(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．

要点三、初等函数图象变换

基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）

由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．

如：的图象变换，

（1）平移变换

y=f(x)→y=f(x＋a)   图象左（）、右（）平移

y=f(x)→y=f(x)＋b   图象上（）、下（）平移

（2）对称变换

y=f(x) →y=f(－x),   图象关于y轴对称

y=f(x) →y=－f(x) ,   图象关于x轴对称

y=f(x) →y=－f(－x)  图象关于原点对称

y=f(x)→  图象关于直线y=x对称

（3）翻折变换：

        y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分

关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数）

       y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象

关于x轴对称

 要点诠释：

（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。

（2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。

【典型例题】

类型一、求函数解析式

例1.已知幂函数（k∈N*）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）的解析式．

【解析】幂函数（k∈N*）的图象关于y轴对称，

所以，，解得－1＜k＜3，

因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数（k∈N*）在区间（0，+∞）为减函数，

∴k=1，

函数的解析式为：．

举一反三：

【变式1】已知幂函数的图象过点，则=         ．

【解析】设，则由图象过点，可得，

即 ，所以，即．

类型二、幂函数的图象

例2.给定一组函数的解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，如右图的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内．

【答案】⑥④③②⑦①⑤

举一反三：

【变式1】幂函数在第一象限内的图象如图所示，

已知分别取-1，四个值，则相应图象依次为：         ．

【答案】

【变式2】 已知幂函数的图象如图所示，则（   ）

A.均为奇数，且           B.为偶数，为奇数，且

C. 为奇数，为偶数，且    D. 为奇数，为偶数，且

【答案】D．由函数图象关于轴对称知，函数为偶函数，故为偶数，为奇数．

由函数图象在第一象限为减函数知．

类型三、幂函数的性质

例3.比较下列各组数的大小.

(1) 与      (2)与      （3）和

【解析】(1) 由于幂函数()单调递减且，∴.

(2)由于这个幂函数是奇函数.(x>0)单调递减，且，

∴ .即.

（3），

举一反三：

【变式1】比较，，的大小.

【解析】在上单调递增，且，.

作出函数与在第一象限内的图象，易知.

 故.

类型四、求参数的范围

例4.已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数．

（1）求m的值；

（2）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求k的取值范围．

【解析】（1）依题意得：，解得m=0或m=2

当m=2时，在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去

∴m=0．

（2）由（1）知，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，

∴A=[1，4]，B=[2―k，4―k]，

∵，∴

解得，0≤k≤1

故实数k的取值范围为[0，1]

【变式1】若，求实数a的取值范围.

解法1：∵， 考察的图象，得以下四种可能情况:

(1) (2) (3) (4)

分别解得:(1). (2)无解. (3). (4).

∴a的取值范围是.

解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，

∴　要使， 即，

 解得:.

类型五、幂函数的应用

例5.已知函数为偶函数，且f（3）＜f（5）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．

【解析】（1）∵f（x）为偶函数，∴为偶数，

又f（3）＜f（5），∴，即有：，

∴ ，∴，又m∈Z，∴m=0或m=1．

当m=0时，为奇数（舍去），

当m=1时，为偶数，符合题意．

∴m=1，

（2）由（1）知：（a＞0且a≠1）在[2，3]上为增函数．

令，；

①当a＞1时，为增函数，只需在区间[2，3]上为增函数．

即：

②当0＜a＜1时，为减函数，只需在区间[2，3]上为减函数．

即：，

综上可知：a的取值范围为：（1，2）．

类型六：基本初等函数图象变换

例6．作出下列函数的图象：

(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx；        (2) y=lg|x|；          (3) y=-1+lgx.

【解析】(1)如图(1)；                (2)如图(2)；            (3)如图(3).

举一反三：

【变式1】作出的图象．

【解析】

先画出的图象，然后

如下图：

【变式2】作函数的图象．

巩固练习

1．函数的定义域是(  C  )

A.[0，+∞）    B.(-∞，0)    C.(0，+∞)    D.R

2．设，则使为奇函数且在上单调递减的的值的个数是（  A  ）．

A. 1     B.  2     C. 3      D. 4

3．当时，下列函数的图象全在直线下方的偶函数是（  B  ）．

A.      B.       C.       D.

4．如果是幂函数，则在其定义域上是（  D  ）．

A.增函数    

B.减函数   

C.在上是增函数，在上是减函数    

D.在上是减函数，在上也是减函数

5. 如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小(    )

A．

B．

C．

D．

5.【答案】D【解析】在上单调递减的幂函数，幂指数小于0，故，故选D．

6. 三个数，，的大小顺序是(     )

A.c<a<b    B.c<b<a     C.a<b<c     D.b<a<c

6.【答案】B【解析】因为指数函数是减函数，所以，故．

又幂函数在上是减函数，所以，故，所以．

7．已知幂函数（k∈R，a∈R）的图象过点，则k+a=（    ）

A．      B．1      C．      D．2

7．【答案】A【解析】∵幂函数（k∈R，a∈R）的图象过点，

∴k=1，，∴；∴．

8.若幂函数存在反函数，且反函数的图象经过则的表达式为(     )

A.   B.   C.    D.  

8.【答案】B 反函数图象经过，故原函数图象经过，

所以，得

9.函数的定义域是          .

9.【答案】【解析】原函数，所以解得

10.已知，且，则          .

10.【答案】-26  令，则为奇函数，又=10，，

11．已知幂函数，若，则的取值范围是    

11．【答案】(3,4)【解析】由题意，因为是幂函数，所以x＞0，且是递减函数

又因为，所以有 ，即，所以

12．幂函数在（0，+∞）上为增函数，则m=________．

12．【答案】2【解析】∵函数为幂函数，且在（0，+∞）是偶函数，

∴，解得m=2，或m=―1．

当m=―1时，幂函数在（0，+∞）上是减函数，不满足题意，应舍去；

当m=2时，幂函数在（0，+∞）上是增函数，满足题意；∴实数m的值为2．

13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在第一象限是单调递减函数．

（1）求m的值；

（2）解不等式f（1－2x）≥f（2）．

13．【解析】因为幂函数的图象关于y轴对称，所以函数f（x）是偶函数，

∴为偶数，∴为奇函数，

故m=1；

（2）∵定义域为，在第一象限是单调减函数，f（x）为偶函数，

又f（1－2x）≥f（2），∴|1－2x|≤2，且

解得：．

14．已知函数（m∈Z）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．

（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；

（2），求g（x）的定义域和值域．

14．【解析】（1）∵f（x）在（0，+∞）单调递增，

由幂函数的性质得，解得，

∵m∈Z，∴m=0或m=1．

当m=0时，不是偶函数，舍去；

当m=1时，是偶函数，

∴m=1，；

（2）由（1）知，由得－3＜x＜1，

∴g（x）的定义域为（―3，1）．

设，x∈（－3，1），则t∈（0，4]，

此时g（x）的值域，就是函数，t∈（0，4]的值域．

在区间（0，4]上是增函数，∴y∈（－∞，2]；

∴函数g（x）的值域为（－∞，2]．