高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法导学案，共18页。


我们中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？……如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？
为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第n＋1代孙也姓王，当然还要求第1个人必须姓王了．
思考：通过这个例子，我们能得到什么启示呢？
知识点1 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
[提示] 不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3．
知识点2 数学归纳法的框图表示
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可．( )
(2)数学归纳法证明3n≥n2(n≥3，n∈N*)，第一步验证n＝3．( )
(3)设Sk＝1k＋1k+1＋1k+2＋…＋1k+k，则Sk＋1＝1k＋1k+1＋1k+2＋…＋1k+1+k+1．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
[提示] (1)数学归纳法两个步骤缺一不可．
(3)中，Sk＋1＝1k+1＋1k+2＋…＋12k＋12k+1＋12k+1．
2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n-11)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋12<2 B．1＋12＋13<2
C．1＋12＋13<3 D．1＋12＋13＋14<3
B [由题知，当n＝2时，不等式为1＋12＋13<2，故选B．]
类型1 用数学归纳法证明等式
【例1】 用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3．
则当n＝k＋1时，
1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k
＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k
＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立．
用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；
(2)弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)用数学归纳法证明，对任意的正整数n，都有12＋22＋32＋…＋n2＝nn+12n+16．
[证明] (1)当n＝1时，
左边＝12＝1，右边＝1×1+1×2×1+16＝1，
所以此时等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1)时，等式成立，即
12＋22＋32＋…＋k2＝kk+12k+16．
则12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝kk+12k+16＋(k＋1)2
＝k+1k+22k+36
＝k+1k+1+12k+1+16，
所以，此时n＝k＋1也成立．
根据(1)和(2)可知，等式对任何正整数都成立．
类型2 用数学归纳法证明不等式
【例2】 用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．
[思路引导] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．
[证明] (1)当n＝1时，
32≤1＋12≤32，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，
即1＋k2 ≤ 1＋12 ＋13 ＋… ＋12k≤12 ＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ＋12k+1 ＋12k+2 ＋… ＋12k+2k >1＋k2 ＋2k·12k+1 ＝1＋k+12 ．
又1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ＋12k+1 ＋12k+2 ＋… ＋12k+2k <12 ＋k＋2k·12k ＝12 ＋(k＋1)，
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．
1．用数学归纳法证明不等式的关键点
用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k)＞g(k)，求证f (k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：
(1)先凑假设，作等价变换；
(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．
2．常用的几点放缩技巧
(1)nn-1＜n＜nn+1；
(2)1nn+1＜1n2＜1nn-1(n∈N*，n＞1)；
(3)1k＞2k+k+1＝2(k+1-k)；
(4)1k＜2k+k-1＝2(k-k-1)(k∈N*，k＞1)．
[跟进训练]
2．试用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2，n∈N*)．
[证明] (1)当n＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，
即1＋122＋132＋…＋1k2<2－1k．
则当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1k+12<2－1k＋1k+12<2－1k＋1kk+1＝2－1k＋1k－1k+1＝2－1k+1，命题成立．
由(1)，(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．
类型3 用数学归纳法证明一些数学命题
【例3】 证明：当n∈N*时，f (n)＝32n+2－8n－9能被64整除．
[证明] (1)当n＝1时，f (1)＝34－8－9＝64能被64整除．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f (k)＝32k+2－8k－9能被64整除，
则当n＝k＋1时，f (k＋1)＝32(k+1)+2－8(k＋1)－9＝9×32k+2－8k－17＝9×(32k+2－8k－9)＋64k＋64．
故f (k＋1)也能被64整除．
综合(1)(2)，知当n∈N*时，f (n)＝32n+2－8n－9能被64整除．
用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明．
[跟进训练]
3．求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f (n)＝12n(n－3)，其中n≥4，n∈N*．
[证明] (1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，
此时f (4)＝12×4×(4－3)＝2，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，命题成立．
即k棱柱中过侧棱的对角面有f (k)＝12k(k－3)个．
现在考虑n＝k＋1时的情形．
对于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面．因此对角面的个数为f (k)＋(k－2)＋1＝12k(k－3)＋k－1＝12(k－2)(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]，即f (k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]成立．
由(1)和(2)，可知原结论成立．
类型4 归纳—猜想—证明
【例4】 已知数列11×4，14×7，17×10，…，13n-23n+1的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
[解] S1＝11×4＝14 ；
S2＝14 ＋14×7＝27 ；
S3＝27 ＋17×10 ＝310 ；
S4＝310 ＋110×13＝413 ．
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1．
于是可以猜想Sn＝n3n+1 ．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，左边＝S1＝14 ，
右边＝n3n+1 ＝13×1+1 ＝14 ，
猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即
11×4 ＋14×7 ＋17×10 ＋… ＋13k-23k+1 ＝k3k+1 ，
则当n＝k＋1时，
