高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法优质课教案

4.4数学归纳法

一、内容与内容解析

1. 内容：数学归纳法的概念，会用数学归纳法解决证明问题，体会数学归纳法的思想.

2. 内容解析：

（1）学习数学归纳法的必要性：本节为选学内容，不作为考试要求，但是是一种非常有用的数学证明方法.

（2）数学归纳法概念：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行。

①(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；

②(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.

  （3）本节内容编写思路是：问题情境引发数学归纳法的学习欲望一一多米诺骨牌蕴含的原理分析一一用多米诺骨牌原理解决数学问题一从具体问题中概括出数学归纳法。在这个过程中，学生首先需要从生活实例中抽象出数学原理，然后需要利用该原理对数学问题进行严格证明。因此，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力的好素材。

3. 教学重点：

（1）通过游戏模型和生活实例，了解数学归纳法的基本思想；

（2）学握数学归纳法的证明步骤及每个步骤的作用

二、目标与目标分析

1. 目标：

（1）知识目标：①了解数学归纳法的原理，②能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。

（2）能力目标：通过归纳法概念形成的过程，使学生学会数学演绎证明的方法

（3）素养目标：通过利用数学归纳法证明与自然数n有关的数学命题，发展学生的逻辑推理和数学运算素养

2. 目标解析：

（1） 通过具体情境，体会学习数学归纳法的必要性；

（2） 借助生活实例和体验操作，感知数学归纳法的原理，体会数学及生活的紧密结合性；

通过从解决具体数学问题的思维中概括出数学归纳法训练学生的抽象思维能力；

（3）在证明过程中，培养学生严密的推理能力。

三、学情与难点分析

1. 学情分析：

高二学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力。但对于数学归纳法，学生理解和接受它是一件很困难的事情，因为学生缺少体验和认知基础。所以需为学生创设及数学归纳法有类似想法的实际体验。

2. 教学难点：

（1）如何类比多米诺骨牌原理解决数学问题，了解数学归纳法的基本步骤；

（2）如何理解数学归纳法中第二步的本质一一建立递推关系。

四、教学思路与方法分析

 教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段

五、教学过程设计

1. 情景引入

探究1 已知数列满足，，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想.

分析：计算可得，再结合，由此猜想：，如何证明这个猜想呢？

我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。你觉得这种理解方式怎么样？

问题1 多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？

（1）第一块骨牌倒下；

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.

问题2 你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？

 递推作用：当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下.

【设计意图】问题情境引发数学归纳法的学习欲望，挖掘多米诺骨牌全部倒下的原理，通过类比、迁移“骨牌原理”获得证明数学命题的方法.

2. 合作探究

探究1 已知数列满足，，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想.

分析：计算可得，再结合，由此猜想：，如何证明这个猜想呢？

探究2 证明前面的猜想“数列的通项公式是”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

证明：（1）第一块骨牌倒下；

（2）若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下。

根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。

【设计意图】多米诺骨牌蕴含的原理分析，进而用多米诺骨牌原理解决数学问题.

探究1 已知数列满足，，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想.

证明：（1）当时，，猜想成立；

（2）若时猜想成立，即，那么，当时，，所以，当时，猜想也成立.

根据（1）和（2），可知对任意的正整数n,猜想都成立.

3. 生成概念

数学归纳法的定义：一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:

第一步：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

第二步：以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件,
                推出“当n=k+1时命题也成立”

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

这种证明方法叫做数学归纳法.

数学归纳法证明的形式改写如下：

条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真，结论：P(n)为真.

(1)第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；

(2)第二步是证明一种递推关系，实际是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真.

只要将两步交替使用，就有P(n0)为真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明.

4. 数学应用

例1 用数学归纳法证明：.②

证明：（1）当时，②式的左边，

右边，

所以②式成立.

（2）假设当时，②式成立，即，

两边同时加上，有

，

即当时，②式也成立.

由（1）（2）可知，②式对任何都成立.

【反思提高】用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:

(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;

(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;

(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.

证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－，

那么当n＝k＋1时，

＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－.

所以，当n＝k＋1时，等式也成立．

根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．

【设计意图】呼应引言中的问题，使学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范.

5. 课堂小结

注意：

1.用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两个步骤缺一不可.

2.(1)(归纳奠基)是递推的基础.→找准n0

  (2)(归纳递推)是递推的依据→n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则需要利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明.

6. 课堂检测设计

1.某个命题当n=k (k∈N )时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（      ）

A.  n=6时该命题不成立       B.  n=6时该命题成立

C.  n=4时该命题不成立       D.  n=4时该命题成立

2.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n大于等于n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（      ）

 A.  2      B.  3     C.  5      D.  6

【设计意图】通过练习巩固检测本节所学知识

7. 总结提升

问题1 数学归纳法能够解决哪一类问题？

一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题

问题2 数学归纳法证明命题的步骤是什么？

两个步骤和一个结论，缺一不可

问题3 数学归纳法证明命题的关键在哪里？

关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确

问题4 数学归纳法体现的核心思想是什么？

递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。注意类比思想的运用

六、作业设计

必做题：课本51页练习1、2、3、4题，

选做题：习题4.4：3、4