数学第四章 数列4.4* 数学归纳法导学案

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4.4 数学归纳法
(教师独具内容)
课程标准：1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的概念，掌握用数学归纳法证题的一般步骤.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
教学重点：数学归纳法及其应用．
教学难点：对数学归纳法原理的理解.




知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法(mathematical induction)．

应用数学归纳法时注意的问题
(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3.
(2)对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的关键．
(3)“假设n＝k时命题成立．利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步就可以．(　　)
(2)在用数学归纳法时，第二步必须利用归纳假设．(　　)
(3)一个数列的通项公式是an＝(n2－5n＋5)2，容易验证：a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1，由此作出一般性结论：对于任意n∈N*，an＝(n2－5n＋5)2＝1都成立，以上是数学归纳法．(　　)
(4)用数学归纳法证明命题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．做一做
(1)数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是(　　)
A．k∈N B．k>1，k∈N*
C．k≥1，k∈N* D．k>2，k∈N*
(2)设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A. B．
C.＋ D．－
(3)用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.n∈N*”时，若n＝1，则左端应为________.
答案　(1)C　(2)D　(3)4



题型一 利用数学归纳法证明恒等式
例1　证明：当n≥2，n∈N*时，
…＝.
[证明]　①当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝.
∴当n＝2时，等式成立．
②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即
…＝.
当n＝k＋1时，
…
＝＝·＝
＝.
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②知，对任意n≥2，n∈N*等式成立．

利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．
[跟踪训练1]　求证：1＋＋＋…＋＝(n∈N*)．
证明　①当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，所以左边＝右边，等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，
即1＋＋＋…＋＝.
则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋
＋
＝＋
＝＋＝＝.
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②可知，对任何n∈N*等式都成立．
题型二 利用数学归纳法证明整除问题
例2　求证：二项式x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．
[证明]　①当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，
∴能被x＋y整除．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
x2k＋2－y2k＋2＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．
即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
由①②可知，对任意的正整数n命题均成立．

利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧，例如，在本例中，对x2k＋2－y2k＋2进行拼凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出n＝k时的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除．
[跟踪训练2]　利用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．
证明　①当n＝1时，(3×1＋1)×71－1＝27，
能被9整除，所以命题成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，
即(3k＋1)·7k－1能被9整除．
那么当n＝k＋1时，
[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝(3k＋4)·7k＋1－1＝(3k＋1)·7k＋1－1＋3·7k＋1＝[(3k＋1)·7k－1]＋3·7k＋1＋6·(3k＋1)·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋7k(21＋6×3k＋6)＝[(3k＋1)·7k－1]＋9·7k(2k＋3)．
由归纳假设知，(3k＋1)·7k－1能被9整除，
而9·7k(2k＋3)也能被9整除，
故[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除．
这就是说，当n＝k＋1时，命题也成立．
由①②知，对一切n∈N*，(3n＋1)·7n－1都能被9整除．
题型三 利用数学归纳法证明几何命题
例3　有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N*)．
[证明]　①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．
②假设n＝k(k≥1)时命题成立．
即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时，命题成立．
综合①②可知，对一切n∈N*，命题成立．

对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．
[跟踪训练3]　证明：凸n边形的对角线的条数f(n)＝n(n－3)(n≥4)．
证明　①当n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2，四边形有两条对角线，命题成立．
②假设n＝k时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)＝k(k－3)(k≥4)．
当n＝k＋1时，凸k＋1边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak＋1，增加的对角线条数是顶点Ak＋1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Ak，共增加的对角线条数为(k＋1－3)＋1＝k－1.
f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)
＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]．
故n＝k＋1时，命题成立．
由①②可知，对任意n≥4，n∈N*，命题成立.
题型四 利用数学归纳法证明不等式
例4　证明：2n＋2>n2，n∈N*.
[证明]　①当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．
因此当n＝1,2,3时，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式2k＋2>k2成立．
当n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)，由于k≥3，则k－3≥0，k＋1>0，所以(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
所以2k＋1＋2>(k＋1)2.
故当n＝k＋1时，原不等式也成立．
由①②，知原不等式对于任何n∈N*都成立．

