高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数说课课件ppt

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一般地,函数①    y=xα    称为幂函数,其中α是常数.
2 |五个幂函数的图像与性质
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。
1.幂函数的图像都过点(0,0),(1,1). (    ✕　)
2.幂函数的图像一定不能出现在第四象限,但可能出现在第二象限. (　√　)
3.幂函数在(0,+∞)内不是增函数就是减函数. (    ✕　)
4.当α=0时,幂函数y=xα的图像是一条直线.(    ✕　)
5.指数函数y=ax的定义域为R,与底数a无关,幂函数y=xα的定义域为R,与指数也无 关. (    ✕　)
1 |如何把握幂函数的图像
前面我们已熟悉下面几个函数:y= =x-1,y=x,y=x2,y= = .
1.它们有什么结构特点?提示:可从幂的底数与幂指数考虑.
2.在同一坐标系内作出它们的图像并试着总结它们可能具有的性质.提示:从图像的位置,单调性,对称性,过定点等方面考虑.
解决幂函数图像问题应把握的两个原则:(1)根据各幂函数在第一象限内的图像确定相应幂指数的大小关系.依据图像高 低判断幂指数大小,相关结论如下:①在x∈(0,1)上,指数越大,幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低);②在x∈(1,+∞)上,指数越大,幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高).(2)利用定义域及奇偶性确定函数在其他象限的图像.
(★★☆)若点( ,2)在幂函数f(x)的图像上,点 在幂函数g(x)的图像上,问当x为何值时,有①f(x)>g(x)?②f(x)=g(x)?③f(x)解析    设f(x)=xα(α为常数),因为点( ,2)在幂函数f(x)的图像上,所以将( ,2)代入f(x)=xα中,得2=( )α,解得α=2,则f(x)=x2.同理,可求得g(x)=x-2.在同一平面直角坐标系中作出幂函数f(x)=x2和g(x)=x-2的图像(如图所示), 观察图像可得:①当x>1或x<-1时, f(x)>g(x).②当x=1或x=-1时, f(x)=g(x).③当-12|如何运用幂函数性质解决相关问题
已知幂函数f(x)= ,其中{m|-21.同时满足(1)(2)的幂函数f(x)是否存在?提示:存在.因为{m|-20,解得- 2.若存在,如何求出f(x)的解析式,以及x∈[0,3]时f(x)的值域?提示:由问题1知m=0,此时f(x)=x3,且在区间[0,3]上是增函数,所以x∈[0,3]时,函数f(x)的值域为[0,27].
幂函数的性质与参数α可以互相确定:(1)幂函数y=xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确 定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性.(2)由幂函数的性质可限制α的取值:①利用幂函数的单调性求出α的取值范围;②由奇偶性结合其他限制条件确定α的值.
1.(★★☆)已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图像关于y轴对称,且y=x3m-9(m∈N*)在(0,+ ∞)上单调递减,求满足(a+1 < 的实数a的取值范围.思路点拨:由函数的性质确定参数m的值,再由函数的单调性解不等式.
解析    因为函数y=x3m-9在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0,解得m<3.又m∈N*,所以 m=1,2.因为幂函数y=x3m-9的图像关于y轴对称,所以3m-9为偶数,故m=1,则原不等式可化 为(a+1 <(3-2a .由y= 在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减得,a+1>3-2a>0或3-2a2.(★★☆)比较下列各组数中两个数的大小:(1) 与 ;(2) 与 ;(3)0.2 与6.2 ;(4)0.20.6与思路点拨:可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较.
解析　(1)∵y= 是[0,+∞)上的增函数,且 > ,∴ > .(2)∵y=x-1是(-∞,0)上的减函数,且- <- ,∴ > .(3)0.2 = = ,6.2 =2. .∵y= 是[0,+∞)上的增函数,且2<2.5,∴ <2. ,即0.2 <6.2 .(4)由幂函数的单调性,知0.20.6<0.30.6,又y=0.3x是减函数,∴0.30.4>0.30.6,从而0.20.6<