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初中数学湘教版七年级下册第5章 轴对称与旋转综合与测试学案设计
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这是一份初中数学湘教版七年级下册第5章 轴对称与旋转综合与测试学案设计，共15页。学案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华，巩固练习等内容，欢迎下载使用。
1.了解轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；
2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；
3.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用；
4.掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平移变换
1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
要点诠释：
（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．
要点诠释：
（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；
（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．
要点二、旋转变换
1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
２．旋转变换的性质
图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.
３．旋转作图步骤
①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.
②分析所作图形，找出构成图形的关键点.
③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.
④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点.
４．中心对称与中心对称图形
中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．
中心对称图形：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.
5．中心对称作图步骤
① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.
② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
要点诠释：
图形变换与图案设计的基本步骤
①确定图案的设计主题及要求；
②分析设计图案所给定的基本图案；
③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；
④对图案进行修饰，完成图案.
要点三、轴对称变换
1．轴对称与轴对称图形
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.
轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．轴对称变换的性质
①关于直线对称的两个图形是全等图形.
②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
3．轴对称作图步骤
①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的．
要点四、图形的全等
1. 全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
2. 全等多边形
（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.
3. 全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
（1）全等三角形的性质
全等三角形的对应边、对应角分别相等.
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
（2）全等三角形的判定
如果两个全等三角形的边、角分别对应相等，那么这两个全等三角形全等.
【典型例题】
类型一、平移变换
1.如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____________.
【思路点拨】
根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．
【答案与解析】
∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，
∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，
∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；
【总结升华】
此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，
OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】
解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选C．
2．如图，已知的面积为3，且现将沿CA方向平移CA长度得到.
求所扫过的图形面积；
B
C
A
（）
F
E
【思路点拨】
根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S△EFA=S△BAF=S△ABC，从而便可得到四边形CEFB的面积；
【答案与解析】
由平移的性质得
AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC
∴四边形AFBC为平行四边形
S△EFA=S△BAF=S△ABC=3
∴四边形EFBC的面积为9；
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质等知识点的综合运用及推理计算能力．
类型二、旋转变换
3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
【思路点拨】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可.
【答案与解析】
解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB=45°﹣15°=30°，
故选：B．
【总结升华】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°是解题关键．
4. 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接
EF．将△EOF绕点O逆时针旋转角得到△E1OF1(如图2)．
(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；
(2)当＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．
【思路点拨】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边；
(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°.
【答案与解析】(1)AE1＝BF1，证明如下：
∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF .
∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转角得到，∴OE1＝OF1.
∵ ∠AOB＝∠EOF＝900， ∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB.
在△E1OA和△F1OB中，，
∴△E1OA≌△F1OB（SAS）.
∴ AE1＝BF1.
(2)取OE1中点G，连接AG.
∵∠AOD＝900，＝30° ，
∴ ∠E1OA＝900－＝60°.
∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.
∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.
∴ ∠E1AO＝90°.
∴△AOE1为直角三角形.
【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定.
举一反三：
【变式】如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的数量关系．
【答案】数量关系为BK=DM.
∵ABCD和AKLM都是正方形
∴AB=AD，AK=AM
∵∠DAM+∠DAK=90°，∠BAK+∠DAK=90°
∴∠DAM=∠BAK △DAM可以看作是△ABK以A为旋转中心，∠BAD为旋转角(90°)逆时针旋转而成的，故BK=DM.
类型三、轴对称变换
5．A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）
【思路点拨】根据两点之间线段最短，如果能使三角形的周长转化为一条线段，则能最短．利用轴对称进行变换，就可将三角形的周长这三条线段的和变成一条线段．
作出A关于OM的对称点A′，关于ON的A对称点A″，连接A′A″，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．
【答案与解析】
解：作A关于OM的对称点A′，关于ON的A对称点A″，与OM、ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．
证明：∵A与A′关于OM对称，
∴AB=A′B，
AC=A″C，
于是AB+BC+CA=A′B+BC+A″C=A′A″，
根据两点之间线段最短，A′A″为△ABC的最小值．
【总结升华】此题考查了轴对称---最短路径问题，作出A关于OM、ON的对称点，根据轴对称的性质将三角形周长最小值问题转化为线段长度问题是解题的关键．
举一反三：
【变式】用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝ 度.
