数学选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法完整版课件ppt

课题

数学归纳法的概念

教学目标

1.通过实例引出数学归纳法的概念，探索并掌握数学归纳法证明的思路及步骤，能用之解决相应的数学问题。

2.体会完全归纳法与不完全归纳法的异同点，进一步认识特殊与一般之间的转化关系，提升数学逻辑能力。

教学重点

数学归纳法的概念。

教学难点

数学归纳法概念的探求思路及工程.

教学准备

教师准备：PPT课件。

学生准备：预习课本P44—P47。

教学过程

一、导入新课：

情境一、“摸球实验”:

问题1：一个盒子里有十个乒乓球，请几个同学从盒中分别摸出一个球，并判断乒乓球的颜色,由此猜想这盒子中所有乒乓球的颜色.

(1)这个猜想对吗？                   (2)怎样判断这个猜想是对的？

(3)为什么可以一个一个摸出来看？     (4)如果是无限的呢？

情境二、“通项公式求法”:

问题2：一个数列的通项公式是n

       (1)分别求123      (2)由此猜想出n的值？这个猜想正确吗？

(1) 123,

(2)如果由此作出结论：对于一切， 都成立，那么就错了，因为45

结论:由上面两个例子看出：由几个特殊的事例得出一般的结论有时是对的，有时是错的，只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的.

老师通过PPT向学生展示现实生活中的归纳问题，提出问题，引起悬念，从而导出新课，进一步启发学生用观察和推理的方法学习这节课的内容。

二、知识梳理：

       通过上面的例子，提出问题，引起悬念，进一步带领学生探究现实生活中的归纳问题以及解决此类问题的方法。阅读课本P44-P47，回答下列问题：

1.新知探究：

(1)归纳法：由一些特殊事例得出一般结论的推理方法，分为完全归纳法和不完全归纳法。

(2)完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；

(3)不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.

(4)不完全归纳法的缺憾之处：

仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可能产生不正确的结论。

问题3：在数列{n }中，1,   ,先计算2 , 34的值，再推测通项n 的公式.

解析：    , ,      ,…

      猜想       (不完全归纳法)

问题4：对于小于6的自然数n，不等式   成立吗 ？               

∴对于小于6的自然数n,不等式成立.   （完全归纳法）

学以致用是每个人必备的思维模型，特别是学生，更要会化解知识体系，故请看下面的练习。

三、 跟踪练习：

1.下面看一个比较熟悉的数学问题:

等差数列的通项公式： n 

回顾等差数列通项公式推导过程：

问题5：这个猜想对吗？ 怎样证明？有没有更好的方法呢？       

归纳与证明：如何证明由不完全归纳法得到的一般结论？

第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科.

拓展和提升本节课的数学知识和思维方法是数学学习中必不可少的一个重要环节，请学习下一个环节。

四、课堂互动：

问题6.多米诺骨牌

条件1：第一块要倒下;

条件2：当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.

    是否满足这两个条件就可以保证所有的骨牌倒下？

骨牌是1块，2块，……,无数块,而我们要证的等差数列的通项公式也是要证明n=1,2,3,…… 成立,那么是否可将多米诺骨牌游戏的原理类比到与正整数有

关的数学命题上？

多米诺骨牌游戏的原理                与正整数有关的数学命题

(1)第一块要倒下                      (1)n=1时命题成立

(2) 当前面一块倒下时，               (2)假设n=k(k≥1,k∊N*)成立,

    后面一块必须倒下                    则n=k+1时结论也成立。

根据(1)和(2),可知无论多               根据(1)和(2),可知对任意的

少块骨牌都能全部倒下.                 正整数n*，命题都成立.

进一步总结数学归纳法的两个步骤：

(1)时命题成立；

(2)假设成立，则时结论也成立。       

我们把用这种模式来证明与正整数有关的数学命题叫作数学归纳法

下面解释一下用数学归纳法来证题是可行的，有效的：

(1)推理过程：

2.假设n=k成立的依据:

  根据第1步，n=1成立，取k=1，这时假设n=k=1成立就不是假设而是一个已经成立的事实了，再根据第2步，由n=k=1成立就可推出n=k+1=1+1＝2成立，再取k＝2，这时假设n=k=2成立就不是假设而是一个已经成立的事实了；如此取下去，每一个假设n=k成立都是有依据的。

所以用数学归纳法来证明数学问题是有效的和可靠的，大家可以放心大胆使用!

数学核心素养价值观的形成是当今数学课改中必不可少的，请回答下列问题

五、素养形成：  

例：用数学归纳法证明：如果{n}是一个等差数列，那么n1对于一切都成立。

证明思路：先证明“第一项满足公式”, （证题基础）

          再证明命题“若某一项满足公式，则下一项也满足公式”（递推关系）

                           (条件)            （结论）

证明:(1)当n=1时,左边是1,右边是11,等式是成立的。

     (2)假设时等式成立,就是 k1      

     那么时，k1=这就是说，当n=k+1时，等式也成立。

因此,根据(1)和(2)可知,等式对于任何n∈N*都成立.     

及时总结，归纳概括，是学习中必须学会的思维模式，进一步提升和拓展，请看：

六、课堂总结：

1.知识清单：

2.数学归纳法 ：

(1)基本思想：递推的思想.

(2)适用范围：与正整数有关的数学命题.

(3)证题步骤：两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；

(4)在证明递推步骤时,必须使用归纳假设,必须进行恒等变换。

课后作业

课本P47.   练习：1、2.

板书设计

1.归纳法的概念：                     课堂互动：                         

2.不完全归纳法的概念：                          

3.完全归纳法的概念：

4.数学归纳法探究：                                 

跟踪练习：                           素养训练：

教学反思

探究数学归纳法的证明方法，来揭示不完全归纳法的正确性思维要求比较高，学生接受有个过程。