还剩9页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.1 等比数列的概念及其通项公式第1课时导学案
展开
这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.1 等比数列的概念及其通项公式第1课时导学案，共12页。学案主要包含了等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列通项公式的应用等内容，欢迎下载使用。
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法.2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.3.能解决与等比数列的通项公式有关的运算．
导语
山东省临沂市费县人程运付，从2005年底开始赶集摆摊卖拉面，3元拉面15年不涨价.2021年2月，因为顾客偶然拍摄的一段短视频，走红网络，成为远近闻名的“拉面哥”.2021年3月，全国各地的自媒体、商家和游客纷纷朝着“拉面哥”家乡“集结”，“拉面哥”每天忙碌地为大家“表演”拉面技艺．只见他娴熟地将一根很粗的面条拉伸、捏合、再拉伸、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条．你知道他这样拉伸、捏合10次后可拉出多少根细面条吗？
一、等比数列的概念
问题1 观察下面几个数列：
(1)1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，….
(2)1，－1,1，－1,1，….
(3)eq \f(1,2)，－1,2，－4,8，….
上面几组数列是等差数列吗？如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？
提示 都不是等差数列，不符合等差数列的定义；从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数．
知识梳理
等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
注意点：
(1)等比数列定义的符号语言：eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋)．
(2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”，如数列：2,2,3,3,4,4就不是等比数列．
(3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0.
例1 (1)(多选)下列各组数成等比数列的是( )
A．1，－2,4，－8 B．－eq \r(2)，2，－2eq \r(2)，4
C．x，x2，x3，x4 D．a－1，a－2，a－3，a－4
答案 ABD
解析 由等比数列的定义知，ABD是等比数列，C中当x＝0时，不是等比数列．
(2)已知数列{an}的各项都不为0，a1＝1，且2an＋1＝3an，则a3的值为________，数列{an}________等比数列(填“是”或“不是”)．
答案 eq \f(9,4) 是
解析 因为a1＝1，且2an＋1＝3an，
所以2a2＝3a1，所以a2＝eq \f(3,2)，
以此类推a3＝eq \f(9,4).
由2an＋1＝3an，得eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3,2)，
故数列{an}是以1为首项，eq \f(3,2)为公比的等比数列．
反思感悟 等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．
(2)要判定一个数列是否为等比数列，只需看eq \f(an＋1,an)的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒．
跟踪训练1 判断下列数列是否为等比数列：
(1)1,3,32,33，…，3n－1，…；
(2)－1,1,2,4,8，…；
(3)a，－a，a，－a，….
解 (1)记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，….
∵eq \f(an,an－1)＝eq \f(3n－1,3n－2)＝3(n≥2，n∈N＋)，
∴数列为等比数列，且公比为3.
(2)记数列为{an}，则a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，
∵eq \f(a2,a1)＝－1≠eq \f(a3,a2)＝2，
∴此数列不是等比数列．
(3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；
当a≠0时，数列为a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1.
二、等比数列的通项公式
问题2 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
提示 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知eq \f(an,an－1)＝q(n∈N＋且n≥2)．
方法一 an＝eq \f(an,an－1)×eq \f(an－1,an－2)×…×eq \f(a3,a2)×eq \f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，
当n＝1时，上式也成立．
方法二 a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
…
由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．
知识梳理
等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝a1qn－1.
注意点：
(1)用函数的观点看等比数列的通项：等比数列{an}的图象是函数y＝eq \f(a1,q)·qx的图象上的一群孤立的点．
(2)等比数列通项公式的变形公式：an＝amqn－m(m，n∈N＋)．
例2 在等比数列{an}中．
(1)已知a2＝4，a5＝－eq \f(1,2)，求an；
(2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，an＝64，求n.
解 (1)方法一 设等比数列的公比为q，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q＝4，,a1q4＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－8，,q＝－\f(1,2).))
∴an＝a1qn－1＝(－8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－4.