C
D
E
B
A
图 （2）
图（1）
【答案】∵∠ABC==108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC=∠BCA=36度．
类型四、图形的全等
6. 请分别在下图中把正方形分成2个、4个、8个全等的图形．
【思路点拨】
选择对边的两个中点连接即可分得两个全等的；分别连接对边的两个中点即可得到四个全等的图形；分别连接对边的两个中点及不相邻的两个顶点即可得到8个全等的图形．
【答案与解析】
解：所作图形如下所示：
【总结升华】本题考查全等形的概念及应用于设计作图，难度不大，注意作图的规范性．
ADDIN CNKISM.UserStyle《轴对称与旋转》全章复习与巩固--巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1. 以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）.
A．4个 B．5个 C．6个 D．3个
2．有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（ ）.
A．①③ B．①② C．②③ D．②④
3.下列命题①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等．其中正确的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形可由△OBC平移得到的是（ ）.
A.△OCD B.△OAB C.△OAF D.△OEF
5.如图，∠DOE为直角，如果△ABC关于OD的对称图形是△A′B′C′，△A′B′C′关于OE的对称图形是△A″B″C″，则△ABC与△A″B″C″的关系是（ ）
A．以∠DOE的平分线成轴对称; B．关于点O成中心对称
C．平移关系; D．不具备任何关系
第4题 第5题 第6题
6.如图所示，△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，△EDC是由△ADB旋转180°所得，则AB边的取值范围是（ ）．
A．l＜AB＜29 B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜19
二、填空题
7.如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）
8. 如图，AB⊥BC，AB=BC=2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是__________cm2.
9. 如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形纸，小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去，使AB边和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判定方法是________．
第8题 第9题 第10题
10. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与
AC上的点B1重合，则AC＝ cm．
11. 如图，正方形ABCD通过顺时针旋转得到正方形AB′C′D′，则旋转角度为 .
第11题 第12题
12. 如图所示，图形①经过 变换得到图形②；图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移、旋转、轴对称）
三、解答题
13. 动手操作．
（1）在A图中画出图形的一半，是它们成为一个轴对称图形．
（2）把B图形 ②绕O点 方向旋转 ，然后向 平移 格，再向 平移 格，可同图形①拼成一个正方形．
14. 如图1，往6×6的方格纸中，给出如下三种变换：P变换，Q变换，R变换．
将图形F沿x轴向右平移1格得图形，称为作1次P变换；
将图形F沿y轴翻折得图形，称为作1次Q变换；
将图形F绕坐标原点顺时针旋转90°得图形，称为作1次R变换．
规定：PQ变换表示先作1次Q变换，再作1次P变换；QP变换表示先作1次P变换，再作1
次Q变换；变换表示作n次R变换．
解答下列问题：
(1)作变换相当于至少作________次Q变换；
(2)请在图2中画出图形F作变换后得到的图形；
(3)PQ变换与QP变换是否是相同的变换？请在图3中画出PQ变换后得到的图形，在图4中
画出QP变换后得到的图形．
15. 如图，是两个全等的直角三角形，请问怎样将△BCD变成△EAB？
16.如图，在正方形网格上有一个△ABC．
（1）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′（不写作法，但要标出字母）；
（2）若网格上的最小正方形边长为1，求出△ABC的面积．
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】A．
2．【答案】D.
【解析】①温度计中液柱的上升或下降改变图形的大小，不属于平移；
②打气筒打气时，活塞的运动属于平移；
③钟摆的摆动是旋转，不属于平移；
④传送带上瓶装饮料的移动符合平移的性质，属于平移．
3．【答案】B.
【解析】解：①两个图形全等，它们的形状相同，故正确；
②两个图形全等，它们的大小相同，故正确；
③面积相等的两个图形全等，错误；
④周长相等的两个图形全等，错误．
所以只有2个正确，故选B．
4．【答案】C.
5．【答案】B.
【解析】当对称轴垂直时，一个图形经过两次轴对称变换得到的图形与原图形成中心对称．
6．【答案】D.
