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2021学年第一章 数列3 等比数列3.2 等比数列的前n项和第1课时学案
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这是一份2021学年第一章 数列3 等比数列3.2 等比数列的前n项和第1课时学案，共12页。学案主要包含了等比数列前n项和公式的基本运算，等比数列前n项和公式的实际应用等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
导语
2020年5月5日18时，为我国载人空间站工程研制的长征5B运载火箭，在文昌航天发射场点火升空，载荷组合体被送入预定轨道，首飞任务取得圆满成功，实现空间站阶段飞行任务首战告捷，也拉开我国载人航天工程“第三步”任务序幕．小明在手机上写下这条消息后将此消息传给了两个朋友，这两个朋友又在1分钟后将此消息分别传给了未知此消息的两个朋友，如此进行下去，4分钟后，这条消息可传遍多少人？
一、等比数列前n项和公式的基本运算
问题 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
提示 因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，
所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，
上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．
知识梳理
等比数列的前n项和公式
注意点：
(1)用等比数列前n和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论．
(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(例如1＋2＋22＋…＋2n＝\f(1×1－2n＋1,1－2))).
(3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(例如1＋2＋22＋…＋2n＝\f(1－2n×2,1－2))).
例1 求下列等比数列前8项的和：
(1)eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，…；
(2)a1＝27，a9＝eq \f(1,243)，q<0.
解 (1)因为a1＝eq \f(1,2)，q＝eq \f(1,2)，
所以S8＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8)),1－\f(1,2))＝eq \f(255,256).
(2)由a1＝27，a9＝eq \f(1,243)，可得eq \f(1,243)＝27·q8.
又由q<0，可得q＝－eq \f(1,3)，
所以S8＝eq \f(a1－a8q,1－q)＝eq \f(a1－a9,1－q)＝eq \f(27－\f(1,243),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝eq \f(1 640,81).
反思感悟 求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立．
跟踪训练1 (1)在等比数列{an}中，首项a1＝8，公比q＝eq \f(1,2)，那么它的前5项和S5的值为( )
A.eq \f(31,2) B.eq \f(33,2) C.eq \f(35,2) D.eq \f(37,2)
答案 A
解析 S5＝eq \f(a11－q5,1－q)＝eq \f(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq \f(31,2).
(2)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________.
答案 2 2n＋1－2
解析 设等比数列的公比为q，
∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，
∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，
解得q＝2，且a1＝2.
∴Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝2n＋1－2.
二、等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用
例2 在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
解 (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝eq \f(1－－2n,3).
由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
反思感悟 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．
跟踪训练2 等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝eq \f(7,4)，S6＝eq \f(63,4)，则a8＝________.
答案 32
解析 设{an}的首项为a1，公比为q，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,4)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))
所以a8＝eq \f(1,4)×27＝25＝32.
三、等比数列前n项和公式的实际应用
例3 某种抗病毒药品具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1 000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药会不会对人体产生副作用？
解 由题意得，第一次服药后，经过12小时后，体内药物含量为700×(1－70%)＝700×30%，经过24小时后，体内药物含量为700×(30%)2，以此类推，一次服药后体内药物含量构成以a1＝700，q＝30%为公比的等比数列，即an＝700×(30%)n－1，
所以第n次服药后，体内药物的含量为
700＋700×0.3＋700×0.32＋…＋700×0.3n－1
＝eq \f(700×[1－0.3n],1－0.3)＝1 000×[1－(0.3)n]，
当n→＋∞时，药在体内的含量无限接近1 000，该药在人体内含量不超过1 000毫克，不会产生副作用．
反思感悟 解答等比数列前n项和公式的实际应用问题的注意事项
(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型．
(2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释．
(3)实际问题解答完成后一定要有结论．
跟踪训练3 国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩，2015年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．试问从2015年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128≈2.476，1.127≈2.211)(精确到年)
解 设从2015年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1，a2，a3，…，an万亩．
则a1＝515(1＋12%)，a2＝515(1＋12%)2，…，
an＝515(1＋12%)n，….
