3.1函数定义域、值域和解析式求法小专题-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）
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考点一：函数定义域的求法
复合函数求定义域的题型：
注意1：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量的取值集合。
注意2：在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同。
题型1：已知的定义域，求的定义域；
例1：已知的定义域是，求的定义域。
1.解：是由，复合而成，，即，
题型2：已知的定义域，求的定义域；
例2：已知的定义域是，求的定义域。
2.解：是由，复合而成，，，即。
题型3：已知的定义域，求的定义域；
例3：已知的定义域是，求的定义域。
3.解：是由，复合而成，
，即，即，
是由，复合而成，，即，即。
巩固练习：
1.（1）已知函数f(x)的定义域为[1，4]，则f (x＋2)的定义域为______________。
（2）已知函数f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，则f(x)的定义域为____________。
1：【解析】（1）∵1≤x＋2≤4，∴－1≤x≤2 （2）∵－1＜x＜0，∴－2＜2x＜0，∴－1＜2x＋1＜1
2.（1）已知函数f(x)的定义域为[－5，5]，则f (3－2x)的定义域为_______。
（2）已知函数f(x＋1)的定义域为[0，3]，则f(x2)的定义域为_______。
2.（1）[－1，4]，（2）0≤x≤3，1≤x＋1≤4，1≤x2≤4，则－2≤x≤－1或1≤x≤2
3.若函数f(x)＝的定义域为R，则实数的取值范围是__________。
3.【解析】：≥1
考点二：确定函数解析式的方法
1.构造法：已知f [g(x)]的解析式，要求f(x)的解析式，从f[g(x)]的解析式中拼凑出“g(x)”，两边用“x”代替“g(x)”即可得到f(x)的解析式。
1.若f()＝，求f(2)
1.【解析】∵ f () ＝＝ ∴ f (x) ＝∴ f(2) ＝＝
2.（1）已知f (x＋)＝x2＋ ，求f (x) （2）已知f (＋1)＝x＋2，求f (x)
2.【解析】：（1）f(x)＝x2－2 （2）f (x) ＝x2－1
2.换元法：已知函数f [g(x)]的解析式，令g(x)＝t，求f(t)的解析式，用x代替两边所有的t，即可。
3.已知函数f (2x＋1) ＝x2－2x，求f (1)
3.【解析】令2x＋1＝t，则 x ＝ ∴ f (t )＝()2－2×＝
∴ f (x)＝ ∴ f (1) ＝＝0
4.已知f (＋1)＝x＋2，求f (x)
4.【解析】：f (x) ＝x2－1
3.方程组法：已知f(x)与f[g(x)]满足的关系式，要求f(x)时，用g(x)代替两边所有的x，
得到关于f(x)，f[g(x)]的方程组，解方程组得f(x)。
5.已知函数f (x)满足，f(x)－2 f ()＝3x＋2，求f (x)的解析式。
5.【解析】：用代替x得：f ()－2 f (x)＝3×＋2
∴ 解之得：f (x)＝－x－－2
6.已知函数f(x)满足：f (x)＋2 f (－x)＝x2＋x，求函数f(x)的解析式。
6.【解析】：f(x) ＝
4.待定系数法：
（1）、初中所学一次函数、反比例函数、二次函数解析式的求法。
一次函数：f(x)＝kx＋b (k≠0) ； 反比例函数：f (x)＝(k≠0)， 二次函数：
（2）若已知f(x)函数的类型，求f(x)的解析式，可根据类型设其解析式，然后确定其系数即可。
7.已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋3，求f (x)的解析式。
7.【解析】设：f(x)＝kx＋b (k≠0) ∴ f[f(x)] ＝f (kx＋b)＝ k(kx＋b)＋b ＝k2x＋kb＋b ＝4x＋3
∴ 解之得或 ∴ f (x)＝2x＋1 或 f (x)＝－2x－3
8.已知函数f(x)是一次函数，且2 f (1)＋3 f (2)＝3，2 f (－1)－3 f (0)＝－1，求f (x)的解析式。
8.【解析】设：f(x)＝kx＋b (k≠0)，由题意得
解之得： ∴f (x)＝x－1
9.（1）已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝9x＋8，求f (x)的解析式。
（2）已知一次函数f(x)满足：3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f (x)的解析式。
9.【解析】（1）f (x)＝3x＋2 或 f (x)＝－3x－4 （2）f (x)＝2x＋7
考点三：几种值域的求法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1x1) ② ③ ④
解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]
②∵ ∴，即函数的值域是 { y| y2}
③ ，∵ ∴
即函数的值域是 { y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）
④当x>0，∴=，
当x<0时，=－
∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）
函数的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
①； ②；
③； ④；
解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.
②在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
③在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
④在[0,5]上，=-3，=6；值域为[-3，6].
3．判别式法（△法）：
例3．求函数的值域
方法一：去分母得 (y1)+(y+5)x6y6=0 ①
当 y1时 ∵xR ∴△=(y+5)+4(y1)×6(y+1)0，由此得 (5y+1)0
检验 时 （代入①求根）
∵2 定义域 { x| x2且 x3} ∴
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1
综上所述，函数的值域为 { y| y1且 y}
方法二：把已知函数化为函数 (x2)
由此可得 y1 ， ∵ x=2时 即
∴函数的值域为 { y| y1且 y}
4．换元法
例4．求函数的值域
解：设 则 t0 x=1
代入得
∵t0 ∴y4
5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解：将函数化为分段函数形式：，
画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.
巩固练习：
1.；
解：∵x0，，∴y11.
另外，此题利用基本不等式解更简捷：
2.
∵2-4x+3>0恒成立(为什么？)，∴函数的定义域为R，
∴原函数可化为2y-4yx+3y-5=0，由判别式0，
即16-4×2y(3y-5)=-8+40y0(y0),
解得0y5，又∵y0, ∴0<y5.
3.求函数的值域
①； ②
解：①令0,则,
原式可化为,
∵u0，∴y，∴函数的值域是（-，].
②解：令 t=4x0 得 0x4
在此区间内 (4x)=4 ，(4x) =0
∴函数的值域是{ y| 0y2}
4.求函数y=值域
解：∵，
∴函数的定义域R，原式可化为,
整理得，
若y=1,即2x=0,则x=0；
若y1,∵R，即有0，
∴,解得且 y1.
综上：函数是值域是{y|}.
