3.2.2 奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

函数的奇偶性【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，   f(-x)=-f(x)的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.（3）注意到偶函数的性质：，可避免讨论．3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.若=-，则是奇函数；若=，则是偶函数； 要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.     【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)；           (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；        (3)f(x)=|x+3|-|x-3|；      (4)；     (5)；    (6)      举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；                  (2)；       (3)；               (4).     例2.已知函数，若对任意实数都有，判断的奇偶性.    举一反三：【变式1】定义在（－∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），总有f（mn）=f（m）f（n），且f（x）＞0，当x＞1时，f（x）＞1．（1）求f（1），f（－1）的值；（2）判断函数的奇偶性，并证明；（3）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明．      类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例3. f(x)，g(x)均为奇函数，在上的最大值为5，则在（-）上的最小值为        ．    举一反三：【变式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).     例4．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，；（1）求f(x)的解析式；  （2）作出函数f(x)的图象（不用列表），并指出它的增区间。   举一反三：【变式1】（1）偶函数的定义域是R，当时，求的解析式.    （2）已知奇函数的定义域是R，当时，求的解析式.    例5. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，是单调递减的，若成立，求m的取值范围．     类型三、函数奇偶性的综合问题例6.  已知是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数的单调递增区间．     举一反三【变式1】设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为（      ）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）          B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）        D．（﹣1，0）∪（0，1）  例7.设函数（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞2，求函数f（x）的最小值．     举一反三：【变式1】 判断的奇偶性．      例8.对于函数，若存在x0∈R，使成立，则称点（x0，x0）为函数的不动点．（1）已知函数有不动点（1，1），（―3，―3），求a，b的值；（2）若对于任意的实数b，函数总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限）n个不动点，求证：n必为奇数．       【巩固练习】1．函数的图象(    )A．关于原点对称     B．关于轴对称     C．关于轴对称     D．不具有对称轴 2．已知函数为偶函数，则的值是(    )A.    B.     C.    D.  3．设函数，且则等于（    ）A.-3     B.3       C.-5       D. 5 4．如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是(    )A．增函数且最小值是     B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是     D．减函数且最小值是 5．已知是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使的的范围是（    ）A．     B．     C．     D． 6．若函数为奇函数，且g（x）=f（x）+2，若f（1）=1，则g（－1）的值为（    ）A．－1    B．－3    C．2    D．－2  7．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是(    )A．>      B．<  C．     D． 8．若定义在上的函数满足：对任意有+1，则下列说法一定正确的是（    ）．A．为奇函数    B． 为偶函数  C．为奇函数   D．为偶函数 9．已知函数是奇函数，则a=____，f（f（1））=____． 10．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则            . 11．函数为偶函数，其定义域为，则的值域      ．   12．奇函数在（-1，1）上是减函数，求满足的实数的取值范围．    13．已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的满足（1）求的值；（2）判断的奇偶性，并证明你的结论．      14．定义在[－1，1]上的函数y=f（x）是增函数且是奇函数，若f（－a+1）+f（4a－5）＞0．求实数a的取值范围．      15．函数f(x)对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x＞0时f(x)＜0恒成立．（1）证明函数f(x)的奇偶性；（2）若f(1)= －2，求函数f(x)在[－2，2]上的最大值；（3）解关于x的不等式