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝eq \f(5151＋0.121－1.12n,1－1.12)＝6 370－515，
所以515×1.12×(1.12n－1)＝5 855×0.12，
即1.12n≈2.218.
又因为n∈N＋，当n＝7时，1.127≈2.211，此时完不成退耕还林计划，所以n＝8.
故到2023年底西部地区才能完成退耕还林计划．
1.知识清单：
(1)等比数列前n项和公式．
(2)等比数列的前n项和公式的应用．
2．方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论．
3．常见误区：
(1)忽略q＝1的情况而致错．
(2)忽略对参数的讨论．
1．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则S6等于( )
A．－63 B．31 C．－31 D．63
答案 D
解析 S6＝eq \f(1×1－26,1－2)＝26－1＝64－1＝63.
2．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论．他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米；……，所以阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为( )
A.eq \f(104－1,90) B.eq \f(105－1,900) C.eq \f(105－9,90) D.eq \f(104－9,900)
答案 B
解析 由题意知，乌龟每次爬行的距离(单位：米)构成等比数列{an}，且首项a1＝100，公比q＝eq \f(1,10)，易知a5＝10－2，则乌龟爬行的总距离(单位：米)为S5＝eq \f(a1－a5q,1－q)＝eq \f(100－10－2×\f(1,10),1－\f(1,10))＝eq \f(105－1,900).
3．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________.
答案 3或－4
解析 因为q≠1，所以S3＝eq \f(a11－q3,1－q)＝eq \f(21－q3,1－q)＝26，所以q2＋q－12＝0，所以q＝3或q＝－4.
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
答案 6
解析 因为a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又因为Sn＝126，所以eq \f(21－2n,1－2)＝126，所以n＝6.
课时对点练
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( )
A．7 B．8 C．15 D．16
答案 C
解析 设{an}的公比为q，因为4a1,2a2，a3成等差数列，所以4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，所以q＝2.又a1＝1，所以S4＝eq \f(1－24,1－2)＝15.
2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 显然q≠1，由Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)，得93＝eq \f(3－48q,1－q)，
解得q＝2.由an＝a1qn－1，
得48＝3×2n－1，解得n＝5.
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
答案 B
解析 设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝eq \f(a11－q7,1－q)＝eq \f(a11－27,1－2)＝381，
解得a1＝3.
4．在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 a1＝2，am＋n＝aman，
令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，
∴an＝2×2n－1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴eq \f(2k＋11－210,1－2)＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
5．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前5项和为( )
A.eq \f(15,8)或5 B.eq \f(31,16)或5 C.eq \f(31,16) D.eq \f(15,8)
答案 C
解析 由9S3＝S6，得q≠1，且eq \f(91－q3,1－q)＝eq \f(1－q6,1－q)，
即1＋q3＝9，解得q＝2，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为1，公比为eq \f(1,2)的等比数列，
则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前5项和为eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5,1－\f(1,2))＝eq \f(31,16).
6．(多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝1，eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a3)＋eq \f(1,a5)＝eq \f(21,4)，则( )
A．{an}必是递减数列 B．S5＝eq \f(31,4)
C．公比q＝4或eq \f(1,4) D．a1＝4或eq \f(1,4)
答案 BD
解析 设等比数列{an}的公比为q，则q>0，
因为a1a5＝aeq \\al(2,3)＝1，a3＝a1q2＝1 ，
所以eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a3)＋eq \f(1,a5)＝1＋eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a5)＝1＋eq \f(a5＋a1,a1a5)＝1＋a1＋a5＝a1＋1＋eq \f(1,a1)＝eq \f(21,4)，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝4，,q＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,4)，,q＝2.))
当a1＝4，q＝eq \f(1,2)时，S5＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝eq \f(31,4)，数列{an}是递减数列；
当a1＝eq \f(1,4)，q＝2时，S5＝eq \f(31,4)，数列{an}是递增数列；
综上，S5＝eq \f(31,4).
