2020-2021学年1.3 集合的基本运算第1课时教学设计

1.3集合的基本运算（第1课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第一章)

一、教学目标

1.数学抽象：理解两个集合的并集与交集的含义；

2.数学运算：会求两个简单集合的并集与交集；

3.直观想象：能使用Venn图、数轴表示集合的关系及运算。

二、教学重难点

1.【重点】理解并集与交集的概念，求两个简单集合的并集与交集；

2.【难点】理解并集与交集的概念。

三、教学过程

1.创设情境，引发思考

问题1：请同学们观察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗?

（1） A=｛1，3，5，7｝， B=｛2，4，6，7｝， C=｛1，2，3，4，5，6，7｝．

（2）A=｛x|x是有理数｝， B=｛x|x是无理数｝， C=｛x|x是实数｝．

【答案】集合C是由所有属于集合A或属于B的所有元素组成的．

【设计意图】通过实例，让学生感知、了解并集的含义，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。

1.2 新知初探

    2.1.1并集的概念

【设计意图】用图形来表示并集，提高学生用数形结合法解决问题的能力。

回到问题1：请同学们观察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗?

（1） A=｛1，3，5，7｝， B=｛2，4，6，7｝， C=｛1，2，3，4，5，6，7｝．

（2）A=｛x|x是有理数｝， B=｛x|x是无理数｝， C=｛x|x是实数｝．

【答案】因为集合C是由所有属于集合A或属于B的所有元素组成的，所以集合C是集合A与B的并集．

【设计意图】学以致用，既巩固了新知，又提高了学生运用所学知识解决问题的意识和能力。

2.1.2对并集概念的理解

(1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成，公共元素只能算一次(元素的互异性)．

(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”．

【设计意图】加深学生对并集的理解。

问题2：已知A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B.

【预设的答案】 A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}

【设计意图】让学生总结求简单集合并集的方法：元素全部拿过来，重复的只写一次。

2.2.1交集的概念

2.2.2对交集概念的理解

(1)运算结果：A∩B是一个集合．

(2)关键词“所有”：A∩B由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．

(3) ∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.

【设计意图】类比并集的概念，讲授交集的概念，加深学生对这两个概念的理解。

问题3：设M＝{0，1，2，3}，N＝{x|0<x<3}，求M∩N.

【预设的答案】 M∩N＝{1,2}．

【设计意图】让学生总结求简单集合交集的方法：公共元素全部拿过来。

3. 题型探索

例1：设集合A＝{x|-1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3},求A∪B.

【预设的答案】

A∪B＝{x|-1<x<3}．

例2：(1)已知集合A＝{x|-1≤x≤2}，集合B＝{x|0≤x≤4}，求A∩B.

      (2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为？

【预设的答案】

(1)在数轴上表示出集合A与B，如图：

则由交集的定义得，A∩B＝{x|0≤x≤2}．

(2)集合A中元素要满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14,所以集合A∩B中元素的个数为2.

【设计意图】引导学生归纳总结求并集、交集的2种基本方法：

(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可利用定义直接求解；

(2)数形结合法（数轴法）：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可借助数轴求解，此时要注意端点值的取舍．

例3：已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．

【预设的答案】

∵M∩N＝{3}，∴3∈M；∴a2－3a－1＝3，

即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.

但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；

当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．

∴a＝4.

【设计意图】让学生熟悉题型：由并集、交集求参数的值。

例4：设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．

【预设的答案】

如图所示，

由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.

【设计意图】让学生熟悉题型：由并集、交集求参数的范围。

例5：已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．

【预设的答案】

∵A∪B＝A，∴B⊆A.

①当B＝∅时，k＋1＞2k－1，∴k＜2.

②当B≠∅，根据数轴可得解得2≤k≤.

综合①②可得k的取值范围为.

例5的变式：将例5中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A。

【预设的答案】

∵A∩B＝A，∴A⊆B.

又A＝{x|－3＜x≤4}，B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，可知B≠∅.

由数轴可知解得k∈∅，

即当A∩B＝A时，k不存在．             

【设计意图】让学生熟悉题型：由并集、交集的性质求参数的范围。

(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∩B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．

(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．

(3)集合的交集、并集性质

A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A，

    A∪A＝A，A∩A＝A，

    A∪∅＝A，A∩∅＝∅，

    A⊆B⇔A∪B＝B，A⊆B⇔A∩B＝A。

4. 课堂小结

（1）两个定义：并集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，

               交集 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；

（2）两种方法：定义法和数轴法；

（3）八个性质：A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A，

                 A∪A＝A，A∩A＝A，  

                A∪∅＝A，A∩∅＝∅，

                A⊆B⇔A∪B＝B，A⊆B⇔A∩B＝A。

【设计意图】从三个方面对本节课内容进行梳理，构建知识框架，形成知识体系.

四、课外作业