向量—基础讲义学案
展开
这是一份向量—基础讲义学案，共15页。
平面向量的概念及线性运算一、 平面向量的概念 向量：具有大小和方向的量称为向量． 向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：，注意起点在前，终点在后． 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量． 向量共线或平行：通过有向线段的直线，叫做向量的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量平行于向量，记作∥．说明：共线向量的方向相同或相反， 注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同． 零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：．零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行． 单位向量：给定一个非零向量，与同方向且长度等于的向量，叫做向量的单位向量．如果的单位向量记作，由数乘向量的定义可知或．二、 向量的线性运算向量的加法：（1）向量加法的三角形法则：（2）向量求和的平行四边形法则： 向量的运算性质：向量加法的交换律： 向量加法的结合律：关于：（3）向量求和的多边形法则：向量的减法： （1）相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作．零向量的相反向量仍是零向量．（2）差向量=减数向量指向被减数向量（3）一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量向量的数乘数乘向量：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长向量共线的定理：如果，则∥；反之，如果∥，且，则一定存在唯一的一个实数，使．题型一、向量及与向量相关的基本概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）共线向量一定在同一条直线上． （ ）（2）所有的单位向量都相等． （ ）（3）向量共线，共线，则共线． （ ）（4）向量共线，则 （ ）（5）向量，则． （ ）（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量． （ ） 【例2】给出命题：（1）零向量的长度为零，方向是任意的．（2）若，都是单位向量，则＝．（3）向量与向量相等．（4）若非零向量与是共线向量，则，，，四点共线． 以上命题中，正确命题序号是（ ）A．（1) B．（2) C．（1）（3) D．（1）（4）【例3】如图，在正方形中，下列描述中正确的是（ ）A． B．C． D．【例4】下列命题正确的是（ ）A．与共线，与共线，则与也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C．向量与不共线，则与都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行题型二、向量的加、减法【例5】化简【例6】如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）A． B． C． D．【例7】是的边上的中点，则向量（ ） A． B． C． D．．【例8】如图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）A． B．C． D． 题型三、向量数乘运算及其几何意义 【例9】已知是不共线的向量，，，，则四点中共线的三点是___________【例10】设是不共线的两个向量，已知，，，若三点共线，求的值． 【例11】已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数、，使，且． 课后作业1.已知是平面上的三个点，直线上有一点，满足，则（ ）A． B． C． D． 2.如图，在中，、、分别是、、上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ） A． B．C． D． 3.已知ABC中，点D在BC边上，且则r+s的值是（ ）A． B． C．-3 D．0 4.若点O是ABC所在平面内的一点，且满足，则ABC的形状为________． 5.在平行四边形ABCD中，E､F分别是边CD和BC的中点，若=λ+u 其中λ，u∈R，则λ+u=________． 6.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若则m+n的值为________． 平面向量的基本定理及坐标运算一、 平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，，使．（2）基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.注：①定理中，是两个不共线向量；②是平面内的任一向量，且实数对，是惟一的；③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．二、 向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量，互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点的位置被点的位置向量所唯一确定．设点的坐标为，由平面向量基本定理，有，即点的位置向量的坐标，也就是点的坐标；反之，点的坐标也是点相对于坐标原点的位置向量的坐标．（3）向量的直角坐标运算：设，，则①；②；③（4）若，，则向量；（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设，，则就是两个向量平行的条件． 题型一、平面向量的基本定理【例1】若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 （ ）A．与 B．3与2 C．＋与— D．与2【例2】如图，平行四边形中，分别是的中点，为的交点，若=，=，试以，为基底表示、、．【例3】在平行四边形中，和分别是边和的中点．若，其中，，则 ．题型二、平面向量的坐标表示与运算【例4】设向量，且点的坐标为，则点的坐标为 ．【例5】若，则的坐标为_________．【例6】已知，若，则 ， ．【例7】若，，，则-2= 【例8】若，且 ，求P点的坐标．【例9】已知向量，若与平行，则实数的值是（ ）A． B．0 C．1 D．2 【例10】在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，，则点的坐标为___________．【例11】已知向量，，，若∥，则= ．课后作业1.在中，，．若点满足，则（ ）A． B． C． D．2.若平面向量，满足，平行于轴，，则= ． 3.已知平面向量a＝（x，1），b＝（－x，x2），则向量a＋b（ ）A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第一、四象限的角平分线4.已知向量e1与e2不共线，实数x，y满足（3x－4y）e1＋（2x－3y）e2＝6e1＋3e2，则x－y等于（ ）A．3 B．－3 C．0 D．25.设点A（2，0），B（4，2），若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为（ ）A．（3，1) B．（1，－1）C．（3，1）或（1，－1) D．无数多个6.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝a，＝b，则＝ （ ）A．a＋b B． a＋b C． a＋b D． a＋b 平面向量的数量积一、 两个向量的夹角：已知两个非零向量，，作 ，，则称作向量和向量的夹角，记作，并规定.当时，我们说向量和向量互相垂直，记作．二、 向量的数量积（内积）定义叫做向量和的数量积（或内积），记作，即 向量内积的性质①是单位向量，则；②⊥，且⊥；③，即；④；⑤． 向量数量积的运算律①交换律：；．②分配律：三、 向量数量积的坐标运算与度量公式①向量内积的坐标运算：已知，， ②用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：③向量的长度公式：已知，则，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．④两点间的距离公式：如果，，则．⑤两个向量夹角余弦的坐标表达式： 题型一、数量积的运算【例1】已知向量，，若，则（ )A． B． C． D．【例2】已知，，与的夹角为，求； 【例3】等边的边长为，则 【例4】直角坐标平面上三点、、，若为线段的三等分点，则 ．题型二、向量求模【例5】已知，，且．⑴ 求的值；⑵求的值． 【例6】⑴已知与的夹角为，那么等于（ ）A．2 B． C．6 D．12 题型三、向量夹角和向量垂直【例7】，，，且，则向量与的夹角为（ ）A． B． C． D．【例8】已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角． 【例9】已知向量，，则向量与的夹角为（ ）A． B． C． D．【例10】已知点，，，且．（1） 若，求与的夹角；（2）若，求的值． 课后作业1.已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．2.已知向量，若与垂直，则 3.已知，,如果与的夹角为锐角,则的取值范围 。4.关于平面向量．有下列三个命题：①若，则．②若，，，则．③非零向量和满足，则与的夹角为．其中假命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）5.已知，，和的夹角为，则为 （ ）A． B． C． D．6.已知平面向量，．若，则_____________．7.已知，则与垂直的单位向量的坐标为 ；8.已知，，与的夹角为120°，求：⑴ ；⑵； ⑶； ⑷