方法二 设等比数列的公比为q，则eq \f(a5,a2)＝q3，
即q3＝－eq \f(1,8)，q＝－eq \f(1,2).
∴an＝a5qn－5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－4.
(2)根据题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q4－a1＝15，,a1q3－a1q＝6，))
方程两边分别相除，得eq \f(a1q4－a1,a1q3－a1q)＝eq \f(5,2).
整理得2q2－5q＋2＝0，
解得q＝2或q＝eq \f(1,2).
当q＝2时，a1＝1；当q＝eq \f(1,2)时，a1＝－16(舍去)．
由a1qn－1＝64，即2n－1＝64，n＝7.
延伸探究 本例(1)若改为等比数列{an}中，已知a2＝18，a4＝8，求q与a5.
解 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q＝18，,a1q3＝8，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝27，,q＝\f(2,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－27，,q＝－\f(2,3)，))
所以q＝±eq \f(2,3)，a5＝a4q＝±eq \f(16,3).
反思感悟 (1)等比数列通项公式的求法
①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，
(1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12；
(2)若a3·a5＝18，a4·a8＝72，求q.
解 (1)因为a9＝a1·q8，
所以256·q8＝1，即q＝±eq \f(1,2).
当q＝eq \f(1,2)时，a12＝a1·q11＝256×eq \f(1,211)＝eq \f(1,8)；
当q＝－eq \f(1,2)时，a12＝a1·q11＝256×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))11＝－eq \f(1,8).
(2)a1·q2·a1·q4＝18，即aeq \\al(2,1)·q6＝18.
又a1q3·a1q7＝72，即aeq \\al(2,1)·q10＝72.
两式相除得q4＝eq \f(72,18)＝4，所以q＝±eq \r(2).
三、等比数列通项公式的应用
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
解 方法一 设这四个数依次为a－d，a，a＋d，eq \f(a＋d2,a)，
由条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－d＋\f(a＋d2,a)＝16，,a＋a＋d＝12.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,d＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝9，,d＝－6.))
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法二 设这四个数依次为eq \f(2a,q)－a，eq \f(a,q)，a，aq(q≠0)，
由条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2a,q)－a＋aq＝16，,\f(a,q)＋a＝12，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝8，,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,q＝\f(1,3).))
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝eq \f(1,3)时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
反思感悟 灵活设项求解等比数列的技巧
(1)三个数成等比数列设为eq \f(a,q)，a，aq.
(2)四个符号相同的数成等比数列设为eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3.
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
跟踪训练3 已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－eq \f(3,2)，则这三个数依次为________．
答案 －eq \f(2,5)，1，－eq \f(5,2)
解析 设这三个数分别为eq \f(a,q)，a，aq，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝1，,a＋aq＝－\f(3,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,q＝－\f(5,2)，))
所以这三个数依次为－eq \f(2,5)，1，－eq \f(5,2).
1.知识清单：
(1)等比数列的概念及判断．
(2)等比数列的通项公式．
(3)等比数列中项的设法．
2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．
3．常见误区：
(1)四个数成等比数列时设成eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，未考虑公比为负的情况．
(2)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．
1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为( )
A．±eq \f(1,2) B．±2 C.eq \f(1,2) D．－2
答案 D
解析 因为eq \f(a5,a2)＝q3＝－8，故q＝－2.
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4 B．8 C．6 D．32
答案 C
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，
2n－1＝32，所以n＝6.
3．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a1＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析 由a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，得a1(1＋q)＝1，a1q(1＋q)＝2，解得a1＝eq \f(1,3).
4．若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________．
答案 －1或3
解析 设公比为q，则3a1q3＝a1q5－2a1q4.
因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0，
解得q＝－1或q＝3.
课时对点练
1．有下列四个说法：
①等比数列中的某一项可以为0；
②等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)；
③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；
④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列．
其中正确说法的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 等比数列中公比不能取0，且各项均不可为0，所以只有③正确．
2．(多选)在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 AC
解析 根据题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＋a1q3＝4，,a1q＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,q＝－2.))