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.
答案 －2
解析 S3＋3S2＝a1＋a2＋a3＋3a1＋3a2＝4a1＋4a2＋a3＝a1(4＋4q＋q2)＝a1(2＋q)2＝0，故q＝－2.
8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝eq \f(5,2)，a2＋a4＝eq \f(5,4)，则eq \f(Sn,an)＝________.
答案 2n－1
解析 设等比数列{an}的公比为q.
则q＝eq \f(a2＋a4,a1＋a3)＝eq \f(\f(5,4),\f(5,2))＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(Sn,an)＝eq \f(1－qn,1－qqn－1)＝eq \f(1－\f(1,2n),\f(1,2n))＝2n－1.
9．已知等比数列{an}．
(1)若q＝2，S4＝1，求S8的值；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq \f(5,4)，求a4和S6的值．
解 (1)方法一 ∵q＝2，S4＝1，
∴eq \f(a11－24,1－2)＝1，即a1＝eq \f(1,15)，
∴S8＝eq \f(a11－q8,1－q)＝eq \f(\f(1,15)×1－28,1－2)＝17.
方法二 ∵S4＝eq \f(a11－q4,1－q)＝1，且q＝2，
∴S8＝eq \f(a11－q8,1－q)＝eq \f(a11－q4,1－q)·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.
(2)设等比数列{an}的公比为q，由题意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a11＋q2＝10， ①,a1q31＋q2＝\f(5,4)， ②))
∵a1≠0,1＋q2≠0，
∴②÷①得，q3＝eq \f(1,8)，即q＝eq \f(1,2)，
∴a1＝8，∴a4＝a1q3＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝1，S6＝eq \f(a11－q6,1－q)＝eq \f(8×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6)),1－\f(1,2))＝eq \f(63,4).
10．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝eq \f(1,3)，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
解 (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝eq \f(1,3)，得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1，n∈N＋.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝eq \f(bn,3)，
因此{bn}是首项为1，公比为eq \f(1,3)的等比数列．
记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n,1－\f(1,3))＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2×3n－1).
11．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？( )
A.eq \f(50,3) B.eq \f(50,7) C.eq \f(100,7) D.eq \f(200,7)
答案 D
解析 5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－23)),1－2)＝50，
解得a1＝eq \f(50,7)，所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝eq \f(200,7).
12．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足eq \f(S2m,Sm)＝9，eq \f(a2m,am)＝eq \f(5m＋1,m－1)，则数列{an}的公比为( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
答案 B
解析 设数列{an}的公比为q，若q＝1，则eq \f(S2m,Sm)＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.
∵eq \f(S2m,Sm)＝eq \f(\f(a11－q2m,1－q),\f(a11－qm,1－q))＝qm＋1＝9，
∴qm＝8.
∵eq \f(a2m,am)＝eq \f(a1q2m－1,a1qm－1)＝qm＝8＝eq \f(5m＋1,m－1)，
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
13．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( )
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
答案 C
解析 由题意知S1正确；若S4错误，则S2，S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12.a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65；若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12.∴q＝eq \f(3,2)，∴S4＝eq \f(a11－q4,1－q)＝eq \f(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))4)),1－\f(3,2))＝65，符合题意．
14．在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是________(填序号)．
①q＝2；②数列{Sn＋2}是等比数列；③S8＝510；④数列{lg an}是公差为2的等差数列．
答案 ①②③
解析 因为数列{an}为等比数列，
又a1·a4＝32，所以a2·a3＝32，又a2＋a3＝12，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,a3＝8，,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝8，,a3＝4，,q＝\f(1,2)，))
又公比q为整数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,a3＝8，,q＝2，))
即an＝2n，Sn＝eq \f(2×1－2n,1－2)＝2n＋1－2，由上可得q＝2，即①正确；
Sn＋2＝2n＋1，eq \f(Sn＋1＋2,Sn＋2)＝eq \f(2n＋2,2n＋1)＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，即②正确；
S8＝29－2＝510，即③正确；
lg an＋1－lg an＝(n＋1)－n＝1，即数列{lg an}是公差为1的等差数列，④错误．
15．设数列{an}的前n项和为Sn，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(Sn,n)))(n∈N＋)均在直线y＝x＋eq \f(1,2)上．若bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.
