

- 4.3环节三 等比数列的前n项和公式(2)教案 教案 0 次下载
- 4.3环节二 等比数列的前n项和公式(1)教案 教案 0 次下载
- 4.4环节二 数学归纳法的应用教案 教案 0 次下载
- 5.1环节一 变化率问题教案 教案 0 次下载
- 5.1环节二 导数的概念及其几何意义教案 教案 0 次下载
高中数学第四章 数列4.4* 数学归纳法教案
展开问题1:已知数列满足,,计算,猜想其通项公式,并证明你的猜想.
答案:已知反映相邻两项关系的递推公式,又已知首项,那么就可以求出该数列的每一项. 令n=1,就有,把代入,可得. 同理,令n=2,就有,把代入,可得. 看上去这个数列的每一项都是1,由此猜想,该数列的通项公式就是.
追问1:仅通过前几项能得出所有的结果吗?这样得出的猜想一定正确吗?
答案:仅通过前几项不能得出所有的结果,这样得出的猜想不一定正确. 如:17世纪,法国大数学家费马发现,对于这个数,分别验证n=1,2,3,4,这个数均为质数,从而猜测:对于任意的自然数,这个数都是质数.半个世纪后欧拉举出了反例:当n=5时,该数可以拆成两个数的乘积.通过以上反例,可看出从某种意义上说,仅通过前几项不能得出所有的结果,这样得出的猜想未必是正确的.
追问2:该如何证明这个猜想呢?
答案:一般来说,与正整数n有关的命题,当n比较小时可以逐个验证. 但当n较大时,验证起来会很麻烦. 尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立,这是一个无限的问题,逐一验证是不可能的,我们无法用常规方法严格证明. 因此,我们很有必要寻求一种新的方法,这种方法能让我们通过有限个步骤的推理,证明n取所有正整数时命题都成立.
类比迁移
问题2:将多米诺骨牌按一定间距排成一行,怎么做能让骨牌都倒下?
答案:可通过动手操作发现将骨牌保持适当的间距,碰倒第一块骨牌,骨牌都会倒下.
追问1:如果碰倒第一块骨牌,是不是其余的骨牌都将被依次推倒呢?
答案:若骨牌间距过大,导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌,那就不能使所有骨牌都倒下. 因此要让相邻两个骨牌之间保持合适的间距,这个间距要能保证任意相邻两块骨牌,前一块倒下一定能导致后一块倒下.
追问2:如果保证了前一块一定能把后一块推倒,那么它们倒了吗?
答案:如果第一块骨牌不倒,那么后面的骨牌自然也不会倒. 所以第一块骨牌倒下,给所有骨牌倒下提供了基础,这个条件必不可少. 进而归纳得出使所有骨牌都倒下的条件有两个:(1)第一块骨牌已倒;(2)前一块倒下一定能导致后一块倒下.
追问3:条件(1)与条件(2)有何联系?
答案:如果要所有骨牌都倒下,就要保证“从第一块开始,如果前一块倒下,那么后一块也能跟着倒下.”为了表示起来更方便,引入一个字母k,表述上把“前一块”给换成“第k块”. 条件(2)就是若第k块倒,则第k+1块也一定能倒. 关于k的取值,首先它是正整数,其次,还必须保证k能取从1开始的正整数,所以k≥1.
类似的,如果要求从第二块开始后面的骨牌都倒下,那么需要满足的条件是第二块骨牌已经倒下,并且从第二块开始,前一块倒下一定能导致后一块倒下,即k≥2.
一般的,如果要求从第块开始,后面的骨牌都倒下,那么需要满足的条件是:第块骨牌已经倒下,并且从第块开始,前一块倒下一定能导致后一块倒下,也就是k≥. 因此,条件(2)中k的最小值就是条件(1)中骨牌倒下的初始值.
追问4:多米诺骨牌游戏与证明猜想“数列的通项公式是”有相似性吗?