数学归纳法证明不等式的技巧
(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．
(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．
[跟踪训练4]　证明：1＋＋＋…＋>2(－1)，n∈N*.
证明　①当n＝1时，左边＝1，右边＝2(－1)．
左边>右边，结论成立．
②假设当n＝k时结论成立，即1＋＋＋…＋>2(－1)．
则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋
>2(－1)＋＝2＋－2.
所以下面证明2＋>2，
只需证2(k＋1)＋1＝2k＋3>2，
只需证(2k＋3)2>4(k＋2)(k＋1)，
只需证4k2＋12k＋9>4k2＋12k＋8，此式显然成立，所以当n＝k＋1时结论成立．
综上，当n∈N*时，原不等式成立．
题型五 归纳—猜想—数学归纳法的综合
例5　已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝.
(1)求a2，a3，a4；
(2)推测通项an的表达式，并用数学归纳法加以证明．
[解]　(1)由an＋1＝，可得a2＝，a3＝＝，a4＝＝.
(2)推测an＝.
证明如下：
①当n＝1时，左边＝a1＝a，右边＝＝a，结论成立．
②假设当n＝k时，有ak＝，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝
＝
＝，
故当n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，对任何n∈N*，都有
an＝.

观察、归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性，是一种十分重要的思维方法．观察特殊事例时要细，要注意所研讨特殊事例的特征及相互关系，关系不明时应适当变形，由观察归纳、猜想得到的结论，可能是正确的也可能是错误的，需要用数学归纳法证明．
[跟踪训练5]　数列{an}满足Sn＝2n－an，n∈N*，先计算前4项后猜想an，并用数学归纳法证明．
解　当n＝1时，S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1，
n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝，
n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝，
n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝.
∴猜想an＝.
用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，猜想成立．
②假设n＝k时猜想成立，即ak＝成立．
那么，当n＝k＋1时，
Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1，
∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋＝，
∴ak＋1＝，即n＝k＋1时猜想成立．
由①②可知，对任何n∈N*，猜想均成立．



