湘教版七年级下册3.2 提公因式法练习

提公因式法（提高）

责编:杜少波

【学习目标】

1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；

2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.

【要点梳理】

【高清课堂398715  提公因式法  知识要点】

要点一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.

         （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.

         （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.

要点二、公因式

多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.

要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.

         （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.

         （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.

要点三、提公因式法

把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．

要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，

即 .

　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.

　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.

　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.

【典型例题】

类型一、因式分解的概念

1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断.

【答案与解析】

 解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；

(4)的左边不是多项式而是一个单项式，

(5)中的、都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解，

只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．

【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．

举一反三：

【变式】下列变形是因式分解的是 (      )

      A.   B.

      C.                  D.

【答案】B；

类型二、提公因式法分解因式

【高清课堂398715  提公因式法  例3】

2、下列因式分解变形中，正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A；

【解析】

解：A.，正确；

B.，故本选项错误；

C.，故本选项错误；

D.，故本选项错误．

【总结升华】解题的关键是正确找出公因式，提取公因式后注意符号的变化．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．

举一反三：

【变式】（2014春•濉溪县期末）下列分解因式结果正确的是（　　）

A.ab+7ab﹣b=b（a+7a）         B.3xy﹣3xy+6y=3y（x﹣x﹣2）

C.8xyz﹣6xy=2xyz（4﹣3xy）    D.﹣2a+4ab﹣6ac=﹣2a（a﹣2b+3c）

【答案】D.

解：A、原式=b（a+7a+1），错误；

B、原式=3y（x﹣x+2），错误；

C、原式=2xy（4z﹣3xy），错误；

D、原式=﹣2a（a﹣2b+3c），正确．

故选D．

类型三、提公因式法分解因式的应用

【高清课堂398715  提公因式法  例5】

3、若、、为的三边长，且，则按边分类，应是什么三角形？

【答案与解析】

解：∵

∴

当时，等式成立，

当时，原式变为，得出，

∴

∴是等腰三角形.

【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从而判定三角形的类型.

【高清课堂398715  提公因式法  例6】

4、对任意自然数（＞0），是30的倍数，请你判定一下这个说法的正确性，并说说理由.

【答案与解析】

解：

∵为大于0的自然数，

∴为偶数，15×为30的倍数，

即是30的倍数.

【总结升华】判断是否为30的倍数，只需要把分解因式，看分解后有没有能够整除30的因式.

举一反三：

【变式】说明能被7整除.

【答案】

解：

所以能被7整除.

5、（2015春•湘潭县期末）已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式xy+xy的值．

【思路点拨】将原式提取公因式xy，进而将已知代入求出结果即可．

【答案与解析】

解：∵xy=—3，x+y=2，

∴xy+xy=xy（x+y）=﹣3×2=﹣6．

【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

【巩固练习】

一.选择题

1. 下列各等式属于因式分解的是（    ）

   A.          B.

C.    D.

2. 观察下列各式：①；②；③；④；⑤；

⑥．其中可以用提公因式法分解因式的有（　　）

A．①②⑤        B．②④⑤        C．②④⑥      D．①②⑤⑥

3. 下列各式中，运用提取公因式分解因式正确的是（    ）

   A.     B.

   C.          D.

4. 分解因式的结果是（    ）

   A.                    B.    

   C.                  D.

5. （2014秋•西城区校级期中）把﹣6xy﹣3xy﹣8xy因式分解时，应提取公因式（　　）

　A.﹣3xy B.-2xy C.xy D.﹣xy

6. 计算的结果是（      ）

   A.         B.－1         C.       D.－2

二.填空题

7. 把下列各式因式分解：

（1）__________.

（2）_________________.

8. 在空白处填出适当的式子：

（1）；

（2）

9. 因式分解：______________.

10. 因式分解：____________.

11. .

12. （2015春•深圳校级期中）若m﹣n=3，mn=﹣2，则2m2n﹣2mn2+1的值为_____________.

三.解答题

13.已知：，求的值.

14. （2014春•北京校级月考）先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．

（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．

解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），

则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b

比较系数得，解得，∴

解法二：设2x3﹣x2+m=A•（2x+1）（A为整式）

由于上式为恒等式，为方便计算了取，

2×=0，故 ．

（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．

15. 先分解因式（1）、（2）、（3），再解答后面问题；

（1）1＋＋（1＋）；

（2）1＋＋（1＋）＋；

（3）1＋＋（1＋）＋＋

问题：

．先探索上述分解因式的规律，然后写出：

1＋＋（1＋）＋＋＋…＋分解因式的结果是_______________.

．请按上述方法分解因式：

1＋＋（1＋）＋＋＋…＋（为正整数）．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】D；

   【解析】A、C不是因式分解，B选项应为.

2. 【答案】D

【解析】①；②；

⑤；

⑥．

所以可以用提公因式法分解因式的有①②⑤⑥．

3. 【答案】C；

   【解析】；.

4. 【答案】C；

5. 【答案】D．

   【解析】解：﹣6x3y2﹣3x2y2﹣8x2y3=﹣x2y2（6x+3+8y），

因此﹣6x3y2﹣3x2y2﹣8x2y3的公因式是﹣x2y2．

故选D．

6. 【答案】C；

   【解析】.

二.填空题

7. 【答案】（1）；（2）

   【解析】.

8. 【答案】（1）；（2）；

   【解析】.

9. 【答案】；

   【解析】

          .

10.【答案】；

   【解析】.

11.【答案】；

   【解析】.

12.【答案】-11；

【解析】解：∵2m2n﹣2mn2+1

=2mn（m﹣n）+1

将m﹣n=3，mn=﹣2代入得：

原式=2mn（m﹣n）+1

=2×（﹣2）×3+1

=﹣11．

故答案为：﹣11．

三.解答题

13.【解析】

解：

14.【解析】

解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），

取x=1，得1+m+n﹣16=0①，

取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，

由①、②解得m=﹣5，n=20．

15.【解析】

解：（1）原式＝；

（2）原式＝；

（3）原式＝

．结果为：，

．原式＝

        ＝

        ＝

＝……

        ＝