答案 eq \f(9n＋1－9,8)
解析 依题意得eq \f(Sn,n)＝n＋eq \f(1,2)，
即Sn＝n2＋eq \f(1,2)n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n2＋\f(1,2)n))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(n－12＋\f(1,2)n－1))＝2n－eq \f(1,2)；
当n＝1时，a1＝S1＝eq \f(3,2)，符合an＝2n－eq \f(1,2)，
所以an＝2n－eq \f(1,2)(n∈N＋)，
则bn＝＝32n，
由eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(32n＋1,32n)＝32＝9，
可知{bn}为公比为9的等比数列，b1＝32×1＝9，
故Tn＝eq \f(91－9n,1－9)＝eq \f(9n＋1－9,8).
16．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈
N＋.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；
(2)求T2n.
解 (1)因为an·an＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n，
所以an＋1·an＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＋1，
所以eq \f(an＋2,an)＝eq \f(1,2)，即an＋2＝eq \f(1,2)an，
因为bn＝a2n＋a2n－1，
所以eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(a2n＋2＋a2n＋1,a2n＋a2n－1)＝eq \f(\f(1,2)a2n＋\f(1,2)a2n－1,a2n＋a2n－1)＝eq \f(1,2)，
所以{bn}是公比为eq \f(1,2)的等比数列．
因为a1＝1，a1·a2＝eq \f(1,2)，
所以a2＝eq \f(1,2)⇒b1＝a1＋a2＝eq \f(3,2)，
所以bn＝eq \f(3,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝eq \f(3,2n).
(2)由(1)可知an＋2＝eq \f(1,2)an，
所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以eq \f(1,2)为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝eq \f(1,2)为首项，以eq \f(1,2)为公比的等比数列，
所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n,1－\f(1,2))＋eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝3－eq \f(3,2n).
已知量
首项a1，项数n与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))
学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
导语
2020年5月5日18时，为我国载人空间站工程研制的长征5B运载火箭，在文昌航天发射场点火升空，载荷组合体被送入预定轨道，首飞任务取得圆满成功，实现空间站阶段飞行任务首战告捷，也拉开我国载人航天工程“第三步”任务序幕．小明在手机上写下这条消息后将此消息传给了两个朋友，这两个朋友又在1分钟后将此消息分别传给了未知此消息的两个朋友，如此进行下去，4分钟后，这条消息可传遍多少人？
一、等比数列前n项和公式的基本运算
问题 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
提示 因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，
所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，
上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．
知识梳理
等比数列的前n项和公式
注意点：
(1)用等比数列前n和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论．
(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(例如1＋2＋22＋…＋2n＝\f(1×1－2n＋1,1－2))).
(3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(例如1＋2＋22＋…＋2n＝\f(1－2n×2,1－2))).
例1 求下列等比数列前8项的和：
(1)eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，…；
(2)a1＝27，a9＝eq \f(1,243)，q<0.
解 (1)因为a1＝eq \f(1,2)，q＝eq \f(1,2)，
所以S8＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8)),1－\f(1,2))＝eq \f(255,256).
(2)由a1＝27，a9＝eq \f(1,243)，可得eq \f(1,243)＝27·q8.
又由q<0，可得q＝－eq \f(1,3)，
所以S8＝eq \f(a1－a8q,1－q)＝eq \f(a1－a9,1－q)＝eq \f(27－\f(1,243),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝eq \f(1 640,81).
反思感悟 求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立．
跟踪训练1 (1)在等比数列{an}中，首项a1＝8，公比q＝eq \f(1,2)，那么它的前5项和S5的值为( )
A.eq \f(31,2) B.eq \f(33,2) C.eq \f(35,2) D.eq \f(37,2)
答案 A
解析 S5＝eq \f(a11－q5,1－q)＝eq \f(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq \f(31,2).
