高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法当堂检测题

专题4. 5数学归纳法（B卷提升篇）（人教A版第二册,浙江专用）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1．（2020·全国高二课时练习）已知，则（    ）

A．中共有项，当n=2时，

B．中共有项，当n=2时，

C．中共有项，当n=2时，

D．中共有项，当n=2时，

【答案】C

【解析】

中共有项，当n=2时，.

故选：C

2．（2020·全国高二课时练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（    ）

A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立

C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立

【答案】B

【解析】

由数学归纳法的证明步骤可知，假设为偶数）时命题为真，

则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即时等式成立，

不是，因为是偶数，是奇数，

故选：．

3．（2020·全国高二课时练习）平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此．

故选：B．

4．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明“对于的正整数成立”时，第一步证明中的起始值应取（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立，

结合本题，当时，左边，右边，不成立；

当时，左边，右边，不成立；

当时，左边，右边，不成立；

当时，左边，右边，不成立；

当时，左边，右边，成立.

因此当时，命题成立．所以第一步证明中的起始值应取．

故选：D．

5．（2020·上海普陀区·曹杨二中高二期中）用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（    ）

A．增加一项 B．增加两项、

C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项

【答案】D

【解析】

由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立，

那么时，有：，

∴，

综上知：不等式左边需要增加、，且减少一项

故选：D

6．（2020·江西省奉新县第一中学高三月考（理））用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

当时，左边，

当时，左边，

所以左边增加分母是连续的正整数，

所以共增加了项，

所以的假设证明时，不等式左边需增加的项数为，

故选：C

7．（2020·陕西省商丹高新学校高二期中（理））已知，证明不等式时，比多的项数是（    ）

A．项 B．项 C．项 D．以上都不对

【答案】C

【解析】

因为，，

所以，

所以比多的项数是.

故选：C.

8．（2020·山西高二期末（理））用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（   ）

A．项 B．项 C．项 D．项

【答案】D

【解析】

当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；

当时，左边，共有项；

所以从“到”左边增加的项数是项.

故选D

9．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（    ）能被9整除.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

假设时命题成立，即能被9整除，

当时，

能被9整除

要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除

故选：

10．（2020·浙江高三二模）数列满足：，，数列前项和为，则以下说法正确个数是（    ）

①；

②；

③；

④.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

在①中，用数学归纳法求证：

当时，，成立，假设，

则一方面，

另一方面由于时，，

∴ ，

∴ ，故①正确；

在②中，由于当时，令，

则，

由于时，，故，在单调递增，，

所以在上单调递增，故，

所以，即，

则，

∴ ，故②正确；

在③中，由于，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，故③正确；

在④中，，，故④正确.

故选：.

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）

11．（2020·全国高二课时练习）已知，用数学归纳法证明时，_________．

【答案】

【解析】

因为当时，，

当时，，所以．

故答案为：．

12．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．

【答案】5

【解析】

当时，原式为：，

当时，原式为，

比较后可知多了，共5项.

故答案为：5

13．（2019·海口市灵山中学高三月考）已知数列的前项和为，满足，，则___________.

【答案】

【解析】

因为当时，有，因此由，

可得，化简得：，因为,

所以， ，

由此猜想数列的通项公式为：，现用数学归纳法证明：

当时，，显然成立；

假设当时成立，即，

当时，，

综上所述：.

故答案为：

14．（2020·上海高二课时练习）在证明是的倍数时，时验证的表达式是_______；到增加的表达式是______________．

【答案】       

【解析】

当时，原式，

当时，原式，

当时，原式.

则从到增加的表达式是.

故答案为：；.

15．（2020·浙江绍兴市·绍兴一中高二期中）若，用数学归纳法验证关于的命题时，第一步计算________；第二步“从到时”，________．

【答案】       

【解析】

，

；

，

故答案为： ；.

16．（2018·全国高二单元测试）探索表达式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1!(n>1,且n∈N*)的结果时,第一步当n=____时,A=____.

【答案】2    1   

【解析】

∵n>1,且n∈N*

∴n=2,时，A=(2-1)(2-1)!=1

故答案为2,1

17．（2019·全国高二专题练习（文））（1）用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取________________；

（2）利用数学归纳法证明“”时，在验证成立时，左边应该是________________．

【答案】5       

【解析】

（1）由于时，；时，；时，；时，；时，，所以当时，成立．故第一步证明中的起始值应取5．

（2）用数学归纳法证明“()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始、以结束，所以左边应该是．

三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）

18．（2020·全国高二课时练习）已知数列的通项公式为，求证：对任意的，不等式都成立．

【答案】证明见解析.

【解析】

由，得，

所以,

用数学归纳法证明不等式成立，证明如下：

①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立．

②假设当时不等式成立，即成立，

则当时，左边,

,

右边．

所以当时，不等式也成立．

由①②可得不等式对任意的都成立，

即原不等式成立．

19．（2020·全国高二课时练习）观察下列等式：

．．．．．．

按照以上式子的规律：

（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；

（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．

【答案】（1）；，；（2）证明见解析.

【解析】

（1）第5个等式为．第个等式为，．

（2）证明：①当时，等式左边，等式右边，所以等式成立．

②假设时，命题成立，即，

则当时，

，

即时等式成立．

根据①和②，可知对任意等式都成立．

20．（2020·广西高三其他模拟（理））设数列满足，.

（1）计算，.猜想的通项公式并利用数学归纳法加以证明；

（2）记，求数列的前n项和.

【答案】（1），，；证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意可得，，

由数列的前三项可猜想数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

即，

证明如下：

当时，成立；

假设时，成立.

那么时，也成立.

则对任意的，都有成立；

（2）因为.

∴，①

，②

①-②得：

.

∴.

21．（2020·全国高二课时练习）已知正项数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为，求证：．

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题可得，，，，从而猜想．用数学归纳法证明如下：

①当时，有，猜想成立；②假设当时猜想成立，即，则当时，，所以当时，猜想也成立．

由①②可知，对任意都成立．∴数列的通项公式为，．

（2）证明：，由基本不等式可得，

所以，

所以．

22．（2020·浦东新区·上海师大附中高三期中）已知函数.

（1）当，时，若存在，，使得，求实数c的取值范围；

（2）若二次函数对一切恒有成立，且，求)的值；

（3）是否存在一个二次函数，使得对任意正整数k，当时，都有成立，请给出结论，并加以证明.

【答案】（1）；（2）；（3）存在，；证明见解析.

【解析】

（1）当，时，

由题意可知，在，上有两个不等实根，或在，上有两个不等实根，

则或，

解得或

即实数的取值范围是或．

（2）二次函数对一切恒有成立，

可得，解得，（1），

函数的对称轴为，

设函数，

由（1），（5），

可得，，

解得，，

，

．

（3）存在符合条件的二次函数．

设，则当，2，3时有：

（5）①；②；③．

联立①、②、③，解得，，．

于是，．

下面证明二次函数符合条件．

因为，

同理：；

，

所求的二次函数符合条件．