资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩52页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列3 等比数列3.1 等比数列的概念及其通项公式评优课课件ppt
展开
这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列3 等比数列3.1 等比数列的概念及其通项公式评优课课件ppt，文件包含§331第1课时等比数列的概念及通项公式课件pptx、§331第2课时等比数列的性质课件pptx、§331第1课时等比数列的概念及通项公式教案docx、§331第2课时等比数列的性质教案docx等4份课件配套教学资源，其中PPT共118页， 欢迎下载使用。
1.掌握等比中项的概念并会应用.2.熟悉等比数列的有关性质.3.掌握等比数列的实际应用问题.
《孙子算经》是我国古代数学专著，其中一个问题为“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色”.问：巢有几何？这个问题能构造一个等比数列模型解决吗？
三、等比数列的实际应用
问题1 我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A＝ ，如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？
等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义， G2＝ab，G＝ ，我们称G为a，b的等比中项.
注意点：(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列.(2)只有同号的两个实数才有等比中项.(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数.
例1 已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9.
反思感悟 等比中项应用的关注点(1)只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个.(2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即 ＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程.(3)要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零.
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
跟踪训练1 已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
问题2 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝ ·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n).
等比数列的函数性质对于等比数列{an}，an＝a1qn－1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下；
注意点：等比数列{an}中，(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列.
例2 (1)已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,01”是“数列{an}是递增数列”的既不充分又不必要条件.
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10等于A.12 B.10 C.8 D.2＋lg35
解析 由等比数列的性质，可得a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，所以a5a6＝9.a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝…＝9，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10＝lg3(a1a10)5＝5lg39＝10.
延伸探究 在本例(1)中，若{an}为等比数列，则“a1
跟踪训练2 在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7＝____.
解析 因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29.
例3 某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；
解 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，a3＝10(1－10%)2，….由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1，所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1(万元).
(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元).所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元.
反思感悟 等比数列应用题的关注点(1)常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等.(2)关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题.(3)步骤
跟踪训练3 某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？
解 根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x－d，x，x＋d(d＞0)，则实际上3个月生产电脑台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25，
故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)，即该厂第一季度实际生产电脑305台.
1.知识清单：(1)等比中项.(2)等比数列的函数性质与常用性质.(3)等比数列的实际应用.2.方法归纳：方程和函数思想.3.常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错.
A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列
A.1 B.－1 C.±1 D.2
3.已知等比数列{an}，若a5＝2，a9＝32，则a4·a10等于A.±16 B.16 C.±64 D.64
解析 因为{an}为等比数列，且a5＝2，a9＝32，由等比数列的性质得，a4·a10＝a5·a9＝2×32＝64.
4.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米.
解析 依题意知，这10个正方形的边长构成以2为首项，
2.设{an}是等比数列，则“a10，
此时数列{an}不一定是递增数列；
所以“a1
解析 设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂，则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，∴{an}是首项为1，公比为6的等比数列.∴a7＝a1·q7－1＝66.
5.已知a，b，c成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(a，c)，则b2等于A.3 B.2 C.1 D.4
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴a＝1，c＝2.又∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac＝2.
6.(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1， <0.则下列结论正确的是A.01C.a8>1 D.Tn的最大项为T7
∴a7>1,0
解析 由题意可得，每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45(分钟).
8.在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7＝____.
解析 ∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根.
又a7是a5与a9的等比中项，
9.已知数列{an}为等比数列.(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
解 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
即(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.
解 设等比数列{an}的公比为q，∵a2－a5＝42，∴q≠1.
若G是a5，a7的等比中项，
∴a5，a7的等比中项为±3.
10.(1)设{an}为公比q>1的等比数列，若a2 020和a2 021是方程4x2－8x＋3＝0的两根，求a2 030＋a2 031的值；
所以a2 030＋a2 031＝(a2 020＋a2 021)q10＝2·310.
(2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，求通项公式an.
解 在等比数列{an}中，由a4a7＝－512，得a3a8＝－512，又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，
故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.
11.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于
12.在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足A.q>1 B.q<1 C.0
解析 先证必要性：∵a1<0，且{an}是递增数列，
则此时公比q满足0＜q＜1；再证充分性：∵a1<0,0
解析 lg2a1＋lg2a3＋…＋lg2a2n－1＝lg2(a1·a3·…·a2n－1)
14.已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4， ，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为________.
所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1 024.
15.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________.
解析 设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8， ①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0， ②当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16.某城市2017年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米.该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米，到2025年年底时，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x，其中0＜x＜1)
故该城市的人口年平均增长率约是0.003.
解 设这个城市的人口年平均增长率为x(0＜x＜1)，则该城市2017年年底到2025年年底人口数量组成等比数列，记为{an}，则a1＝100，公比q＝1＋x，则2025年年底人口数量为a9＝a1q8＝100(1＋x)8.2025年年底住房总面积为100×5＋8×245＝2 460(万平方米).
因为(1＋x)8≈1＋8x(0＜x＜1)，
1.掌握等比中项的概念并会应用.2.熟悉等比数列的有关性质.3.掌握等比数列的实际应用问题.
