数学选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征图片课件ppt

这是一份数学选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征图片课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了温故知新，两点分布列，自主探究，归纳小结，巩固提升，规律小结，随堂检测等内容，欢迎下载使用。

7.3.2离散型随机变量的均值
1.离散型随机变量的定义:
2.离散型随机变量的分布列
探究1.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：如何比较他们射箭水平的高低呢？
当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
一、离散型随机变量取值的平均值.
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectatin),数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
例1. 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X 的均值是多少?
分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=1,不中时X=0,因此随机变量X服从两点分布,X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平.
解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2， 所以E(X )=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2 =0.8即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
跟踪训练1：在一次数学竞赛中共有三道题,答对一题得1分,如果某位参赛选手做对每道题的概率均为0.6,那么他做一题得分X 的均值是多少?
例2.抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值.
分析:先求出X的分布列,再根据定义计算X的均值。
跟踪训练2.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列和X 的均值．
离散型随机变量的均值的性质：若X,Y 是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y )=aE(X )+b,即随机变量X 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X )的同一线性函数.特别地:(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身.(2)当a=1时,E(X+b)=E(X )+b,即随机变量X 与常数之和的均值等于X 的均值与这个常数的和.(3)当b=0时,E(aX )=aE(X ),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.
例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示：规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
?的均值：?(X)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336.
思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大
例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元。方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。方案3：不采取措施，希望不发生洪水。工地的领导该如何决策呢?
分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示：
方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3. 采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X1=3800)=1. 采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时,总损失为2000元,因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99. 采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3800, E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600, E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100.因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.
值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的,一般地,我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2将会使总损失减到最小,不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.
解析:X 的可能取值为3,2,1,0,P(X=3)=0.6;P(X=2)=0.4×0.6=0.24;P(X=1)=0.42×0.6=0.096;P(X=0)=0.43=0.064.所以E(X )=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.答案:C
2.某射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的剩余子弹数目X的数学期望为(　　) D.2.4
3.已知ξ 的分布列如下表,若η=3ξ+2,则E(η)=　　　　　. 
5.口袋里装有大小相同的8张卡片,其中3张标有数字1,3张标有数字2,2张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取1张,放回口袋里后第二次再任意抽取1张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.求:(1)ξ 为何值时,其发生的概率最大?并说明理由.(2)随机变量ξ 的数学期望E(ξ ).