3．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等．
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)，eq \f(1,4)
eq \f(3,4)，eq \f(3,8)，eq \f(3,16)
…
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,8) C.eq \f(5,16) D.eq \f(5,4)
答案 C
解析 第一列构成首项为eq \f(1,4)，公差为eq \f(1,4)的等差数列，
所以a51＝eq \f(1,4)＋(5－1)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).
又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为eq \f(5,4)，公比为eq \f(1,2)的等比数列，所以a53＝eq \f(5,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(5,16).
4．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 C
解析 因为a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝aeq \\al(5,1)·q10＝－q10，又am＝a1qm－1＝－qm－1，所以－q10＝－qm－1，所以10＝m－1，所以m＝11.
5．(多选)设{an}为等比数列，下列数列一定为等比数列的是( )
A．{2an} B．{aeq \\al(2,n)} C．{} D．{lg2|an|}
答案 AB
解析 设an＝a1qn－1，对于A,2an＝2a1qn－1，所以数列{2an}是等比数列；对于B，aeq \\al(2,n)＝aeq \\al(2,1)q2n－2＝aeq \\al(2,1)(q2)n－1，所以数列{aeq \\al(2,n)}是等比数列；对于C,，不是一个常数，所以数列{}不是等比数列；对于D，eq \f(lg2|an|,lg2|an－1|)＝eq \f(lg2|a1qn－1|,lg2|a1qn－2|)不是一个常数，所以数列{lg2|an|}不是等比数列．
6．已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是( )
A．8 B.eq \f(1,2) C．8或2 D．8或eq \f(1,2)
答案 D
解析 不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，若数列前3项为4,2,1，则第4项为eq \f(1,2).
7．等比数列{an}的前三项分别是5，－15,45，则a5＝________.
答案 405
解析 因为a1＝5，q＝eq \f(a2,a1)＝－3，所以a5＝a1q4＝405.
8．三个数成等比数列，公比q>1，三个数的积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，则这三个数分别为________．
答案 4,8,16
解析 设这三个数依次为eq \f(a,q)，a，aq，
∵eq \f(a,q)·a·aq＝512，∴a＝8，
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,q)－2))＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝eq \f(1,2).
∵q>1，∴这三个数分别为4,8,16.
9．在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解 (1)因为a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)a1＝eq \f(an,qn－1)＝eq \f(625,54－1)＝5，故a1＝5.
(3) 因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18， ①,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9， ②))
由eq \f(②,①)，得q＝eq \f(1,2)，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝1，即26－n＝20，故n＝6.
10．有三个数成等比数列，其积为27，其平方和为91，求这三个数．
解 设这三个数为eq \f(a,q)，a，aq(公比为q)，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝27， ①,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,q)))2＋a2＋aq2＝91， ②))
由①得a＝3.
将a＝3代入②得q2＋eq \f(1,q2)＝eq \f(82,9)，
所以9q4－82q2＋9＝0，令q2＝t(t>0)，
所以9t2－82t＋9＝0，得t1＝9，t2＝eq \f(1,9).
所以q＝±3或q＝±eq \f(1,3).
当q＝3时，此数列为1,3,9；
当q＝－3时，此数列为－1,3，－9；
当q＝eq \f(1,3)时，此数列为9,3,1；
当q＝－eq \f(1,3)时，此数列为－9,3，－1.
11．等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18,36,81}中，则q等于( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)
答案 C
解析 ∵{an}中的项必然有正有负，
∴q<0.又|q|>1，∴q<－1.
由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
∴q＝－eq \f(3,2).
12．已知在等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，eq \f(1,2)a3，2a2成等差数列，则eq \f(a9＋a10,a7＋a8)等于( )
A．1＋eq \r(2) B．1－eq \r(2)
C．3＋2eq \r(2) D．3－2eq \r(2)
答案 C
解析 由题意知2×eq \f(1,2)a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0.∴q＝1＋eq \r(2)或q＝1－eq \r(2)(舍去)．
eq \f(a9＋a10,a7＋a8)＝eq \f(a7＋a8q2,a7＋a8)＝q2＝(1＋eq \r(2))2＝3＋2eq \r(2).
