课时分层作业13 正弦定理(2) 练习
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课时分层作业(十三) 正弦定理(2)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在△ABC中，若＝，则C的值为( )A．30° B．45° C．60° D．90°B [由正弦定理得，＝＝，则cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.]2．在△ABC中，b＋c＝＋1，C＝45°，B＝30°，则( )A．b＝1，c＝ B．b＝，c＝1C．b＝，c＝1＋ D．b＝1＋，c＝A [∵＝＝＝＝2，∴b＝1，c＝.]3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( )A. B. C. D．1B [在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.]4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝( )A. B. C. D．－B [由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，所以sin A＝sin Bsin A，故sin B＝.]5．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于( )A. B. C. D．2B [由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得＝2R＝＝＝.]二、填空题6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是 (填序号)．①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．④ [①中a＝bsin A，有一解；②中csin B<b<c，有两解；③中A＝90°且a>b，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．]7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于 . 2 [在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2.]8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝ . [在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.]三、解答题9．在△ABC中，求证：＝. [证明] 因为＝＝＝2R，所以左边＝＝＝＝＝右边．所以等式成立．10．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a，b及△ABC的内切圆半径．[解] 由正弦定理知＝，∴＝.即sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B.又∵a≠b且A，B∈(0，π)，∴2A＝π－2B，即A＋B＝.∴△ABC是直角三角形且C＝，由得a＝6，b＝8.∴内切圆的半径为r＝＝＝2.[等级过关练]1．在△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是( )A．[3，6] B．(2,4)C．(3，4) D．(3,6]D [∵A＝，∴B＋C＝π.∴AC＋AB＝(sin B＋sin C)＝＝2＝6sin，∴B∈，∴B＋∈，∴sin∈，∴AC＋AB∈(3,6]．]2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为( )A.， B.，C.， D.，C [∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0，∴tan A＝，又∵A∈(0，π)，∴A＝，由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C，即sin C＝1，∴C＝，B＝.]3．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是 . (1，] [∵a＋b＝cx，∴x＝＝＝sin A＋cos A＝sin.∵A∈，∴A＋∈，∴sin∈，∴x∈(1，]．]4．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝ . [由正弦定理，得＝，即sin C＝＝＝.可知C为锐角，∴cos C＝＝.∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝.]5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C.(1)求角C的大小；(2)求sin A－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小[解] (1)由正弦定理及已知条件得sin Csin A＝sin Acos C．因为0<A<π，所以sin A>0，从而sin C＝cos C，则C＝.(2)由(1)知，B＝－A，于是sin A－cos＝sin A－cos(π－A)＝sin A＋cos A＝2sin.因为0<A<，所以<A＋<.从而当A＋＝，即A＝时，2sin取得最大值2.综上所述，sin A－cos 的最大值为2，此时A＝，B＝.