11×4＋14×7＋17×10＋…＋13k-23k+1＋13k+1-23k+1+1＝k3k+1＋13k+13k+4＝3k2+4k+13k+13k+4＝3k+1k+13k+13k+4＝k+13k+1+1，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N*都成立．
1．“归纳—猜想—证明”的一般环节
2．“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
[跟进训练]
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n≥2)．求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明．
[解] 当n＝2时，
S2＝a1＋22＋1，即3＋a2＝8，解得a2＝5；
当n＝3时，
S3＝a2＋32＋1，即3＋5＋a3＝15，解得a3＝7；
当n＝4时，
S4＝a3＋42＋1，即3＋5＋7＋a4＝24，解得a4＝9．
猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明：
当n＝1时，a1＝2×1＋1＝3，猜想成立；
假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，
即ak＝2k＋1，Sk＝k3+2k+12＝k2＋2k，
则当n＝k＋1时，Sk＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，
∴Sk＋ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，
∴ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1－Sk，
ak＋1＝2k＋1＋(k＋1)2＋1－(k2＋2k)＝2(k＋1)＋1，
所以猜想成立．
综上所述，对于任意n∈N*，an＝2n＋1均成立．
1．用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须为( )
A．n∈N* B．n∈N*，n≥2
C．n∈N*，n≥3 D．n∈N*，n≥4
D [当n＝1，n＝2，n＝3时，显然不等式不成立，
当n＝4时，64>61不等式成立，
故用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须为n≥4，n∈N*，故选D．]
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝1-an+21-a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
C [当n＝1时，左边＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2，故C正确．]
3．用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n＝k(k∈N*)时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项( )能被9整除( )
A．3·7k＋6 B．3·7k+1＋6
C．3·7k－3 D．3·7k+1－3
B [假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，那么当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k+1－1－[(3k＋1)·7k－1]＝(3k＋4)·7k+1－(3k＋1)·7k＝[(3k＋1)＋3]·7k+1－(3k＋1)·7k＝(3k＋1)·7k+1＋3·7k+1－(3k＋1)·7k＝6·(3k＋1)·7k＋3·7k+1＝6·[(3k＋1)·7k－1]＋3·7k+1＋6．由(3k＋1)·7k－1能被9整除可知要证上式能被9整除，还需证明3·7k+1＋6也能被9整除，故选B．]
4．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1n+12＞12－1n+2．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
122＋132＋…＋1k+22＞12－1k+3 [从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为1k+22，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为12－1k+1+2，即不等式为122＋132＋…＋1k+22＞12－1k+3．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)数学归纳法步骤可概括为“三个成立，一个结”是什么意思？
[提示] “三个成立”是指：①n＝n0时验证命题成立，②n＝k，k≥n0时假设命题成立；③n＝k＋1时，应用归纳假设证明命题成立．
“一个结”就是结论：断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
(2)你认为在应用数学归纳法时应注意哪几点？
[提示] ①验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
②递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
③利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．
(3)与自然数n有关的命题都必须用数学归纳法证明吗？数学归纳法一般用来证明哪几种类型？
[提示] 数学归纳法证明的命题都是与自然数n有关的命题，但与自然数n有关的命题不一定都用数学归纳法来证明．
数学归纳法证明的命题类型一般有：等式问题、不等式问题、整除问题，几何命题和“归纳—猜想—证明”等类型．
课时分层作业(十一) 数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n-11)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋12<2
B．1＋12＋13<2
C．1＋12＋13<3
D．1＋12＋13＋14<3
B [因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋12＋13<2．故选B．]
2．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n-1－12n＝1n+1＋1n+2＋…＋12n，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上( )
A．12k+2 B．－12k+2
C．12k+1－12k+2D．12k+1＋12k+2
C [因为当n＝k时，左端＝1－12＋13－14＋…＋12k-1－12k，当n＝k＋1时，左端＝1－12＋13－14＋…＋12k-1－12k＋12k+1－12k+2．所以，左端应在n＝k的基础上加上12k+1－12k+2．]
3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
B [由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．]
4．利用数学归纳法证明1＋12＋13＋14＋…＋12n-1A．1项 B．k项
C．2k-1项 D．2k项
D [用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋14＋…＋12n-1假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋12＋13＋…＋12k-1，则当n＝k＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k-1＋12k＋12k+1＋…＋12k+1-1，
∴由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了：12k＋12k+1＋…＋12k+1-1，
共(2k+1－1)－2k＋1＝2k项，故选D．]
5．(多选)对于不等式n2+n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：
①当n＝1时，12+1≤1＋1，不等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2+k∴当n＝k＋1时，不等式成立，关于上述证明过程的说法正确的是( )
A．证明过程全都正确
B．当n＝1时的验证正确
C．归纳假设正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
BCD [n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故选BCD．]
二、填空题
6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n-1－1n＝21n+2+1n+4+…+12n时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________．
