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    北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列3 等比数列3.1 等比数列的概念及其通项公式评优课课件ppt

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    这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列3 等比数列3.1 等比数列的概念及其通项公式评优课课件ppt,文件包含§331第1课时等比数列的概念及通项公式课件pptx、§331第2课时等比数列的性质课件pptx、§331第1课时等比数列的概念及通项公式教案docx、§331第2课时等比数列的性质教案docx等4份课件配套教学资源,其中PPT共118页, 欢迎下载使用。

    1.掌握等比中项的概念并会应用.2.熟悉等比数列的有关性质.3.掌握等比数列的实际应用问题.
    《孙子算经》是我国古代数学专著,其中一个问题为“今有出门,望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色”.问:巢有几何?这个问题能构造一个等比数列模型解决吗?
    三、等比数列的实际应用
    问题1 我们知道,如果三个数a,A,b成等差数列,则A叫作a与b的等差中项,且A= ,如果三个数a,G,b成等比数列,那么三个数有何数量关系?
    等比中项:如果在a与b之间插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义, G2=ab,G= ,我们称G为a,b的等比中项.
    注意点:(1)若G2=ab,则a,G,b不一定成等比数列.(2)只有同号的两个实数才有等比中项.(3)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.
    例1 已知a,b,c∈R,如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
    解析 ∵b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号,∴b=-3,且a,c必同号,∴ac=b2=9.
    反思感悟 等比中项应用的关注点(1)只有同号的两个实数才有等比中项,且一定有2个.(2)已知等比数列中的相邻三项an-1,an,an+1,则an是an-1与an+1的等比中项,即 =an-1·an+1,运用等比中项解决问题,会大大减少运算过程.(3)要证三个数a,G,b成等比数列,只需证明G2=ab,其中a,b,G均不为零.
    解析 由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,所以a1=4,a2=6,
    跟踪训练1 已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=________.
    问题2 观察等比数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?
    当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)= ·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).
    等比数列的函数性质对于等比数列{an},an=a1qn-1,当q<0时,数列{an}是摆动数列,当q>0时,情况如下;
    注意点:等比数列{an}中,(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak·al=am·an.(2)若m,p,n成等差数列,则am,ap,an成等比数列.
    例2 (1)已知数列{an}是等比数列,且公比大于0,则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
    解析 当a1<0,q>1时,数列{an}为递减数列,即充分性不成立;当“数列{an}是递增数列”时,可能是a1<0,01”是“数列{an}是递增数列”的既不充分又不必要条件.
    (2)等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则lg3a1+lg3a2+…+lg3a10等于A.12 B.10 C.8 D.2+lg35
    解析 由等比数列的性质,可得a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9.a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=…=9,则lg3a1+lg3a2+…+lg3a10=lg3(a1a10)5=5lg39=10.
    延伸探究 在本例(1)中,若{an}为等比数列,则“a1解析 若等比数列{an}是递增数列,可得a1反思感悟 利用等比数列的性质解题的关注点(1)判断等比数列的增减性时要结合等比数列的函数性质.(2)充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.
    跟踪训练2 在等比数列{an}中,a3=16,a1a2a3…a10=265,则a7=____.
    解析 因为a1a2a3…a10=(a3a8)5=265,所以a3a8=213,又因为a3=16=24,所以a8=29.
    例3 某人买了一辆价值10万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示第n(n∈N+)年这辆车的价值;
    解 从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an,由题意,得a1=10,a2=10×(1-10%),a3=10(1-10%)2,….由等比数列的定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=10,公比q=1-10%=0.9,所以an=a1·qn-1=10×0.9n-1,所以第n年车的价值为an=10×0.9n-1(万元).
    (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱?
    解 当他用满3年时,车的价值为a4=10×0.94-1=7.29(万元).所以用满3年卖掉时,他大概能得7.29万元.
    反思感悟 等比数列应用题的关注点(1)常见类型:增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等.(2)关键:建立数学模型,即将实际问题转化成等比数列的问题.(3)步骤
    跟踪训练3 某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产电脑多少台?
    解 根据已知,可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x-d,x,x+d(d>0),则实际上3个月生产电脑台数分别为x-d,x+10,x+d+25,
    故共有(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台),即该厂第一季度实际生产电脑305台.
    1.知识清单:(1)等比中项.(2)等比数列的函数性质与常用性质.(3)等比数列的实际应用.2.方法归纳:方程和函数思想.3.常见误区:不注重运用性质,使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错.