【解析】∵△ADB绕点D旋转180°，得到△EDC，
∴AB=EC,AD=DE，而AD=7，∴AE=14，
在△ACE中，AC=5，
∴AE-AC＜EC＜AC+AE，
即14 -5＜EC＜14+5，∴9＜AD＜19．
二．填空题
7．【答案】旋转，平移．
【解析】观察图形，由图形（1）到（3）是旋转，图形（4）与（1）的大小、形状相同，是平移的得到的．
8．【答案】2.
【解析】连结AC，如图，
∵AB⊥BC，AB=BC=2cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
又∵弧OA与弧OC关于点O中心对称，
∴OA=OC，弧OA=弧OC，
∴弓形OA的面积=弓形OC的面积，
∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的图形的面积=三角形ABC的面积=×2×2=2（cm2）．
9．【答案】对角线平分内角的矩形是正方形.
10．【答案】4cm.
【解析】∵AB=2cm，AB=AB1∴AB1=2cm，
∵四边形ABCD是矩形，AE=CE，∴∠ABE=∠AB1E=90°
∵AE=CE，∴AB1=B1C，∴AC=4cm．
11.【答案】60°．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAB′=90°-30°=60°，
故，旋转角度为60°．
故答案为：60°．
12．【答案】轴对称，旋转，平移.
【解析】解：由图形可知：
图形①和图形②关于对称轴对称；
图形①经过顺时针旋转90°变换得到图形③；
图形①经过平移变换得到图形④．
故答案为：轴对称，旋转，平移．
三.综合题
13.【解析】
解：（1）根据题干分析画图如下：
（2）观察上图，图形②绕O点逆时针方向旋转90度，然后向左平移2格，再向下平移3格，可同图形①拼成一个正方形．
故答案为：逆时针；90度；左；2；下；3．
14．【解析】
(1).2；
(2).正确画出图形；
(3).变换PQ与变换QP不是相同的变换.正确画出图形，.
15．【解析】
解：先把△DCB以C为旋转中心逆时针旋转90°，然后再向右平移，使点C与A重合，这样△BCD变成△EAB．
16.【解析】
解：（1）如图：
（2）解：S△ABC=6×1-（1×2+1×3+1×2）=6-=．
1.了解轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；
2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；
3.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用；
4.掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平移变换
1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
要点诠释：
（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．
要点诠释：
（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；
（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．
要点二、旋转变换
1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
２．旋转变换的性质
图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.
３．旋转作图步骤
①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.
②分析所作图形，找出构成图形的关键点.
③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.
④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点.
４．中心对称与中心对称图形
中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．
中心对称图形：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.
5．中心对称作图步骤
① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.
② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
要点诠释：
图形变换与图案设计的基本步骤
①确定图案的设计主题及要求；
②分析设计图案所给定的基本图案；
③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；
④对图案进行修饰，完成图案.
要点三、轴对称变换
1．轴对称与轴对称图形
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.
轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．轴对称变换的性质
①关于直线对称的两个图形是全等图形.
②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
3．轴对称作图步骤
①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的．
要点四、图形的全等
1. 全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
2. 全等多边形
（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.
3. 全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
（1）全等三角形的性质
全等三角形的对应边、对应角分别相等.
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
（2）全等三角形的判定
如果两个全等三角形的边、角分别对应相等，那么这两个全等三角形全等.
【典型例题】
类型一、平移变换
1.如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____________.
【思路点拨】
根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．
【答案与解析】
∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，
∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，
∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；
【总结升华】
此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，
OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】
解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选C．
2．如图，已知的面积为3，且现将沿CA方向平移CA长度得到.
求所扫过的图形面积；
B
C
A
（）
F
E
【思路点拨】
根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S△EFA=S△BAF=S△ABC，从而便可得到四边形CEFB的面积；
【答案与解析】
由平移的性质得
AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC
∴四边形AFBC为平行四边形
S△EFA=S△BAF=S△ABC=3
∴四边形EFBC的面积为9；
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质等知识点的综合运用及推理计算能力．
类型二、旋转变换
3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
【思路点拨】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可.
