北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.1 等比数列的概念及其通项公式第2课时导学案

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.1 等比数列的概念及其通项公式第2课时导学案，共10页。学案主要包含了等比中项，等比数列的性质，等比数列的实际应用等内容，欢迎下载使用。

导语
《孙子算经》是我国古代数学专著，其中一个问题为“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色”．问：巢有几何？这个问题能构造一个等比数列模型解决吗？
一、等比中项
问题1 我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A＝eq \f(a＋b,2)，如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？
提示 因为a，G，b成等比数列，所以eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)＝q，即G＝±eq \r(ab).
知识梳理
等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)，G2＝ab，G＝±eq \r(ab)，我们称G为a，b的等比中项．
注意点：
(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列．
(2)只有同号的两个实数才有等比中项．
(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数．
例1 已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
答案 B
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号，
∴ac＝b2＝9.
反思感悟 等比中项应用的关注点
(1)只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个．
(2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即aeq \\al(2,n)＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．
(3)要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零．
跟踪训练1 已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
答案 4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2)，
所以an＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1.
二、等比数列的性质
问题2 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示 由an＝a1qn－1＝eq \f(a1,q)·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝eq \f(a1,q)·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
知识梳理
等比数列的函数性质
对于等比数列{an}，an＝a1qn－1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下；
注意点：
等比数列{an}中，
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
例2 (1)已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 D
解析 当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；
当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,01”是“数列{an}是递增数列”的既不充分又不必要条件．
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10等于( )
A．12 B．10 C．8 D．2＋lg35
答案 B
解析 由等比数列的性质，可得a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，所以a5a6＝9.
a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝…＝9，
则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10＝lg3(a1a10)5＝5lg39＝10.
延伸探究 在本例(1)中，若{an}为等比数列，则“a1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 若等比数列{an}是递增数列，可得a1反之：例如数列{(－1)n＋12n}，此时满足a1所以“a1反思感悟 利用等比数列的性质解题的关注点
(1)判断等比数列的增减性时要结合等比数列的函数性质．
(2)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7＝________.
答案 256
解析 因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
所以a3a8＝213，
又因为a3＝16＝24，所以a8＝29.
因为a8＝a3·q5，所以q＝2.所以a7＝eq \f(a8,q)＝256.
三、等比数列的实际应用
例3 某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；
(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，
a3＝10(1－10%)2，….
由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，
所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1，
所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1(万元)．
(2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元)．
所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元．
反思感悟 等比数列应用题的关注点
(1)常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等．
(2)关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题．
(3)步骤
eq \x(构造数列)→eq \x(判断数列)→eq \x(寻找条件)→eq \x(建立方程)→eq \x(求解方程)→eq \x(正确解答).
跟踪训练3 某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？
解 根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x－d，x，x＋d(d＞0)，
则实际上3个月生产电脑台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋102＝x－dx＋d＋25，,x＋d＋25＝\f(3x,2)－10，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝90，,d＝10，))
故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)，
即该厂第一季度实际生产电脑305台．
1.知识清单：
(1)等比中项．
(2)等比数列的函数性质与常用性质．
(3)等比数列的实际应用．
2．方法归纳：方程和函数思想．
3．常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错．
1．等比数列{an}的公比q＝－eq \f(1,4)，a1＝eq \r(2)，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
答案 D
解析 由于公比q＝－eq \f(1,4)＜0，所以数列{an}是摆动数列．
2．2＋eq \r(3)和2－eq \r(3)的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
答案 C
解析 设2＋eq \r(3)和2－eq \r(3)的等比中项为G，则G2＝(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))＝1，∴G＝±1.
3．已知等比数列{an}，若a5＝2，a9＝32，则a4·a10等于( )
A．±16 B．16 C．±64 D．64
答案 D
解析 因为{an}为等比数列，且a5＝2，a9＝32，由等比数列的性质得，a4·a10＝a5·a9＝2×32＝64.
4．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
答案 2 048
解析 依题意知，这10个正方形的边长构成以2为首项，eq \r(2)为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，则第10个正方形的面积S＝aeq \\al(2,10)＝[2×(eq \r(2))9]2＝4×29＝2 048(平方厘米)．
课时对点练
1．已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,8)
答案 C
解析 由题意可得a3a5＝aeq \\al(2,4)＝4(a4－1)⇒a4＝2，所以q3＝eq \f(a4,a1)＝8⇒q＝2，故a2＝a1q＝eq \f(1,2).
2．设{an}是等比数列，则“a1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q，则a10，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1<0，,q<1q≠0.))
此时数列{an}不一定是递增数列；
若数列{an}为递增数列，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1<0，,0所以“a13．(多选)已知1既是a2与b2的等比中项，又是eq \f(1,a)与eq \f(1,b)的等差中项，则eq \f(a＋b,a2＋b2)的值可能是( )
A．1 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案 AD
解析 由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝1，,a＋b＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝－1，,a＋b＝－2.))
因此eq \f(a＋b,a2＋b2)＝eq \f(a＋b,a＋b2－2ab)＝1或－eq \f(1,3).