1．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得 (　　)
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
答案　C
解析　与“如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立”等价的命题为“如果当n＝k＋1时命题不成立，则当n＝k(k∈N*)时，命题也不成立”．故知当n＝5时，该命题不成立，可推得当n＝4时该命题不成立，故选C.
2．下列代数式，n∈N*，可能被13整除的是(　　)
A．n3＋5n B．34n＋1＋52n＋1
C．62n－1＋1 D．42n＋1＋3n＋2
答案　D
解析　A中，n＝1时，1＋5＝6，不能被13整除；B中，n＝1时，35＋53＝368不能被13整除；C中，n＝1时，6＋1＝7亦不能被13整除；D中，n＝1时，43＋33＝91能被13整除．故选D.
3．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为(　　)
A．5(5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k)＋4×5k－2k
C．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k
答案　A
解析　假设n＝k时命题成立，即5k－2k能被3整除．当n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k＝5(5k－2k)＋3×2k，故选A.
4．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________，当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．
答案　5　(n＋1)(n－2)
解析　f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．
5．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N*)，猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
解　分别令n＝1,2,3，得
∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3，猜想：an＝n.
证明：由2Sn＝a＋n，①
可知当n≥2时，2Sn－1＝a＋(n－1)，②
由①②得2an＝a－a＋1，即a＝2an＋a－1.
(ⅰ)当n＝2时，a＝2a2＋12－1，
∵a2>0，∴a2＝2，成立．
(ⅱ)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，ak＝k，
那么当n＝k＋1时，
a＝2ak＋1＋a－1＝2ak＋1＋k2－1⇒[ak＋1－(k＋1)][ak＋1＋(k－1)]＝0，
∵ak＋1>0，k≥2，∴ak＋1＋(k－1)>0，
∴ak＋1＝k＋1，即当n＝k＋1时也成立．
∴an＝n(n≥2)，显然n＝1时，也成立，故对于一切n∈N*，均有an＝n.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则f(n)中共有________项(　　)
A．n B．n＋1
C．n2－n D．n2－n＋1
答案　D
解析　观察f(n)解析式的组成特点，是由，，，…，组成，其中每一项的分母n，n＋1，n＋2，…，n2组成等差数列，且首项为n，公差为1，最后一项为n2，所以它的项数为n2－n＋1，即为f(n)的项数，则f(n)中共有n2－n＋1项．
2．下列四个选项中，正确的是(　　)
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)，当n＝1时恒为1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)，当n＝1时恒为1＋k
C．式子＋＋＋…＋(n∈N*)，当n＝1时为1＋＋
D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋
答案　C
解析　A中，当n＝1时应为1＋k，A错误；B中，当n＝1时，应为1，B错误；D中，f(k)＝＋＋…＋，而f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋＋，所以f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－，D错误．故选C.
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
答案　D
解析　∵当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
答案　A
解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，得(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋9k2＋27k＋27＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)，即可证明．
5．对于不等式 ≤n＋1(n∈N*)，某学生运用数学归纳法的证明过程如下：①当n＝1时， ≤1＋1，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即 ≤k＋1，则当n＝k＋1时， ＝ < ＝ ＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法(　　)
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．过程全部不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案　D
解析　从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．
二、填空题
6．用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋＞1(n∈N*)”时，S1＝________.
答案　
解析　∵n＝1时，n＋1＝2,3n＋1＝4，
∴S1＝＋＋＝.
7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________.
答案　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
解析　∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，∴n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1.
8．已知a1＝，an＋1＝，则a2，a3，a4，a5的值分别为________________，由此猜想an＝________.
答案　，，，　
解析　a2＝＝＝＝，同理，a3＝＝＝，a4＝＝，a5＝＝，猜想an＝.
三、解答题
9．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(3n－1)(n∈N*)．
证明　①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，
所以当n＝1时等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，
即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝k(3k－1)．
当n＝k＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]
＝k(3k－1)＋(3k＋1)＝(3k2＋5k＋2)
＝(k＋1)(3k＋2)＝(k＋1)[3(k＋1)－1]，
即当n＝k＋1时等式成立．
综合①②知，对于任意n∈N*，等式1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(3n－1)成立．
10．已知数列，，，，…，，…，计算数列和S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
解　S1＝＝，S2＝＋＝，
S3＝＋＝，S4＝＋＝.
上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1，于是可以猜想Sn＝.其证明如下：
①当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝，猜想成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，
即＋＋…＋＝成立，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋
＋
＝＋＝
＝＝，
所以当n＝k＋1时，猜想成立．
根据①②知对任意n∈N*，Sn＝都成立．
B级：“四能”提升训练
1．求证：对任意正整数n,34n＋2＋52n＋1能被14整除．
证明　①当n＝1时，
34n＋2＋52n＋1＝36＋53＝854＝14×61，
能被14整除，命题成立．
②假设当n＝k时，命题成立，即34k＋2＋52k＋1能被14整除，那么当n＝k＋1时，
34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k＋2×34＋52k＋1×52
＝34k＋2×34＋52k＋1×34－52k＋1×34＋52k＋1×52
＝34(34k＋2＋52k＋1)－52k＋1(34－52)
＝34(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1，
因为34k＋2＋52k＋1能被14整除，56也能被14整除，所以34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1能被14整除，故命题成立．
由①②知，命题对任意正整数n都成立．
2．在数列{an}中，已知an>0，Sn＝(n∈N*)．
(1)计算：a1，a2，a3的值；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
解　(1)当n＝1时，由题意可得a1＝S1＝，
∵an>0，∴a1＝1.
当n＝2时，由题意可得a1＋a2＝，
∵an>0，∴a2＝－1.
当n＝3时，由题意可得a1＋a2＋a3＝，
∵an>0，∴a3＝－.
综上，a1＝1，a2＝－1，a3＝－.
(2)猜想：an＝－(n∈N*)．
证明：①当n＝1时，a1＝1，上式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，ak＝－成立，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，
∴ak＋1－＝－
＝－
＝－2，
∴a＋2·ak＋1－1＝0，
∴ak＋1＝＝－±.
∵ak＋1>0，∴ak＋1＝－，
∴n＝k＋1时，猜想成立．
由①②可知，对任意n∈N*，an＝－ .