(2)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________.
答案 2 2n＋1－2
解析 设等比数列的公比为q，
∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，
∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，
解得q＝2，且a1＝2.
∴Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝2n＋1－2.
二、等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用
例2 在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
解 (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝eq \f(1－－2n,3).
由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
反思感悟 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．
跟踪训练2 等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝eq \f(7,4)，S6＝eq \f(63,4)，则a8＝________.
答案 32
解析 设{an}的首项为a1，公比为q，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,4)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))
所以a8＝eq \f(1,4)×27＝25＝32.
三、等比数列前n项和公式的实际应用
例3 某种抗病毒药品具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1 000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药会不会对人体产生副作用？
解 由题意得，第一次服药后，经过12小时后，体内药物含量为700×(1－70%)＝700×30%，经过24小时后，体内药物含量为700×(30%)2，以此类推，一次服药后体内药物含量构成以a1＝700，q＝30%为公比的等比数列，即an＝700×(30%)n－1，
所以第n次服药后，体内药物的含量为
700＋700×0.3＋700×0.32＋…＋700×0.3n－1
＝eq \f(700×[1－0.3n],1－0.3)＝1 000×[1－(0.3)n]，
当n→＋∞时，药在体内的含量无限接近1 000，该药在人体内含量不超过1 000毫克，不会产生副作用．
反思感悟 解答等比数列前n项和公式的实际应用问题的注意事项
(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型．
(2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释．
(3)实际问题解答完成后一定要有结论．
跟踪训练3 国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩，2015年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．试问从2015年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128≈2.476，1.127≈2.211)(精确到年)
解 设从2015年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1，a2，a3，…，an万亩．
则a1＝515(1＋12%)，a2＝515(1＋12%)2，…，
an＝515(1＋12%)n，….
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝eq \f(5151＋0.121－1.12n,1－1.12)＝6 370－515，
所以515×1.12×(1.12n－1)＝5 855×0.12，
即1.12n≈2.218.
又因为n∈N＋，当n＝7时，1.127≈2.211，此时完不成退耕还林计划，所以n＝8.
故到2023年底西部地区才能完成退耕还林计划．
1.知识清单：
(1)等比数列前n项和公式．
(2)等比数列的前n项和公式的应用．
2．方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论．
3．常见误区：
(1)忽略q＝1的情况而致错．
(2)忽略对参数的讨论．
1．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则S6等于( )
A．－63 B．31 C．－31 D．63
答案 D
解析 S6＝eq \f(1×1－26,1－2)＝26－1＝64－1＝63.
2．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论．他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米；……，所以阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为( )
A.eq \f(104－1,90) B.eq \f(105－1,900) C.eq \f(105－9,90) D.eq \f(104－9,900)
答案 B
解析 由题意知，乌龟每次爬行的距离(单位：米)构成等比数列{an}，且首项a1＝100，公比q＝eq \f(1,10)，易知a5＝10－2，则乌龟爬行的总距离(单位：米)为S5＝eq \f(a1－a5q,1－q)＝eq \f(100－10－2×\f(1,10),1－\f(1,10))＝eq \f(105－1,900).
3．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________.
答案 3或－4
解析 因为q≠1，所以S3＝eq \f(a11－q3,1－q)＝eq \f(21－q3,1－q)＝26，所以q2＋q－12＝0，所以q＝3或q＝－4.
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
答案 6
解析 因为a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又因为Sn＝126，所以eq \f(21－2n,1－2)＝126，所以n＝6.
课时对点练
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( )
A．7 B．8 C．15 D．16
答案 C
解析 设{an}的公比为q，因为4a1,2a2，a3成等差数列，所以4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，所以q＝2.又a1＝1，所以S4＝eq \f(1－24,1－2)＝15.
2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 显然q≠1，由Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)，得93＝eq \f(3－48q,1－q)，
解得q＝2.由an＝a1qn－1，
得48＝3×2n－1，解得n＝5.
