高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 导数的概念导学案及答案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 导数的概念导学案及答案，共9页。学案主要包含了导数的概念，求函数在某点处的导数，导数在实际问题中的意义等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解导数的概念.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.3.理解导数的实际意义．
导语
中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”．中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家．同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？
一、导数的概念
问题 一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．
(1)质点在前3 s内的平均速度是多少？在3 s时的瞬时速度是多少？
(2)对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x0＋Δx时，y关于x的平均变化率是多少？当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？
提示 (1)8 m/s,14 m/s.
(2)eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数．
知识梳理
导数的定义
1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx1－fx0,x1－x0)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0处的导数．
2．记法：函数y＝f(x)在x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝eq \f(fx1－fx0,x1－x0)
＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
注意点：
(1)函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在．
(2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关．
(3)导数的实质是一个极限值．
例1 若f′(x0)＝a，则eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(fx0＋Δx－fx0－3Δx,2Δx)的值为( )
A．－2a B．2a
C．a D．－a
答案 B
解析 ∵f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝a，
∴eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(fx0＋Δx－fx0－3Δx,2Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(fx0＋Δx－fx0＋fx0－fx0－3Δx,2Δx)
＝eq \f(1,2)eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＋eq \f(3,2)eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(fx0－3Δx－fx0,－3Δx)
＝eq \f(a,2)＋eq \f(3a,2)＝2a.
反思感悟 利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同．
跟踪训练1 已知eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝1，则f′(x0)等于( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D．0
答案 C
解析 ∵eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝1，
∴2eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝2f′(x0)＝1，
所以f′(x0)＝eq \f(1,2).故选C.
二、求函数在某点处的导数
例2 求函数y＝eq \f(4,x2)在x＝2处的导数．
解 ∵f(x)＝eq \f(4,x2)，
∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝eq \f(4,2＋Δx2)－1＝eq \f(－4Δx－Δx2,2＋Δx2)，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－4－Δx,2＋Δx2)，
∴eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(－4－Δx,2＋Δx2)＝－1，∴f′(2)＝－1.
反思感悟 由导数的定义，可以得到求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤
(1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(Δy,Δx).
跟踪训练2 (1)已知f(x)＝eq \f(2,x)，且f′(m)＝－eq \f(1,2)，则m的值等于( )
A．－4 B．2 C．－2 D．±2
答案 D
解析 因为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fm＋Δx－fm,Δx)
＝eq \f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq \f(－2,mm＋Δx)，
所以f′(m)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(－2,mm＋Δx)＝－eq \f(2,m2)，
所以－eq \f(2,m2)＝－eq \f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.
(2)函数y＝eq \r(x)在x＝1处的导数是________．
答案 eq \f(1,2)
解析 ∵Δy＝eq \r(1＋Δx)－1，
∴eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq \f(1,2)，
∴函数y＝eq \r(x)在x＝1处的导数为eq \f(1,2).
三、导数在实际问题中的意义
例3 一质点的运动路程s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝－2t＋3.求s′(1)，并解释它的实际意义．
解 eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s1＋Δt－s1,Δt)
＝eq \f(－21＋Δt＋3－－2×1＋3,Δt)＝－2(m/s)．
当Δt趋于0时，eq \f(Δs,Δt)趋于－2，则s′(1)＝－2 m/s，
导数s′(1)＝－2 m/s表示该质点在t＝1时的瞬时速度．
反思感悟 首先要理解导数与平均变化率的概念，才能根据实际问题体会到导数的实际意义．
跟踪训练3 某小区的某一天用电量y(单位：kW·h)是时间x(单位：h)的函数y＝f(x)，假设函数y＝f(x)在x＝5和x＝12处的导数分别为f′(5)＝12和f′(12)＝50，试解释它们的实际意义．
解 f′(5)＝12表示该小区某一天开始用电后5 h时的用电量增加的速度为12 kW；f′(12)＝50表示该小区某一天开始用电后12 h时的用电量增加的速度为50 kW.
1.知识清单：
(1)导数的概念．
(2)求导数的一般步骤．
(3)导数在实际问题中的意义．
2．方法归纳：极限思想．
3．常见误区：函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
1．f(x)＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2 C．2＋Δx D．1
答案 B
解析 eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)
＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(1＋2Δx＋Δx2－1,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))(2＋Δx)＝2.
2．函数在某一点的导数是( )
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
答案 C
解析 由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数．
3．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)等于( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
答案 C
解析 f′(0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(0＋Δx2－30＋Δx－02＋3×0,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(Δx2－3Δx,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))(Δx－3)＝－3，故选C.
4．已知函数y＝f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
答案 1
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2a(1＋Δx)＋4－2a－4＝2aΔx，eq \f(Δy,Δx)＝2a，∴eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝2a，∴a＝eq \f(1,2) f′(1)＝1.
课时对点练
1．(多选)设函数f(x)在x＝x0处可导，以下有关eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(fx0＋h－fx0,h)的值的说法中不正确的是( )
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关而与h无关
C．仅与h有关而与x0无关
D．与x0，h均无关
答案 ACD
解析 导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与h无关．
2．已知函数f(x)可导，且满足eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f3－f3＋Δx,Δx)＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
答案 B
解析 由题意，知f′(3)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f3＋Δx－f3,Δx)＝－2.