13．在表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为________．
答案 1
解析 因为每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，所以根据第三列，得2×a＝12，可得a＝eq \f(1,2).在第一列中，公比q＝eq \f(1,2)，第3个数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,4)，第4个数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(1,8)，第三列中，公比q＝eq \f(1,2)，第4个数为2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(1,4)，所以第四行中的公差d＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－\f(1,8)))＝eq \f(1,16)，所以第四行中第4个数b＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,16)＝eq \f(5,16)，同理c＝eq \f(3,16)，所以a＋b＋c＝eq \f(1,2)＋eq \f(5,16)＋eq \f(3,16)＝1.
14．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为__________．
答案 64
解析 设该等比数列{an}的公比为q，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a3＝10，,a2＋a4＝5，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1q2＝10，,a1q＋a1q3＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，))
∴a1a2·…·an＝
当n＝3或4时，eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(7,2)))2－\f(49,4)))取得最小值－6，
此时取得最大值26，
∴a1a2·…·an的最大值为64.
15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则an＝________.
答案 2n－1
解析 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2.
∴{an＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.
∴an＝2n－1.
16．在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________，求数列{an}，{bn}的通项公式．
解 选条件①：
因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，
因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋5d＝6a1d，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝5，,2a1＋5d＝6a1d，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(25,6)，,d＝\f(5,12)))(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件②：
因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2，
因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1d＝2，,2a1＋5d＝3a1d2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,d＝－2))(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件③：
因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9，
因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋7d＝8a1d，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a1＋3d＝9，,2a1＋7d＝8a1d，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(21,8)，,d＝\f(3,8)))(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.1
2
0.5
1
a
b
c
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法.2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.3.能解决与等比数列的通项公式有关的运算．
导语
山东省临沂市费县人程运付，从2005年底开始赶集摆摊卖拉面，3元拉面15年不涨价.2021年2月，因为顾客偶然拍摄的一段短视频，走红网络，成为远近闻名的“拉面哥”.2021年3月，全国各地的自媒体、商家和游客纷纷朝着“拉面哥”家乡“集结”，“拉面哥”每天忙碌地为大家“表演”拉面技艺．只见他娴熟地将一根很粗的面条拉伸、捏合、再拉伸、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条．你知道他这样拉伸、捏合10次后可拉出多少根细面条吗？
一、等比数列的概念
问题1 观察下面几个数列：
(1)1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，….
(2)1，－1,1，－1,1，….
(3)eq \f(1,2)，－1,2，－4,8，….
上面几组数列是等差数列吗？如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？
提示 都不是等差数列，不符合等差数列的定义；从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数．
知识梳理
等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
注意点：
(1)等比数列定义的符号语言：eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋)．
(2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”，如数列：2,2,3,3,4,4就不是等比数列．
(3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0.
例1 (1)(多选)下列各组数成等比数列的是( )
A．1，－2,4，－8 B．－eq \r(2)，2，－2eq \r(2)，4
C．x，x2，x3，x4 D．a－1，a－2，a－3，a－4
答案 ABD
解析 由等比数列的定义知，ABD是等比数列，C中当x＝0时，不是等比数列．
(2)已知数列{an}的各项都不为0，a1＝1，且2an＋1＝3an，则a3的值为________，数列{an}________等比数列(填“是”或“不是”)．
答案 eq \f(9,4) 是
解析 因为a1＝1，且2an＋1＝3an，
所以2a2＝3a1，所以a2＝eq \f(3,2)，
以此类推a3＝eq \f(9,4).