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
答案 B
解析 设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝eq \f(a11－q7,1－q)＝eq \f(a11－27,1－2)＝381，
解得a1＝3.
4．在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 a1＝2，am＋n＝aman，
令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，
∴an＝2×2n－1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴eq \f(2k＋11－210,1－2)＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
5．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前5项和为( )
A.eq \f(15,8)或5 B.eq \f(31,16)或5 C.eq \f(31,16) D.eq \f(15,8)
答案 C
解析 由9S3＝S6，得q≠1，且eq \f(91－q3,1－q)＝eq \f(1－q6,1－q)，
即1＋q3＝9，解得q＝2，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为1，公比为eq \f(1,2)的等比数列，
则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前5项和为eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5,1－\f(1,2))＝eq \f(31,16).
6．(多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝1，eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a3)＋eq \f(1,a5)＝eq \f(21,4)，则( )
A．{an}必是递减数列 B．S5＝eq \f(31,4)
C．公比q＝4或eq \f(1,4) D．a1＝4或eq \f(1,4)
答案 BD
解析 设等比数列{an}的公比为q，则q>0，
因为a1a5＝aeq \\al(2,3)＝1，a3＝a1q2＝1 ，
所以eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a3)＋eq \f(1,a5)＝1＋eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a5)＝1＋eq \f(a5＋a1,a1a5)＝1＋a1＋a5＝a1＋1＋eq \f(1,a1)＝eq \f(21,4)，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝4，,q＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,4)，,q＝2.))
当a1＝4，q＝eq \f(1,2)时，S5＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝eq \f(31,4)，数列{an}是递减数列；
当a1＝eq \f(1,4)，q＝2时，S5＝eq \f(31,4)，数列{an}是递增数列；
综上，S5＝eq \f(31,4).
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.
答案 －2
解析 S3＋3S2＝a1＋a2＋a3＋3a1＋3a2＝4a1＋4a2＋a3＝a1(4＋4q＋q2)＝a1(2＋q)2＝0，故q＝－2.
8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝eq \f(5,2)，a2＋a4＝eq \f(5,4)，则eq \f(Sn,an)＝________.
答案 2n－1
解析 设等比数列{an}的公比为q.
则q＝eq \f(a2＋a4,a1＋a3)＝eq \f(\f(5,4),\f(5,2))＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(Sn,an)＝eq \f(1－qn,1－qqn－1)＝eq \f(1－\f(1,2n),\f(1,2n))＝2n－1.
9．已知等比数列{an}．
(1)若q＝2，S4＝1，求S8的值；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq \f(5,4)，求a4和S6的值．
解 (1)方法一 ∵q＝2，S4＝1，
∴eq \f(a11－24,1－2)＝1，即a1＝eq \f(1,15)，
∴S8＝eq \f(a11－q8,1－q)＝eq \f(\f(1,15)×1－28,1－2)＝17.
方法二 ∵S4＝eq \f(a11－q4,1－q)＝1，且q＝2，
∴S8＝eq \f(a11－q8,1－q)＝eq \f(a11－q4,1－q)·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.
(2)设等比数列{an}的公比为q，由题意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a11＋q2＝10， ①,a1q31＋q2＝\f(5,4)， ②))
∵a1≠0,1＋q2≠0，
∴②÷①得，q3＝eq \f(1,8)，即q＝eq \f(1,2)，
∴a1＝8，∴a4＝a1q3＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝1，S6＝eq \f(a11－q6,1－q)＝eq \f(8×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6)),1－\f(1,2))＝eq \f(63,4).
10．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝eq \f(1,3)，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
解 (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝eq \f(1,3)，得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1，n∈N＋.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝eq \f(bn,3)，
因此{bn}是首项为1，公比为eq \f(1,3)的等比数列．
记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n,1－\f(1,3))＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2×3n－1).