答案:一方面,为了保证所有骨牌都倒下,两个条件缺一不可. 而问题1中“”和“”这两个条件但凡有一个不知道,就无法写出任意一项. 另一方面,问题1中之所以可以顺利地依次根据前一项写出后一项,“”这个递推关系至关重要. 而多米诺骨牌游戏中的条件(2)实际上也是给出了一个递推关系:“第k块骨牌倒下”能推出“第k+1块骨牌倒下”. 假设有无限多块骨牌,我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去. 也就是说,无论有多少块骨牌,只要保证这两个条件都成立,那么所有骨牌一定可以全部倒下. 这就是骨牌原理. 这二者有一定的相似性,可以试着将多米诺骨牌游戏的两个条件类比、迁移到证明问题1中.
问题解决
问题3:类比骨牌原理,证明问题1中的猜想需要几步?
答案:需要分成两步.
追问1:多米诺骨牌游戏的条件(1)是确保第一块已经倒下. 那么猜想的证明中第一步应该是什么呢?
答案:第一步应该证明猜想在n=1时成立.
追问2:骨牌原理的条件(2)是确保“如果第k块骨牌倒下,那么第k+1块骨牌也能倒下.”类似的,猜想的证明中就是要证明什么呢?
答案:第二步应该证明若n=k时猜想成立,则n=k+1时猜想也成立. 如果能证明这一点,那么就可以由“n=1时猜想成立”推出“n=2时猜想成立”,再由“n=2时猜想成立”推出“n=3时猜想成立”,依此类推,就可以使这个猜想成立的范围从1开始,向后一个数接一个数地传递到1以后地每一个数,从而完成证明.
抽象概括
问题4:你能从这个具体问题的解决办法中,抽象概括出数学归纳法的一般证明过程吗?
答案:一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)证明当()时命题成立;(2)以“当n=k(,k≥)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法. 特别地,当时,命题就对从1开始的正整数成立,也就是对所有正整数都成立.
追问1:所有命题都是从n=1开始成立吗?
答案:证明起点的选择不一定要取1,而是取证明命题成立的最小正整数. 如:用数学归纳法证明命题“凸多边形的内角和为(n-2)180。”应从n=3开始验证. 所以,证明的第一步是:证明当()时命题成立.
追问2:第二步中的k是怎样的正整数?
答案:k应该是大于或等于n0的正整数,不能把“k≥n0”改成“k>n0”.
追问3:数学归纳法适用于怎样的数学问题?
答案:数学归纳法用于证明一个与正整数n有关的命题,可以将这个关于正整数n的命题记为P(n).
追问4:数学归纳法这两个步骤之间有关系吗?
答案:这两个步骤之间既相互依存,又彼此联系,是一个有机的整体. 第一步验证了当时这个命题成立,即为真. 第二步是假设为真,由“为真”推出“也为真”. 第二步的这个关系所关注的不是和是否分别成立,而是命题“若为真,则也为真”是否成立,强调的是这二者之间是否有递推关系.
课题小结
问题5:什么是数学归纳法?
答案:数学归纳法是用于证明一个与正整数n有关的命题的数学演绎证明方法.
追问1:数学归纳法中的两个步骤都必要吗?
答案:第一步是命题递推的基础,确定了时命题成立,成为后面递推的出发点,没有它,递推就成为无源之水. 就好比多米诺骨牌,只有推倒其中一块骨牌,后面的骨牌才有可能倒. 我们把第一步称为是归纳奠基. 而第二步是命题递推的依据,即确认一种递推关系,好比是多米诺骨牌游戏中,如果第k块骨牌倒下,那么要保证第k+1块骨牌也能倒下,再加之k的任意性,即保证了骨牌倒下去的传递性. 类似地,借助第二步,命题成立的范围就能从正整数开始,向后一个数接一个数地无限传递到以后的每一个正整数,从而完成证明. 所以,我们把第二步称为是归纳递推.“归纳奠基”和“归纳递推”这两个步骤缺一不可. 只有把两步的结论结合起来,才能命题对从开始的所有正整数n都成立.
追问2:为了得出数学归纳法的一般证明步骤,本节课经历了怎样的过程?
答案:从整体上来看,我们先是探究一个具体的问题,从特殊到一般,最终得出数学归纳法的一般步骤. 为了更好地理解数学归纳法,我们从多米诺骨牌游戏入手,虽然多米诺骨牌游戏是一种现实情境,但它能揭示数学归纳法的本质,类比价值较高. 我们类比、迁移“骨牌原理”,获得证明数学命题的方法,推广得到数学归纳法的原理. 这其中体现了数学抽象的过程.
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