专题强化练3 数列的递推公式及通项公式-2022版数学选择性必修第二册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

专题强化练3　数列的递推公式及通项公式

一、选择题

1.(2021四川雅安中学高一下月考,)已知数列{an}的前4项为-,,-,,则数列{an}的通项公式是　              (　　)

A.an= B.an=  C.an= D.an=

2.(2021河南洛阳一中高二下月考,)若数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N+),则该数列的前2 021项的乘积是              (　　)

A.-2 B.-1 C.2 D.1

3.(2020天津一中高二上期中,)已知数列{an}满足 an+1=kan-1(n∈N+,k∈R),若数列{an-1}是等比数列,则 k=              (深度解析)

A.1 B.-1 C.-2 D.2

二、填空题

4.(2021吉林长春高二上月考,)设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项公式为an=　　　　.深度解析 

5.(2021广西岑溪第一中学高二上月考,)若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an=n2+3n+2,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　.深度解析 

6.(2021广东深圳实验学校高二上期末,)数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2·an,则数列{an}的通项公式为an=　　　　.深度解析 

三、解答题

7.()已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N+).

(1)证明:数列{an+1}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

8.(2020山东淄博一中高二上期中,)(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=4,2Sn=(n+1)an(n∈N+),求数列{an}的通项公式;

(2)设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N+,求数列{an}的通项公式.

9.(2020河北冀州中学高三上期末,)(1)已知数列{an}满足a1=1,且an+1=,求数列{an}的通项公式;

(2)已知数列{an}满足an+1=3an+2×3n+1,a1=3,求数列{an}的通项公式.

答案全解全析

专题强化练3　数列的递推公式及通项公式

一、选择题

1.B　观察数列{an}的前4项,可知分母为2n,分子是奇数,为2n-1,

同时各项符号负正相间,

所以an=.故选B.

2.C　因为数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N+),所以a2===-3,同理可得a3=-,a4=,a5=2,……,所以数列{an}每四项重复出现,即an+4=an,且a1a2a3a4=1,而2 021=505×4+1,所以该数列的前2 021项的乘积是a1a2a3a4…a2 021=1505×a1=2.故选C.

3.D　解法一:设等比数列{an-1}的公比为q,则an+1-1=q(an-1),

∴an+1=qan+1-q,∵an+1=kan-1,

∴解得故选D.

解法二:依题意得,a2=ka1-1,a3=k(ka1-1)-1=k2a1-k-1,

∵{an-1}为等比数列,∴(a2-1)2=(a1-1)·(a3-1),即(ka1-2)2=(a1-1)(k2a1-k-2),∴(k-2)[a1(k-1)-1]=0,由此式对任意实数a1都成立,得k-2=0,即k=2,此时an+1=2an-1,即an+1-1=2(an-1),即{an-1}是等比数列,故选D.

解题模板

由{an-1}是等比数列,求参数k的值,可用待定系数法,也可利用前三项的关系,列出等式,求出参数k的值,再检验所得数列是否符合题意.

二、填空题

4.答案　+1

解析　因为an+1=an+n+1,即an+1-an=n+1,所以当n≥2时,an-an-1=(n-1)+1,

……,a3-a2=2+1,a2-a1=1+1,

将以上各式相加得an-a1=[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]+n-1=-1(n≥2),即an=+1(n≥2),显然a1=2也满足上式,所以an=+1.

方法技巧

当已知关系式为an-an-1=f(n)(或an=an-1+f(n))时,常利用累加法求通项公式,此法的操作原理为an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1.

5.答案　an=

解析　a1·a2·a3·…·an=n2+3n+2=(n+1)(n+2),当n=1时,a1=6;当n≥2时,

故当n≥2时,an=,

显然a1=6不满足上式,

所以an=

方法技巧

对于由数列前n项积组成的递推公式求其通项公式问题,常由其前n项积得到前(n-1)项积,再相除即得an,此法即为阶商法.利用阶商法求解时,要注意对n=1进行验证.

6.答案　

解析　因为a1+a2+…+an=n2·an①,

所以当n≥2时,a1+a2+…+an-1=(n-1)2·an-1②,

①-②得an=n2·an-(n-1)2·an-1(n≥2),即(n2-1)·an=(n-1)2·an-1(n≥2),所以(n-1)(n+1)·an=(n-1)2·an-1(n≥2),所以(n+1)·an=(n-1)·an-1(n≥2),所以=(n≥2),

所以=,=,=,……,=,

所以···…·=···…·,所以=(n≥2),又a1=,所以an=(n≥2),当n=1时,an=也成立,所以an=.

方法技巧

对于递推公式=f(n),一般利用累乘法求出数列的通项公式,用累乘法求解时,要注意对n=1进行验证.

三、解答题

7.解析　(1)证明:由Sn+1=2Sn+n+5(n∈N+),

得当n≥2时,Sn=2Sn-1+(n-1)+5,

两式相减得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1(n≥2),即an+1=2an+1(n≥2),∴an+1+1=2(an+1)(n≥2).

当n=1时,S2=2S1+1+5,

∴a2+a1=2a1+6.

又∵a1=5,∴a2=11,∴a2+1=2(a1+1).

∴an+1+1=2(an+1),n∈N+.

又∵a1+1=6≠0,

∴数列{an+1}是首项为6,公比为2的等比数列.

(2)由(1)知an+1=6×2n-1=3×2n,

∴an=3×2n-1.

8.解析　(1)由2Sn=(n+1)an(n∈N+)得,当n≥2时,2Sn-1=(n-1+1)an-1,

两式相减得,2an=(n+1)an-nan-1(n≥2),

即(n-1)an=nan-1(n≥2).

易知an≠0,所以=(n≥2).

又a2=4,当n=2时,2S2=3a2,即2(a1+a2)=3a2,所以a1=2.

所以an=··…···a1

=···…··2

=2n(n≥2),

经验证,当n=1时也符合上式,

所以an=2n(n∈N+).

(2)由题意得,当n=1时,T1=2S1-1,

因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,所以a1=1.

当n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,

则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1(n≥2),

因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式,

所以Sn=2an-2n+1(n∈N+),①

当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,②

①-②,得an=2an-2an-1-2(n≥2),

所以an=2an-1+2(n≥2),

所以an+2=2(an-1+2)(n≥2),

因为a1+2=3≠0,

所以数列{an+2}是以3为首项,2为公比的等比数列,

所以an+2=3×2n-1,

所以an=3×2n-1-2,n∈N+.

9.解析　(1)由an+1=得,==+2,∴-=2,是常数.

又a1=1,∴是以=1为首项,2为公差的等差数列.

∴=1+(n-1)×2=2n-1,

∴an=.

(2)将an+1=3an+2×3n+1两边同时除以3n+1,得=++,

∴-=+,

∴=++-+…++=+++…++=++++…++1=++1=+-,

∴an=+-=·3n-1-.