【答案与解析】
解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB=45°﹣15°=30°，
故选：B．
【总结升华】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°是解题关键．
4. 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接
EF．将△EOF绕点O逆时针旋转角得到△E1OF1(如图2)．
(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；
(2)当＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．
【思路点拨】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边；
(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°.
【答案与解析】(1)AE1＝BF1，证明如下：
∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF .
∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转角得到，∴OE1＝OF1.
∵ ∠AOB＝∠EOF＝900， ∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB.
在△E1OA和△F1OB中，，
∴△E1OA≌△F1OB（SAS）.
∴ AE1＝BF1.
(2)取OE1中点G，连接AG.
∵∠AOD＝900，＝30° ，
∴ ∠E1OA＝900－＝60°.
∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.
∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.
∴ ∠E1AO＝90°.
∴△AOE1为直角三角形.
【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定.
举一反三：
【变式】如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的数量关系．
【答案】数量关系为BK=DM.
∵ABCD和AKLM都是正方形
∴AB=AD，AK=AM
∵∠DAM+∠DAK=90°，∠BAK+∠DAK=90°
∴∠DAM=∠BAK △DAM可以看作是△ABK以A为旋转中心，∠BAD为旋转角(90°)逆时针旋转而成的，故BK=DM.
类型三、轴对称变换
5．A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）
【思路点拨】根据两点之间线段最短，如果能使三角形的周长转化为一条线段，则能最短．利用轴对称进行变换，就可将三角形的周长这三条线段的和变成一条线段．
作出A关于OM的对称点A′，关于ON的A对称点A″，连接A′A″，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．
【答案与解析】
解：作A关于OM的对称点A′，关于ON的A对称点A″，与OM、ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．
证明：∵A与A′关于OM对称，
∴AB=A′B，
AC=A″C，
于是AB+BC+CA=A′B+BC+A″C=A′A″，
根据两点之间线段最短，A′A″为△ABC的最小值．
【总结升华】此题考查了轴对称---最短路径问题，作出A关于OM、ON的对称点，根据轴对称的性质将三角形周长最小值问题转化为线段长度问题是解题的关键．
举一反三：
【变式】用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝ 度.
C
D
E
B
A
图 （2）
图（1）
【答案】∵∠ABC==108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC=∠BCA=36度．
类型四、图形的全等
6. 请分别在下图中把正方形分成2个、4个、8个全等的图形．
【思路点拨】
选择对边的两个中点连接即可分得两个全等的；分别连接对边的两个中点即可得到四个全等的图形；分别连接对边的两个中点及不相邻的两个顶点即可得到8个全等的图形．
【答案与解析】
解：所作图形如下所示：
【总结升华】本题考查全等形的概念及应用于设计作图，难度不大，注意作图的规范性．
ADDIN CNKISM.UserStyle《轴对称与旋转》全章复习与巩固--巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1. 以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）.
A．4个 B．5个 C．6个 D．3个
2．有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（ ）.
A．①③ B．①② C．②③ D．②④
3.下列命题①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等．其中正确的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形可由△OBC平移得到的是（ ）.
A.△OCD B.△OAB C.△OAF D.△OEF
5.如图，∠DOE为直角，如果△ABC关于OD的对称图形是△A′B′C′，△A′B′C′关于OE的对称图形是△A″B″C″，则△ABC与△A″B″C″的关系是（ ）
A．以∠DOE的平分线成轴对称; B．关于点O成中心对称
C．平移关系; D．不具备任何关系
第4题 第5题 第6题
6.如图所示，△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，△EDC是由△ADB旋转180°所得，则AB边的取值范围是（ ）．
A．l＜AB＜29 B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜19
二、填空题
7.如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）
8. 如图，AB⊥BC，AB=BC=2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是__________cm2.
9. 如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形纸，小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去，使AB边和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判定方法是________．
第8题 第9题 第10题
10. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与
AC上的点B1重合，则AC＝ cm．
11. 如图，正方形ABCD通过顺时针旋转得到正方形AB′C′D′，则旋转角度为 .