《孙子算经》是我国古代数学专著，其中一个问题为“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色”.问：巢有几何？这个问题能构造一个等比数列模型解决吗？
三、等比数列的实际应用
问题1 我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A＝ ，如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？
等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义， G2＝ab，G＝ ，我们称G为a，b的等比中项.
注意点：(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列.(2)只有同号的两个实数才有等比中项.(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数.
例1 已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9.
反思感悟 等比中项应用的关注点(1)只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个.(2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即 ＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程.(3)要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零.
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
跟踪训练1 已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
问题2 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝ ·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n).
等比数列的函数性质对于等比数列{an}，an＝a1qn－1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下；
注意点：等比数列{an}中，(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列.
例2 (1)已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,0
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10等于A.12 B.10 C.8 D.2＋lg35
解析 由等比数列的性质，可得a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，所以a5a6＝9.a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝…＝9，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10＝lg3(a1a10)5＝5lg39＝10.
延伸探究 在本例(1)中，若{an}为等比数列，则“a1
跟踪训练2 在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7＝____.
解析 因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29.
例3 某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；
解 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，a3＝10(1－10%)2，….由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1，所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1(万元).
(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元).所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元.
反思感悟 等比数列应用题的关注点(1)常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等.(2)关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题.(3)步骤
跟踪训练3 某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？
解 根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x－d，x，x＋d(d＞0)，则实际上3个月生产电脑台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25，
故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)，即该厂第一季度实际生产电脑305台.
1.知识清单：(1)等比中项.(2)等比数列的函数性质与常用性质.(3)等比数列的实际应用.2.方法归纳：方程和函数思想.3.常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错.
A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列
A.1 B.－1 C.±1 D.2
3.已知等比数列{an}，若a5＝2，a9＝32，则a4·a10等于A.±16 B.16 C.±64 D.64
解析 因为{an}为等比数列，且a5＝2，a9＝32，由等比数列的性质得，a4·a10＝a5·a9＝2×32＝64.
4.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米.
解析 依题意知，这10个正方形的边长构成以2为首项，
2.设{an}是等比数列，则“a1
此时数列{an}不一定是递增数列；
所以“a1
解析 设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂，则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，∴{an}是首项为1，公比为6的等比数列.∴a7＝a1·q7－1＝66.
5.已知a，b，c成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(a，c)，则b2等于A.3 B.2 C.1 D.4
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴a＝1，c＝2.又∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac＝2.
6.(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1， <0.则下列结论正确的是A.0
∴a7>1,0
解析 由题意可得，每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45(分钟).
8.在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7＝____.
解析 ∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根.
又a7是a5与a9的等比中项，
9.已知数列{an}为等比数列.(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
解 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
即(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.
解 设等比数列{an}的公比为q，∵a2－a5＝42，∴q≠1.
若G是a5，a7的等比中项，
∴a5，a7的等比中项为±3.
10.(1)设{an}为公比q>1的等比数列，若a2 020和a2 021是方程4x2－8x＋3＝0的两根，求a2 030＋a2 031的值；
所以a2 030＋a2 031＝(a2 020＋a2 021)q10＝2·310.
(2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，求通项公式an.
解 在等比数列{an}中，由a4a7＝－512，得a3a8＝－512，又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，
故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.
11.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于
12.在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足A.q>1 B.q<1 C.0
解析 先证必要性：∵a1<0，且{an}是递增数列，
则此时公比q满足0＜q＜1；再证充分性：∵a1<0,0
解析 lg2a1＋lg2a3＋…＋lg2a2n－1＝lg2(a1·a3·…·a2n－1)
14.已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4， ，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为________.
所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1 024.
15.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________.
解析 设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8， ①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0， ②当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16.某城市2017年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米.该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米，到2025年年底时，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x，其中0＜x＜1)
故该城市的人口年平均增长率约是0.003.
解 设这个城市的人口年平均增长率为x(0＜x＜1)，则该城市2017年年底到2025年年底人口数量组成等比数列，记为{an}，则a1＝100，公比q＝1＋x，则2025年年底人口数量为a9＝a1q8＝100(1＋x)8.2025年年底住房总面积为100×5＋8×245＝2 460(万平方米).
因为(1＋x)8≈1＋8x(0＜x＜1)，
相关课件
高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式获奖ppt课件： 这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式获奖ppt课件，文件包含§221第2课时等差数列的性质课件pptx、§221第3课时等差数列的综合问题课件pptx、§221第1课时等差数列的概念与通项公式课件pptx、§221第2课时等差数列的性质教案docx、§221第3课时等差数列的综合问题教案docx、§221第1课时等差数列的概念与通项公式教案docx等6份课件配套教学资源，其中PPT共178页， 欢迎下载使用。
人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列课堂教学ppt课件： 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列课堂教学ppt课件，共36页。
人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列评优课ppt课件： 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列评优课ppt课件，共42页。PPT课件主要包含了同一个常数，等比数列，a1qn－1等内容，欢迎下载使用。