由2an＋1＝3an，得eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3,2)，
故数列{an}是以1为首项，eq \f(3,2)为公比的等比数列．
反思感悟 等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．
(2)要判定一个数列是否为等比数列，只需看eq \f(an＋1,an)的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒．
跟踪训练1 判断下列数列是否为等比数列：
(1)1,3,32,33，…，3n－1，…；
(2)－1,1,2,4,8，…；
(3)a，－a，a，－a，….
解 (1)记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，….
∵eq \f(an,an－1)＝eq \f(3n－1,3n－2)＝3(n≥2，n∈N＋)，
∴数列为等比数列，且公比为3.
(2)记数列为{an}，则a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，
∵eq \f(a2,a1)＝－1≠eq \f(a3,a2)＝2，
∴此数列不是等比数列．
(3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；
当a≠0时，数列为a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1.
二、等比数列的通项公式
问题2 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
提示 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知eq \f(an,an－1)＝q(n∈N＋且n≥2)．
方法一 an＝eq \f(an,an－1)×eq \f(an－1,an－2)×…×eq \f(a3,a2)×eq \f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，
当n＝1时，上式也成立．
方法二 a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
…
由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．
知识梳理
等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝a1qn－1.
注意点：
(1)用函数的观点看等比数列的通项：等比数列{an}的图象是函数y＝eq \f(a1,q)·qx的图象上的一群孤立的点．
(2)等比数列通项公式的变形公式：an＝amqn－m(m，n∈N＋)．
例2 在等比数列{an}中．
(1)已知a2＝4，a5＝－eq \f(1,2)，求an；
(2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，an＝64，求n.
解 (1)方法一 设等比数列的公比为q，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q＝4，,a1q4＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－8，,q＝－\f(1,2).))
∴an＝a1qn－1＝(－8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－4.
方法二 设等比数列的公比为q，则eq \f(a5,a2)＝q3，
即q3＝－eq \f(1,8)，q＝－eq \f(1,2).
∴an＝a5qn－5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－4.
(2)根据题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q4－a1＝15，,a1q3－a1q＝6，))
方程两边分别相除，得eq \f(a1q4－a1,a1q3－a1q)＝eq \f(5,2).
整理得2q2－5q＋2＝0，
解得q＝2或q＝eq \f(1,2).
当q＝2时，a1＝1；当q＝eq \f(1,2)时，a1＝－16(舍去)．
由a1qn－1＝64，即2n－1＝64，n＝7.
延伸探究 本例(1)若改为等比数列{an}中，已知a2＝18，a4＝8，求q与a5.
解 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q＝18，,a1q3＝8，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝27，,q＝\f(2,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－27，,q＝－\f(2,3)，))
所以q＝±eq \f(2,3)，a5＝a4q＝±eq \f(16,3).
反思感悟 (1)等比数列通项公式的求法
①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，
(1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12；
(2)若a3·a5＝18，a4·a8＝72，求q.
解 (1)因为a9＝a1·q8，
所以256·q8＝1，即q＝±eq \f(1,2).
当q＝eq \f(1,2)时，a12＝a1·q11＝256×eq \f(1,211)＝eq \f(1,8)；
当q＝－eq \f(1,2)时，a12＝a1·q11＝256×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))11＝－eq \f(1,8).
(2)a1·q2·a1·q4＝18，即aeq \\al(2,1)·q6＝18.
又a1q3·a1q7＝72，即aeq \\al(2,1)·q10＝72.
两式相除得q4＝eq \f(72,18)＝4，所以q＝±eq \r(2).
三、等比数列通项公式的应用
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
解 方法一 设这四个数依次为a－d，a，a＋d，eq \f(a＋d2,a)，
由条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－d＋\f(a＋d2,a)＝16，,a＋a＋d＝12.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,d＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝9，,d＝－6.))
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法二 设这四个数依次为eq \f(2a,q)－a，eq \f(a,q)，a，aq(q≠0)，
由条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2a,q)－a＋aq＝16，,\f(a,q)＋a＝12，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝8，,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,q＝\f(1,3).))
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝eq \f(1,3)时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
反思感悟 灵活设项求解等比数列的技巧
(1)三个数成等比数列设为eq \f(a,q)，a，aq.