n＝k＋2时等式成立 [由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2．故答案为n＝k＋2时等式成立．]
7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．
(k＋3)3 [假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3．
为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
故答案为(k＋3)3．]
8．已知f (n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，用数学归纳法证明f (2n)>n2时，f (2k+1)－f (2k)＝________．
12k+1＋12k+2＋…＋12k+1 [因为假设n＝k时，f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k，当n＝k＋1时，
f (2k+1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k+1＋…＋12k+1，
所以f (2k+1)－f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k+1＋…＋12k+1－(1＋12＋13＋…＋12k)
＝12k+1＋12k+2＋…＋12k+1．]
三、解答题
9．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋an1+an(n∈N*)．用数学归纳法证明：an[证明] ①当n＝1时，a2＝1＋a11+a1＝32，a1②假设n＝k(k∈N*)时，ak0，
所以，当n＝k＋1时，不等式成立．
综上所述，不等式an10．(多选)用数学归纳法证明不等式1n+1＋1n+2＋1n+3＋…＋1n+n＞1324的过程中，下列说法正确的是( )
A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1
B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2
C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是12k+12k+2
D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是12k+22k+3
BC [n＝1时，11+1＞1324不成立，n＝2时，12+1＋12+2＞1324成立，所以A错误，B正确；当n＝k时，左边的代数式为1k+1＋1k+2＋…＋12k，
当n＝k＋1时，左边的代数式为1k+2＋1k+3＋…＋12k+2，故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果，即12k+1－12k+2＝12k+12k+2为不等式的左边增加的项，故C正确，D错误，故选BC．]
11．利用数学归纳法证明等式：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，当n＝k时，左边的和1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋k·1，记作Sk，则当n＝k＋1时左边的和，记作Sk＋1，则Sk＋1－Sk＝( )
A．1＋2＋3＋…＋k
B．1＋2＋3＋…＋(k－1)
C．1＋2＋3＋…＋(k＋1)
D．1＋2＋3＋…＋(k－2)
C [依题意，Sk＝1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋k·1，
则Sk＋1＝1·(k＋1)＋2·k＋3·(k－1)＋4·(k－2)＋…＋k·2＋(k＋1)·1，
∴Sk＋1－Sk＝1·[(k＋1)－k]＋2·[k－(k－1)]＋3·[(k－1)－(k－2)]＋4·[(k－2)－(k－3)]＋…＋k·(2－1)＋(k＋1)·1＝1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)．]
12．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n-1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________．
1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4 [当n＝1时，原式应加到25×1-1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k+1＋…＋25(k+1)-1．]
13．记凸k边形的内角和为f (k)，则凸k＋1边形的内角和f (k＋1)＝f (k)＋________．
π [由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f (k＋1)＝f (k)＋π．]
14．(1)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n+3n+42(n∈N*)；
(2)用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．
[证明] (1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝1+3×1+42＝10，左边＝右边，等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝k+3k+42，
那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝k+3k+42＋(k＋4)＝k+4k+52，
即当n＝k＋1时，等式成立．
综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n+3n+42(n∈N*)．
(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，故当n＝1时不等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k<2k，
那么当n＝k＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k＋1k+1<2k＋1k+1，
因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2k2+k <2k＋1，
所以2k＋1k+1＝2k+1k+1k+1＝2k2+k+1k+1<2k+2k+1＝2k+1．
故当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上，由①②可知1＋12＋13＋…＋1n<2nn∈N*．
15．是否存在a，b，c使等式1n2＋2n2＋3n2＋…＋nn2＝an2+bn+cn对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．
[解] 取n＝1，2，3可得a+b+c=1，8a+4b+2c=5，27a+9b+3c=14，
解得：a＝13，b＝12，c＝16．
下面用数学归纳法证明1n2＋2n2＋3n2＋…＋nn2＝2n2+3n+16n＝n+12n+16n．
即证12＋22＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．
①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；
②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝16k(k＋1)(2k＋1)成立，
则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝16k·(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝16[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝16(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝16(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，
∴当n＝k＋1时等式成立．
由数学归纳法，综合①②知，当n∈N*时等式成立．
故存在a＝13，b＝12，c＝16使已知等式成立．
学习
任务
1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．(数学抽象)
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理)
3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(数学运算、逻辑推理)