2021学年4.4 平行线的判定导学案

平行线的判定（基础）知识讲解

【学习目标】

1.熟练掌握平行线的画法；

2.掌握平行公理及其推论；

3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.

【要点梳理】

要点一、平行线的画法及平行公理

1.平行线的画法

用直尺和三角板作平行线的步骤：

①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.

②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.

③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.

④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.

2.平行公理及推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

要点诠释：

(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

要点二、平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠3＝∠2

∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠1＝∠2

∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠4＋∠2＝180°

∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

【典型例题】

类型一、平行公理及推论

1．下列说法中正确的有    (  )

   ①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

  A．1个    B 2个    C．3个    D．4个

【答案】 A  

【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选A．

【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．

举一反三：

【变式】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是        .

【答案】平行 

类型二、平行线的判定

2.(江苏)如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：

 ①∠1＝∠5；  ②∠1＝∠7；  ③∠2＋∠3＝180°；  ④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是    (    ).

 A．①②    B．①③    C．①④    D．③④

【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断．

【答案】A

【解析】①由∠1＝∠5可推出a∥b，理由是同位角相等，两直线平行．

    ②∵  ∠1＝∠7，又∠7＝∠5，

    ∴  ∠1＝∠5，可推出a∥b．

    ③∠2＋∠3＝180°不能推出a∥b．

④∠4＝∠7不能推出a∥b．

【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看这些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止．

举一反三：

【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ）.

A．∠1＝∠3　　B．∠2＝∠3　　C．∠4＝∠5　　D．∠2＋∠4＝1800 

【答案】B

【高清课堂：平行线及判定    例1】

【变式2】已知，如图，BE平分ABC，CF平分BCD，1＝2，求证：AB//CD．

【答案】∵ 1＝2

∴ 21＝22 ，即∠ABC＝∠BCD

∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）

3.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．

【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．

【答案与解析】

解：(1)由∠1＝∠3，

可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；

(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：

∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4

可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.

【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．

 4.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？

【答案与解析】

解：这两条直线平行.理由如下：

如图：

∵ b⊥a,  c⊥a

∴ ∠1＝∠2＝90°

∴  b∥c  (同位角相等，两直线平行) ．

【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.

举一反三：

【变式】已知，如图，EFEG，GMEG，1＝2，AB与CD平行吗？请说明理由．

【答案】

平行线的判定（基础）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1.下列关于作图的语句正确的是   （   ）.

A．画直线AB=10厘米.

B．画射线OB=10厘米.

C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线.

D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行.

2．下列判断正确的个数是    (   ).

    ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两条不相交的直线叫做平行线；③在同一平面内不相交的两条射线是平行线．

    A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

 3．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是    (    ).

    A．平行的性质

    B．等量代换

    C．平行于同一直线的两条直线平行

    D．以上都不对

4．下列说法中不正确的是    (    ).

    A．同位角相等，两直线平行.

    B．内错角相等，两直线平行.

    C．同旁内角相等，两直线平行.

    D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.

5．如图所示，给出了过直线外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是 (   ).

    A．同位角相等，两直线平行      B．内错角相等，两直线平行

    C．同旁内角互补，两直线平行    D．以上都不对

6．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2+∠1＝180°；④∠1＝∠3．其中能判定a∥b的序号是(    ).

    A．①②    B．①③    C．①④    D．③④

二、填空题

7.两条射线或线段平行，是指                         .

8．如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关系是________．

9．如图，直线a和b被直线c所截，∠1＝110°，当∠2＝________时，有直线a∥b成立．

10．如图，已知若∠1+∠2=180°，则∠3+∠4=      ，AB    CD．

11．小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．

12. 已知直线a、b都过点M，且直线a∥l，b∥l，那么直线a、b是同一条直线，根据是________．

三、解答题

13.读下列语句，用直尺和三角尺画出图形．

    (1)点P是直线AB外的一点，直线CD经过点P，且CD与AB平行；

    (2)直线AB与CD相交于点O，点P是AB、CD外的一点，直线EF经过点P，且EF∥AB，与直线CD相交于点E．

14．（黄石)已知如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，那么CD与AB平行吗?写出推理过程．

15．如图所示，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度，说明理由．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】D；

2.【答案】A；

【解析】①该点若在已知直线上，画不出与已知直线平行的直线；②平行线的定义必须强调在同一平面内，如图①中的AB与CC′不相交，但也不平行．③如图②中，射线AB与射线CD既不相交，也不平行．

3．【答案】C；

【解析】这是平行线的传递性，其实质是平行公理的推论．

4. 【答案】C；

【解析】同旁内角互补，两直线平行.

5. 【答案】A；   

【解析】这种作法的依据是：同位角相等，两直线平行．

6. 【答案】A；

【解析】∠2和∠3，∠1和∠3不是由“三线”产生的角．

二、填空题

7. 【答案】射线或线段所在的直线平行；

8．【答案】平行；

【解析】由已知可得：∠2＝30°，所以∠1＝∠2，可得：a∥b.

9．【答案】70°；

10.【答案】180°，∥ ；  

【解析】∠1＝∠3，∠2＝4，可得：∠3+∠4＝∠1+∠2＝180°.

11.【答案】平行；

【解析】平行公理的推论

12.【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

【解析】这是平行公理的具体内容.

三、解答题

13.【解析】

解：

14．【解析】

解：CD∥AB．理由如下：

     ∵  BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，

     ∴  ∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC．

     ∵  ∠ABC＝∠ADC，

     ∴  ∠3＝∠2．

     又∵  ∠1＝∠2，

     ∴  ∠3＝∠1．

     ∴  CD∥AB(内错角相等，两直线平行)．

15. 【解析】

解： ∠4＝100°．理由如下：

       ∵  ∠1＝60°，∠2＝60°，

       ∴  ∠1＝∠2．

       ∴  AB∥CD．

又∵  ∠3＝∠4＝100°，

∴  CD∥EF．

∴  AB∥EF．

解：AB∥CD．理由如下：如图：

∵ EFEG，GMEG (已知)，

    ∴  ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．

    又∵  ∠1＝∠2(已知)，

    ∴  ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，

    即∠3＝∠4．

    ∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．