第11题 第12题
12. 如图所示，图形①经过 变换得到图形②；图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移、旋转、轴对称）
三、解答题
13. 动手操作．
（1）在A图中画出图形的一半，是它们成为一个轴对称图形．
（2）把B图形 ②绕O点 方向旋转 ，然后向 平移 格，再向 平移 格，可同图形①拼成一个正方形．
14. 如图1，往6×6的方格纸中，给出如下三种变换：P变换，Q变换，R变换．
将图形F沿x轴向右平移1格得图形，称为作1次P变换；
将图形F沿y轴翻折得图形，称为作1次Q变换；
将图形F绕坐标原点顺时针旋转90°得图形，称为作1次R变换．
规定：PQ变换表示先作1次Q变换，再作1次P变换；QP变换表示先作1次P变换，再作1
次Q变换；变换表示作n次R变换．
解答下列问题：
(1)作变换相当于至少作________次Q变换；
(2)请在图2中画出图形F作变换后得到的图形；
(3)PQ变换与QP变换是否是相同的变换？请在图3中画出PQ变换后得到的图形，在图4中
画出QP变换后得到的图形．
15. 如图，是两个全等的直角三角形，请问怎样将△BCD变成△EAB？
16.如图，在正方形网格上有一个△ABC．
（1）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′（不写作法，但要标出字母）；
（2）若网格上的最小正方形边长为1，求出△ABC的面积．
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】A．
2．【答案】D.
【解析】①温度计中液柱的上升或下降改变图形的大小，不属于平移；
②打气筒打气时，活塞的运动属于平移；
③钟摆的摆动是旋转，不属于平移；
④传送带上瓶装饮料的移动符合平移的性质，属于平移．
3．【答案】B.
【解析】解：①两个图形全等，它们的形状相同，故正确；
②两个图形全等，它们的大小相同，故正确；
③面积相等的两个图形全等，错误；
④周长相等的两个图形全等，错误．
所以只有2个正确，故选B．
4．【答案】C.
5．【答案】B.
【解析】当对称轴垂直时，一个图形经过两次轴对称变换得到的图形与原图形成中心对称．
6．【答案】D.
【解析】∵△ADB绕点D旋转180°，得到△EDC，
∴AB=EC,AD=DE，而AD=7，∴AE=14，
在△ACE中，AC=5，
∴AE-AC＜EC＜AC+AE，
即14 -5＜EC＜14+5，∴9＜AD＜19．
二．填空题
7．【答案】旋转，平移．
【解析】观察图形，由图形（1）到（3）是旋转，图形（4）与（1）的大小、形状相同，是平移的得到的．
8．【答案】2.
【解析】连结AC，如图，
∵AB⊥BC，AB=BC=2cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
又∵弧OA与弧OC关于点O中心对称，
∴OA=OC，弧OA=弧OC，
∴弓形OA的面积=弓形OC的面积，
∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的图形的面积=三角形ABC的面积=×2×2=2（cm2）．
9．【答案】对角线平分内角的矩形是正方形.
10．【答案】4cm.
【解析】∵AB=2cm，AB=AB1∴AB1=2cm，
∵四边形ABCD是矩形，AE=CE，∴∠ABE=∠AB1E=90°
∵AE=CE，∴AB1=B1C，∴AC=4cm．
11.【答案】60°．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAB′=90°-30°=60°，
故，旋转角度为60°．
故答案为：60°．
12．【答案】轴对称，旋转，平移.
【解析】解：由图形可知：
图形①和图形②关于对称轴对称；
图形①经过顺时针旋转90°变换得到图形③；
图形①经过平移变换得到图形④．
故答案为：轴对称，旋转，平移．
三.综合题
13.【解析】
解：（1）根据题干分析画图如下：
（2）观察上图，图形②绕O点逆时针方向旋转90度，然后向左平移2格，再向下平移3格，可同图形①拼成一个正方形．
故答案为：逆时针；90度；左；2；下；3．
14．【解析】
(1).2；
(2).正确画出图形；
(3).变换PQ与变换QP不是相同的变换.正确画出图形，.
15．【解析】
解：先把△DCB以C为旋转中心逆时针旋转90°，然后再向右平移，使点C与A重合，这样△BCD变成△EAB．
16.【解析】
解：（1）如图：
（2）解：S△ABC=6×1-（1×2+1×3+1×2）=6-=．
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