    A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列
    A.1 B.-1 C.±1 D.2
    3.已知等比数列{an},若a5=2,a9=32,则a4·a10等于A.±16 B.16 C.±64 D.64
    解析 因为{an}为等比数列,且a5=2,a9=32,由等比数列的性质得,a4·a10=a5·a9=2×32=64.
    4.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于________平方厘米.
    解析 依题意知,这10个正方形的边长构成以2为首项,
    2.设{an}是等比数列,则“a1解析 设等比数列{an}的公比为q,则a10,
    此时数列{an}不一定是递增数列;
    所以“a14.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天它飞出去找回了5个小伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴,…,如果这个找伙伴的过程持续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂A.65只 B.66只 C.216只 D.36只
    解析 设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂,则a1=1,a2=5a1+a1=6a1,a3=5a2+a2=6a2,…,∴{an}是首项为1,公比为6的等比数列.∴a7=a1·q7-1=66.
    5.已知a,b,c成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(a,c),则b2等于A.3 B.2 C.1 D.4
    解析 ∵y=(x-1)2+2,∴a=1,c=2.又∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac=2.
    6.(多选)设等比数列{an}的公比为q,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7a8>1, <0.则下列结论正确的是A.01C.a8>1 D.Tn的最大项为T7
    ∴a7>1,07.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后______分钟,该病毒占据内存64 MB(1 MB=210 KB).
    解析 由题意可得,每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64 MB时自身复制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,从而复制的时间为15×3=45(分钟).
    8.在等比数列{an}中,a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,则a7=____.
    解析 ∵a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根.
    又a7是a5与a9的等比中项,
    9.已知数列{an}为等比数列.(1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值;
    解 ∵a2a4+2a3a5+a4a6=36,
    即(a3+a5)2=36,又∵an>0,∴a3+a5=6.
    (2)若数列{an}的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.
    解 设等比数列{an}的公比为q,∵a2-a5=42,∴q≠1.
    若G是a5,a7的等比中项,
    ∴a5,a7的等比中项为±3.
    10.(1)设{an}为公比q>1的等比数列,若a2 020和a2 021是方程4x2-8x+3=0的两根,求a2 030+a2 031的值;
    所以a2 030+a2 031=(a2 020+a2 021)q10=2·310.
    (2)在等比数列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比q为整数,求通项公式an.
    解 在等比数列{an}中,由a4a7=-512,得a3a8=-512,又a3+a8=124,解得a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4,
    故an=-4×(-2)n-3=-(-2)n-1.
    11.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于
    12.在等比数列{an}中,首项a1<0,则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足A.q>1 B.q<1 C.0则{an}是递增数列,综上,{an}是递增数列的充要条件是公比q满足0<q<1.
    解析 先证必要性:∵a1<0,且{an}是递增数列,
    则此时公比q满足0<q<1;再证充分性:∵a1<0,013.已知等比数列{an}满足an>0,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥3时,lg2a1+lg2a3+…+lg2a2n-1等于A.2n B.2n2 C.2n2-n D.n2
    解析 lg2a1+lg2a3+…+lg2a2n-1=lg2(a1·a3·…·a2n-1)
    14.已知等比数列{an}满足a2a5=2a3,且a4, ,2a7成等差数列,则a1a2a3·…·an的最大值为________.
    所以当n=4或n=5时,a1a2a3·…·an取最大值,且最大值为210=1 024.
    15.已知在等差数列{an}中,a2+a4=16,a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,把各项按如图所示排列.则从上到下第10行,从左到右的第11个数值为________.
    解析 设公差为d,由a2+a4=16,得a1+2d=8, ①由a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,得(a2+1)2=(a1+1)(a4+1),解得d=3或d=0, ②当d=3时,a1=2,an=3n-1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项,a92=3×92-1=275.当d=0时,an=8,a92=8.
    16.某城市2017年年底人口为100万人,人均住房面积为5平方米.该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米,到2025年年底时,人均住房面积为24平方米,则该城市的人口年平均增长率约是多少?(精确到0.001,参考公式(1+x)8≈1+8x,其中0<x<1)
    故该城市的人口年平均增长率约是0.003.
    解 设这个城市的人口年平均增长率为x(0<x<1),则该城市2017年年底到2025年年底人口数量组成等比数列,记为{an},则a1=100,公比q=1+x,则2025年年底人口数量为a9=a1q8=100(1+x)8.2025年年底住房总面积为100×5+8×245=2 460(万平方米).
    因为(1+x)8≈1+8x(0<x<1),
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