数学七年级下册3.2 提公因式法学案及答案

提公因式法（基础）

【学习目标】

1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；

2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.

【要点梳理】

【高清课堂 398715 因式分解之提公因式法  知识要点】

要点一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.

         （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.

         （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.

要点二、公因式

多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.

要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.

         （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.

         （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.

要点三、提公因式法

把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．

要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，

即 .

　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.

　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.

　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.

【典型例题】

类型一、因式分解的概念

【高清课堂398715 因式分解之提公因式法  例2】

1、观察下列从左到右的变形：

⑴；     ⑵

⑶；  ⑷

其中是因式分解的有         （填序号）

【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断．

【答案】（3）.

【解析】

 解：(1) 的左边不是多项式而是一个单项式，

(2) (4)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；

只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．

【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．

举一反三：

【变式】（2014•海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）

　A.a+4a﹣21=a（a+4）﹣21          B.a+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）

　 C.（a﹣3）（a+7）=a+4a﹣21       D.a+4a﹣21=（a+2）﹣25

【答案】B.

类型二、提公因式法分解因式 

2、(1)多项式的公因式是________；

(2)多项式的公因式是________；

        (3)多项式的公因式是________；

        (4)多项式的公因式是________．  

【答案】(1)3    (2)4    (3)    (4)

【解析】

解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．

(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.

(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是．公因式为4.

(3)公因式是（），为一个多项式因式．

(4)多项式可变形，其公因式是．

【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．

举一反三：

【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（　　）

A．    B．     C．     D．

【答案】B；

3、若，则E是（　　）

A．      B．       C．       D．

【答案】C；

【解析】

解：．故选C．

【总结升华】观察等式的右边，提取的是，故可把变成，即左边＝.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．

举一反三：

【变式】把多项式提取公因式后，余下的部分是（　　）

A．        B．        C．2        D．

【答案】D；

解：，

＝，

＝．

4、（2015春•新沂市期中）分解因式：3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）.

【思路点拨】将原式变形后，提取公因式即可得到结果．

【答案与解析】

解：原式=3x（a﹣b）+6y（a﹣b）=3（a﹣b）（x+2y）．

【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

举一反三：

【变式】用提公因式法分解因式正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C；

解：A.，故本选项错误；

B.，故本选项错误；

C.，正确；

D.，故本选项错误．

类型三、提公因式法分解因式的应用 

5、若，求的值.

【答案与解析】

解： 由，得

     .

【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，，这样就能由已知整体代入求值了.

【巩固练习】

一.选择题

1. 下列各式变形中，是因式分解的是（    ）

   A.      B.

C.             D.

2.（2014春•东营区校级期末）多项式6abc﹣3a2bc+12ab的公因式是（　　）

A.abc B.3ab   C.3abc D.3ab

3. 多项式分解因式的结果是（    ）

   A.          B.   

C.         D.

4. 分解因式的结果是（     ）

   A.               B.   

C.               D.

5. 下列因式分解正确的是（    ）

   A.  

B.

C.

D.

6. 把提公因式得（     ）

A．        B．

C．        D．

二.填空题

7. 因式分解是把一个______________化为______________的形式.

8. 的公因式是___________；的公因式是__________.

9. 因式分解＝_________________.

10. 多项式的公因式是______________.

11.（2015•澄海区一模）分解因式：m（x﹣y）+n（y﹣x）=_____________________.

12. 因式分解＝_____________________.

三.解答题

13. 应用简便方法计算：

   （1）；                    （2）

14.已知，求和的值.

15.（2014春•常州期中）分解因式：6a（b﹣1）﹣2（1﹣b）．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】D；

   【解析】因式分解和整式乘法互为逆运算，注意区分.B选项中出现了分式（分母中含有字母），所以错误.

2. 【答案】D．

   【解析】解：系数的最大公约数是3，相同字母a的最低次数是1，b的最低次数也是1，

∴公因式为3ab．

故选：D．

3. 【答案】C；

   【解析】.

4. 【答案】B；

【解析】.

5. 【答案】C；

   【解析】；

；

.

6. 【答案】C；

   【解析】.

二.填空题

7. 【答案】多项式；几个整式的积；

8. 【答案】；

9. 【答案】；

10.【答案】；

   【解析】.

11.【答案】（x﹣y）（m﹣n）．

【解析】解：m（x﹣y）+n（y﹣x）

=m（x﹣y）﹣n（x﹣y）

=（x﹣y）（m﹣n）．

故答案为：（x﹣y）（m﹣n）．

12.【答案】；

   【解析】.

三.解答题

13.【解析】

解：（1）；

   （2）.

14.【解析】

解：；

.

15.【解析】

解：6a（b﹣1）﹣2（1﹣b）=2（b﹣1）（3a﹣1）．