(2)四个符号相同的数成等比数列设为eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3.
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
跟踪训练3 已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－eq \f(3,2)，则这三个数依次为________．
答案 －eq \f(2,5)，1，－eq \f(5,2)
解析 设这三个数分别为eq \f(a,q)，a，aq，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝1，,a＋aq＝－\f(3,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,q＝－\f(5,2)，))
所以这三个数依次为－eq \f(2,5)，1，－eq \f(5,2).
1.知识清单：
(1)等比数列的概念及判断．
(2)等比数列的通项公式．
(3)等比数列中项的设法．
2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．
3．常见误区：
(1)四个数成等比数列时设成eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，未考虑公比为负的情况．
(2)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．
1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为( )
A．±eq \f(1,2) B．±2 C.eq \f(1,2) D．－2
答案 D
解析 因为eq \f(a5,a2)＝q3＝－8，故q＝－2.
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4 B．8 C．6 D．32
答案 C
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，
2n－1＝32，所以n＝6.
3．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a1＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析 由a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，得a1(1＋q)＝1，a1q(1＋q)＝2，解得a1＝eq \f(1,3).
4．若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________．
答案 －1或3
解析 设公比为q，则3a1q3＝a1q5－2a1q4.
因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0，
解得q＝－1或q＝3.
课时对点练
1．有下列四个说法：
①等比数列中的某一项可以为0；
②等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)；
③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；
④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列．
其中正确说法的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 等比数列中公比不能取0，且各项均不可为0，所以只有③正确．
2．(多选)在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 AC
解析 根据题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＋a1q3＝4，,a1q＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,q＝－2.))
3．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等．
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)，eq \f(1,4)
eq \f(3,4)，eq \f(3,8)，eq \f(3,16)
…
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,8) C.eq \f(5,16) D.eq \f(5,4)
答案 C
解析 第一列构成首项为eq \f(1,4)，公差为eq \f(1,4)的等差数列，
所以a51＝eq \f(1,4)＋(5－1)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).
又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为eq \f(5,4)，公比为eq \f(1,2)的等比数列，所以a53＝eq \f(5,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(5,16).
4．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 C
解析 因为a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝aeq \\al(5,1)·q10＝－q10，又am＝a1qm－1＝－qm－1，所以－q10＝－qm－1，所以10＝m－1，所以m＝11.
5．(多选)设{an}为等比数列，下列数列一定为等比数列的是( )
A．{2an} B．{aeq \\al(2,n)} C．{} D．{lg2|an|}
答案 AB
解析 设an＝a1qn－1，对于A,2an＝2a1qn－1，所以数列{2an}是等比数列；对于B，aeq \\al(2,n)＝aeq \\al(2,1)q2n－2＝aeq \\al(2,1)(q2)n－1，所以数列{aeq \\al(2,n)}是等比数列；对于C,，不是一个常数，所以数列{}不是等比数列；对于D，eq \f(lg2|an|,lg2|an－1|)＝eq \f(lg2|a1qn－1|,lg2|a1qn－2|)不是一个常数，所以数列{lg2|an|}不是等比数列．
6．已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是( )
A．8 B.eq \f(1,2) C．8或2 D．8或eq \f(1,2)
答案 D
解析 不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1
7．等比数列{an}的前三项分别是5，－15,45，则a5＝________.
答案 405
解析 因为a1＝5，q＝eq \f(a2,a1)＝－3，所以a5＝a1q4＝405.
8．三个数成等比数列，公比q>1，三个数的积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，则这三个数分别为________．
答案 4,8,16
解析 设这三个数依次为eq \f(a,q)，a，aq，
∵eq \f(a,q)·a·aq＝512，∴a＝8，
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,q)－2))＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝eq \f(1,2).
∵q>1，∴这三个数分别为4,8,16.
9．在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解 (1)因为a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)a1＝eq \f(an,qn－1)＝eq \f(625,54－1)＝5，故a1＝5.
