高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法精品当堂检测题

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知识点1 数学归纳法
(1)数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；
②(归纳递推)假设当时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
(2)数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：① P(n0)为真；②若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．
结论：P(n)为真．
注：在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明．
(3)数学归纳法的框图表示
2.“归纳—猜想—证明”的一般步骤
【即学即练1】（2022·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明1＋a＋a2＝ (a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是（ ）
A．1B．1＋a
C．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a4
【即学即练2】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练3】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【即学即练4】（2022·全国·高二课时练习）记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋（ ）
A．B．πC．D．2π
考点一 对数学归纳法的理解
解题方略：
数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律．
(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设．
（一）数学归纳法的理解
【例1-1】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））用数学归纳法证明时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（ ）
A．2B．3C．4D．5
【例1-3】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（ ）
A．B．
C．D．
（二）增加或减少项和项的个数问题
【例1-4】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ）
A．B．C．D．
变式1：（2022·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（ ）
A．B．
C．D．
【例1-5】（2022·福建师大附中高二期末）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（ ）
A．B．C．D．
【例1-6】（2022·全国·高二专题练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（ ）
A．1项B．k项C．项D．项
考点二 数学归纳法证明恒等式
解题方略：
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
(1)n＝n0时，等式的结构．
(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．
②代数式相邻两项之间的变化规律．
③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．
【例2-1】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.
变式1：（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）．
变式2：（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：（n为正整数）．
考点三 用数学归纳法证明不等式
解题方略：
1、数学归纳法证明不等式的适用范围
适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
2、用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
【例3-1】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*).
变式1：（2022·全国·高二专题练习）证明：对于一切自然数都有.
变式2：（2022·全国·高二专题练习）求证：.
考点四 数学归纳法证明整除问题
【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）证明：当时，能被64整除．
变式1：（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（文））将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题.
已知是数列前n项和，___________.
(1)求的通项公式；
(2)证明：对一切，能被3整除.
变式2：（2022·上海市进才中学高二阶段练习）用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（ ）项
A．7B．6C．5D．4
变式3：（2022·全国·高二课时练习）若存在正整数，使得能被整除，则的最大值为________．
考点五 数学归纳法证明数列问题
【例5-1】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明，首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是．
变式1：（2022·全国·高二课时练习）已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.
证明an＜an＋1＜2(n∈N*)．
变式2：（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列中，．正项数列前项和满足：对任意 成等比数列．
(1)求数列的通项公式：
(2)记．证明：对任意，都有．
考点六 归纳—猜想—证明
解题方略：
(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤
①计算(根据条件，计算若干项)．
②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．
③证明(用数学归纳法证明)．
(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略
①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．
②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．
【例6-1】（2022·上海·上外附中高二阶段练习）观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．
变式1：（2022·全国·高二课时练习）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．
(1)求，，，并猜想的通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．
变式2：（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且.
(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.
变式3：（2022·河南南阳·高二期末）设正项数列的首项为4，满足．
(1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．