11．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？( )
A.eq \f(50,3) B.eq \f(50,7) C.eq \f(100,7) D.eq \f(200,7)
答案 D
解析 5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－23)),1－2)＝50，
解得a1＝eq \f(50,7)，所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝eq \f(200,7).
12．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足eq \f(S2m,Sm)＝9，eq \f(a2m,am)＝eq \f(5m＋1,m－1)，则数列{an}的公比为( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
答案 B
解析 设数列{an}的公比为q，若q＝1，则eq \f(S2m,Sm)＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.
∵eq \f(S2m,Sm)＝eq \f(\f(a11－q2m,1－q),\f(a11－qm,1－q))＝qm＋1＝9，
∴qm＝8.
∵eq \f(a2m,am)＝eq \f(a1q2m－1,a1qm－1)＝qm＝8＝eq \f(5m＋1,m－1)，
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
13．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( )
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
答案 C
解析 由题意知S1正确；若S4错误，则S2，S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12.a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65；若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12.∴q＝eq \f(3,2)，∴S4＝eq \f(a11－q4,1－q)＝eq \f(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))4)),1－\f(3,2))＝65，符合题意．
14．在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是________(填序号)．
①q＝2；②数列{Sn＋2}是等比数列；③S8＝510；④数列{lg an}是公差为2的等差数列．
答案 ①②③
解析 因为数列{an}为等比数列，
又a1·a4＝32，所以a2·a3＝32，又a2＋a3＝12，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,a3＝8，,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝8，,a3＝4，,q＝\f(1,2)，))
又公比q为整数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,a3＝8，,q＝2，))
即an＝2n，Sn＝eq \f(2×1－2n,1－2)＝2n＋1－2，由上可得q＝2，即①正确；
Sn＋2＝2n＋1，eq \f(Sn＋1＋2,Sn＋2)＝eq \f(2n＋2,2n＋1)＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，即②正确；
S8＝29－2＝510，即③正确；
lg an＋1－lg an＝(n＋1)－n＝1，即数列{lg an}是公差为1的等差数列，④错误．
15．设数列{an}的前n项和为Sn，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(Sn,n)))(n∈N＋)均在直线y＝x＋eq \f(1,2)上．若bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.
答案 eq \f(9n＋1－9,8)
解析 依题意得eq \f(Sn,n)＝n＋eq \f(1,2)，
即Sn＝n2＋eq \f(1,2)n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n2＋\f(1,2)n))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(n－12＋\f(1,2)n－1))＝2n－eq \f(1,2)；
当n＝1时，a1＝S1＝eq \f(3,2)，符合an＝2n－eq \f(1,2)，
所以an＝2n－eq \f(1,2)(n∈N＋)，
则bn＝＝32n，
由eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(32n＋1,32n)＝32＝9，
可知{bn}为公比为9的等比数列，b1＝32×1＝9，
故Tn＝eq \f(91－9n,1－9)＝eq \f(9n＋1－9,8).
16．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈
N＋.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；
(2)求T2n.
解 (1)因为an·an＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n，
所以an＋1·an＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＋1，
所以eq \f(an＋2,an)＝eq \f(1,2)，即an＋2＝eq \f(1,2)an，
因为bn＝a2n＋a2n－1，
所以eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(a2n＋2＋a2n＋1,a2n＋a2n－1)＝eq \f(\f(1,2)a2n＋\f(1,2)a2n－1,a2n＋a2n－1)＝eq \f(1,2)，
所以{bn}是公比为eq \f(1,2)的等比数列．
因为a1＝1，a1·a2＝eq \f(1,2)，
所以a2＝eq \f(1,2)⇒b1＝a1＋a2＝eq \f(3,2)，
所以bn＝eq \f(3,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝eq \f(3,2n).
(2)由(1)可知an＋2＝eq \f(1,2)an，
所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以eq \f(1,2)为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝eq \f(1,2)为首项，以eq \f(1,2)为公比的等比数列，
所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n,1－\f(1,2))＋eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝3－eq \f(3,2n).
已知量
首项a1，项数n与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))
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