(3) 因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18， ①,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9， ②))
由eq \f(②,①)，得q＝eq \f(1,2)，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝1，即26－n＝20，故n＝6.
10．有三个数成等比数列，其积为27，其平方和为91，求这三个数．
解 设这三个数为eq \f(a,q)，a，aq(公比为q)，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝27， ①,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,q)))2＋a2＋aq2＝91， ②))
由①得a＝3.
将a＝3代入②得q2＋eq \f(1,q2)＝eq \f(82,9)，
所以9q4－82q2＋9＝0，令q2＝t(t>0)，
所以9t2－82t＋9＝0，得t1＝9，t2＝eq \f(1,9).
所以q＝±3或q＝±eq \f(1,3).
当q＝3时，此数列为1,3,9；
当q＝－3时，此数列为－1,3，－9；
当q＝eq \f(1,3)时，此数列为9,3,1；
当q＝－eq \f(1,3)时，此数列为－9,3，－1.
11．等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18,36,81}中，则q等于( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)
答案 C
解析 ∵{an}中的项必然有正有负，
∴q<0.又|q|>1，∴q<－1.
由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
∴q＝－eq \f(3,2).
12．已知在等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，eq \f(1,2)a3，2a2成等差数列，则eq \f(a9＋a10,a7＋a8)等于( )
A．1＋eq \r(2) B．1－eq \r(2)
C．3＋2eq \r(2) D．3－2eq \r(2)
答案 C
解析 由题意知2×eq \f(1,2)a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0.∴q＝1＋eq \r(2)或q＝1－eq \r(2)(舍去)．
eq \f(a9＋a10,a7＋a8)＝eq \f(a7＋a8q2,a7＋a8)＝q2＝(1＋eq \r(2))2＝3＋2eq \r(2).
13．在表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为________．
答案 1
解析 因为每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，所以根据第三列，得2×a＝12，可得a＝eq \f(1,2).在第一列中，公比q＝eq \f(1,2)，第3个数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,4)，第4个数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(1,8)，第三列中，公比q＝eq \f(1,2)，第4个数为2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(1,4)，所以第四行中的公差d＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－\f(1,8)))＝eq \f(1,16)，所以第四行中第4个数b＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,16)＝eq \f(5,16)，同理c＝eq \f(3,16)，所以a＋b＋c＝eq \f(1,2)＋eq \f(5,16)＋eq \f(3,16)＝1.
14．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为__________．
答案 64
解析 设该等比数列{an}的公比为q，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a3＝10，,a2＋a4＝5，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1q2＝10，,a1q＋a1q3＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，))
∴a1a2·…·an＝
当n＝3或4时，eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(7,2)))2－\f(49,4)))取得最小值－6，
此时取得最大值26，
∴a1a2·…·an的最大值为64.
15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则an＝________.
答案 2n－1
解析 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2.
∴{an＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.
∴an＝2n－1.
16．在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________，求数列{an}，{bn}的通项公式．
解 选条件①：
因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，
因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋5d＝6a1d，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝5，,2a1＋5d＝6a1d，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(25,6)，,d＝\f(5,12)))(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件②：
因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2，
因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1d＝2，,2a1＋5d＝3a1d2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,d＝－2))(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件③：
因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9，
因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋7d＝8a1d，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a1＋3d＝9，,2a1＋7d＝8a1d，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(21,8)，,d＝\f(3,8)))(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.1
2
0.5
1
a
b
c
相关学案
北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.1 等比数列的概念及其通项公式第2课时导学案： 这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.1 等比数列的概念及其通项公式第2课时导学案，共6页。
高中数学3.1 等比数列的概念及其通项公式第1课时导学案： 这是一份高中数学3.1 等比数列的概念及其通项公式第1课时导学案，共8页。
数学选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式第1课时导学案： 这是一份数学选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式第1课时导学案，共10页。学案主要包含了等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的实际应用等内容，欢迎下载使用。