3．汽车在笔直公路上行驶，如果v(t)表示t时刻的速度，则当Δt趋近于0时，eq \f(vt0－Δt－vt0,－Δt)的意义是( )
A．表示当t＝t0时汽车的加速度
B．表示当t＝t0时汽车的瞬时速度
C．表示当t＝t0时汽车的路程变化率
D．表示当t＝t0时汽车与起点的距离
答案 A
解析 由于v(t)表示时刻t的速度，则当Δt趋近于0时，eq \f(vt0－Δt－vt0,－Δt)表示当t＝t0时汽车的加速度．
4．做直线运动的一物体，其位移s与时间t的关系式为s＝3t－t2，t∈[0，＋∞)，则其初速度为( )
A．0 B．3 C．－2 D．3－2t
答案 B
解析 当t＝0时的瞬时速度，即为初速度，故初速度为eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))(3－Δt)＝3.
5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．3eq \r(3)
答案 C
解析 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴eq \f(Δy,Δx)＝3xeq \\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))[3xeq \\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3xeq \\al(2,0)，
由f′(x0)＝3，得3xeq \\al(2,0)＝3，∴x0＝±1.
6．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(fΔx,Δx)＝－1，则f′(0)等于( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案 C
解析 ∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(f0＋Δx－f0,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(fΔx,Δx)＝－1.
7．函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数为__________．
答案 16
解析 ∵Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2Δx2＋16Δx,Δx)＝2Δx＋16.
f′(3)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))(2Δx＋16)＝16.
8．已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的导数为－8，则f(x0)＝________.
答案 9
解析 由题知－8＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))(2Δx＋4x0)＝4x0，得x0＝－2，所以f(x0)＝f(－2)＝2×(－2)2＋1＝9.
9．一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．
解 因为eq \f(Δy,Δt)＝eq \f(f2＋Δt－f2,Δt)＝eq \f(32＋Δt－3×2,Δt)＝3，
所以f′(2)＝eq \(lim,\s\d5(Δt→0)) eq \f(Δy,Δt)＝3.
f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s.
10．设f(x)在R上可导，求f(－x)在x＝a处与f(x)在x＝－a处的导数之间的关系．
解 设f(－x)＝g(x)，
则f(－x)在a处的导数为g′(a)，于是
g′(a)＝eq \(lim,\s\d4(x→a))eq \f(gx－ga,x－a)
＝eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f－x－f－a,x－a)
而f′(－a)＝eq \(lim,\s\d4(x→－a))eq \f(fx－f－a,x＋a)，
令x＝－t，则当x→－a时，t→a，
∴f′(－a)＝eq \(lim,\s\d4(t→a)) eq \f(f－t－f－a,－t＋a)
＝－eq \(lim,\s\d4(t→a)) eq \f(f－t－f－a,t－a)
＝－g′(a)，
这说明f(－x)在x＝a处的导数与f(x)在x＝－a处的导数互为相反数．
11．若函数f(x)可导，则eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(f1－Δx－f1,2Δx)等于( )
A．－2f′(1) B.eq \f(1,2)f′(1)
C．－eq \f(1,2)f′(1) D．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))
答案 C
解析 eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(f1－Δx－f1,2Δx)
＝－eq \f(1,2) eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(f[1＋－Δx]－f1,－Δx)＝－eq \f(1,2) f′(1)．
12．设函数f(x)＝eq \f(1,x)，则eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(fx－fa,x－a)等于( )
A．－eq \f(1,a) B.eq \f(2,a) C．－eq \f(1,a2) D.eq \f(1,a2)
答案 C
解析 令Δx＝x－a，则当x→a时，Δx→0，
∴eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(fa＋Δx－fa,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(\f(1,a＋Δx)－\f(1,a),Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,aa＋Δx)))＝－eq \f(1,a2).
13．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0－2Δx－fx0,Δx)＝________.
答案 －22
解析 eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0－2Δx－fx0,Δx)
＝－2·eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0－2Δx－fx0,－2Δx)
＝－2f′(x0)＝－22.
14．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0－3Δx－fx0,Δx)＝a，则f′(x0)＝________.
答案 －eq \f(1,3)a
解析 ∵eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0－3Δx－fx0,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx0－3Δx－fx0,－3Δx)·－3))
＝－3f′(x0)＝a，∴f′(x0)＝－eq \f(1,3)a.
15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq \f(f1,f′0)的最小值为________．
答案 2
解析 由导数的定义，得f′(0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fΔx－f0,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(aΔx2＋bΔx＋c－c,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))[a·(Δx)＋b]＝b>0.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝b2－4ac≤0，,a>0，))∴ac≥eq \f(b2,4)，∴c>0.
∴eq \f(f1,f′0)＝eq \f(a＋b＋c,b)≥eq \f(b＋2\r(ac),b)≥eq \f(2b,b)＝2.
当且仅当a＝c＝eq \f(b,2)时等号成立．
16．(1)已知函数y＝f(x)＝13－8x＋eq \r(2)x2，且f′(x0)＝4，求x0的值；
(2)已知函数y＝f(x)＝x2＋2xf′(0)，求f′(0)的值．
解 (1)f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝
eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f([13－8x0＋Δx＋\r(2)x0＋Δx2]－13－8x0＋\r(2)x\\al(2,0),Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(－8Δx＋2\r(2)x0Δx＋\r(2)Δx2,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))(－8＋2eq \r(2)x0＋eq \r(2)Δx)＝－8＋2eq \r(2)x0＝4，
∴x0＝3eq \r(2).
(2)f′(0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f0＋Δx－f0,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δx2＋2Δxf′0,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))[Δx＋2f′(0)]＝2f′(0)，
∴f′(0)＝0.