4．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程持续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )
A．65只 B．66只 C．216只 D．36只
答案 B
解析 设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂，则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，
∴{an}是首项为1，公比为6的等比数列．
∴a7＝a1·q7－1＝66.
5．已知a，b，c成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(a，c)，则b2等于( )
A．3 B．2 C．1 D．4
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴a＝1，c＝2.
又∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac＝2.
6．(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，eq \f(a7－1,a8－1)<0.则下列结论正确的是( )
A．01
C．a8>1 D．Tn的最大项为T7
答案 ABD
解析 ∵a1>1，a7·a8>1，eq \f(a7－1,a8－1)<0，
∴a7>1,0∴A正确；B正确；C错误；D，T7是数列{Tn}中的最大项，故正确．
7．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．
答案 45
解析 由题意可得，每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45(分钟)．
8．在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7＝________.
答案 1
解析 ∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a5＋a9＝\f(18,7)，,a5·a9＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a5＞0，,a9＞0，))∴a7＞0.
又a7是a5与a9的等比中项，
∴aeq \\al(2,7)＝a5·a9＝1，∴a7＝1.
9．已知数列{an}为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
解 (1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
∴aeq \\al(2,3)＋2a3a5＋aeq \\al(2,5)＝36，
即(a3＋a5)2＝36，
又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
(2)设等比数列{an}的公比为q，
∵a2－a5＝42，∴q≠1.
由已知，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1q＋a1q2＝168，,a1q－a1q4＝42，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a11＋q＋q2＝168，,a1q1－q3＝42，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝96，,q＝\f(1,2).))
若G是a5，a7的等比中项，
则有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aeq \\al(2,1)q10＝962×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))10＝9，
∴a5，a7的等比中项为±3.
10．(1)设{an}为公比q>1的等比数列，若a2 020和a2 021是方程4x2－8x＋3＝0的两根，求a2 030＋a2 031的值；
(2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，求通项公式an.
解 (1)解方程4x2－8x＋3＝0，得x1＝eq \f(1,2)，x2＝eq \f(3,2)，
由q>1，得a2 020＝eq \f(1,2)，a2 021＝eq \f(3,2)，q＝3，
所以a2 030＋a2 031＝(a2 020＋a2 021)q10＝2·310.
(2)在等比数列{an}中，由a4a7＝－512，得a3a8＝－512，
又a3＋a8＝124，
解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，
因为公比q为整数，所以q＝eq \r(5,\f(a8,a3))＝－eq \r(5,\f(128,4))＝－2，
故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.
11．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．5eq \r(2) B．7 C．6 D．4eq \r(2)
答案 A
解析 ∵a1a2a3＝aeq \\al(3,2)＝5，∴a2＝eq \r(3,5).
∵a7a8a9＝aeq \\al(3,8)＝10，∴a8＝eq \r(3,10).
∴aeq \\al(2,5)＝a2a8＝eq \r(3,50)＝，
又∵数列{an}各项均为正数，∴a5＝.
∴a4a5a6＝aeq \\al(3,5)＝＝5eq \r(2).
12．在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足( )
A．q>1 B．q<1 C．0答案 C
解析 先证必要性：
∵a1<0，且{an}是递增数列，
∴an<0，即q＞0，且eq \f(an＋1,an)＝eq \f(a1qn,a1qn－1)＝q<1，
则此时公比q满足0＜q＜1；
再证充分性：
∵a1<0,0∴an<0，
∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(a1qn,a1qn－1)＝q<1，即an＋1>an，
则{an}是递增数列，
综上，{an}是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1.
13．已知等比数列{an}满足an>0，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥3时，lg2a1＋lg2a3＋…＋lg2a2n－1等于( )
A．2n B．2n2 C．2n2－n D．n2
答案 D
解析 lg2a1＋lg2a3＋…＋lg2a2n－1＝lg2(a1·a3·…·a2n－1)＝
14．已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，eq \f(5,4)，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为________．
答案 1 024
解析 因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，eq \f(5,4)，2a7成等差数列，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q·a1q4＝2a1q2，,a1q3＋2a1q6＝2×\f(5,4)，))
解得a1＝16，q＝eq \f(1,2)，
所以an＝16×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝25－n，
所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝，
所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1 024.
15．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．
答案 275或8
解析 设公差为d，
由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，②
当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.
当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16．某城市2017年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米．该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米，到2025年年底时，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x，其中0＜x＜1)
解 设这个城市的人口年平均增长率为x(0＜x＜1)，则该城市2017年年底到2025年年底人口数量组成等比数列，记为{an}，
则a1＝100，公比q＝1＋x，
则2025年年底人口数量为a9＝a1q8＝100(1＋x)8.
2025年年底住房总面积为100×5＋8×245＝2 460(万平方米)．
由题意得eq \f(2 460,1001＋x8)＝24，即(1＋x)8＝eq \f(41,40)，
因为(1＋x)8≈1＋8x(0＜x＜1)，
所以1＋8x≈eq \f(41,40)，所以x≈0.003.
故该城市的人口年平均增长率约是0.003.a1
a1>0
a1<0
q的范围
0q＝1
q>1
0q＝1
q>1
{an}的单调性
递减
常数列
递增
递增
常数列
递减