高中人教A版 (2019)第一章 集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算教案

课程目标

学科素养

A.理解两个集合的并集与交集的含义，会求简单集合的交、并运算；

B.理解补集的含义，会求给定子集的补集；

C.能使用图表示集合的关系及运算。

1.数学抽象：集合交集、并集、补集的含义；

2.数学运算：集合的运算；

3.直观想象：用图、数轴表示集合的关系及运算。

教学过程

落实核心素养目标

一、情景引入，温故知新

已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？

事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”．应用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了．

问题：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？

二、探索新知

探究一  并集的含义

1.思考:考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？

（1） A=｛1，3，5，7｝， B=｛2，4，6，7｝，

           C=｛1，2，3，4，5，6，7｝．

（2）A=｛x|x是有理数｝， B=｛x|x是无理数｝，

          C=｛x|x是实数｝．

【答案】  集合C是由所有属于集合A或属于B的所有元素组成的．

2、归纳新知

（1）并集的含义

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union set）．

记作：A∪B（读作：“A并B”）

        即： A∪B ={x| x ∈ A ，或x ∈ B}

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．

Venn图表示：

（2）“或”的理解：三层含义：

（3）思考：下列关系式成立吗？

（1）   （2）

【答案】成立

（4）思考：若,则A∪B与B有什么关系？

【答案】

3、典型例题

 例1．设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求AUB．

例2．设集合A={x|-1<x<2}，B={x|1<x<3}， 求AUB．

解：A∪B ={x|-1<x<3}

【注意】由不等式给出的集合，研究包含关系或进行运算，常用数轴。

探究二   交集的含义

1、思考：考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？

（1） A=｛2，4，6，8，10｝， B=｛3，5，8，12｝， C=｛8｝．

（2）A=｛x|x是立德中学今年在校的女同学｝，

          B=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级同学｝，

          C=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学｝．

【答案】 集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的．

2.交集的概念： 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersection set）．

记作：A∩B（读作：“A交B”）

       即： A ∩ B ={x| x ∈ A 且x ∈ B}

   说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的公共元素组成的集合．

3、思考：能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？

答：不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝∅.

4、典型例题

例3  立德中学开运动会，设A=｛x|x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学｝，B=｛ x|x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学｝，

求

解： 就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合．

    所以，=｛x|x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学｝.

例4.设平面内直线上点的集合为,直线上点的集合为,试用集合的运算表示直线的位置关系.

5、思考：下列关系式成立吗？

（1）（2）。

【答案】成立

探究三： 补集的概念

1.在研究问题时，我们经常需要研究对象的范围，在不同范围研究同一问题，可能有不同的结果

问题：  在下面范围内解方程

  (1) 有理数范围  

(2)实数范围      

2、全集与补集的定义

（1）全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

（2）对于一个集合A ，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集,简称为集合A的补集．

记作：

        即：={x| x ∈ U 且xA}

说明：补集的概念必须要有全集的限制．

3、例题

例5．设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求．

解：根据题意可知：

    U={1，2，3，4，5，6，7，8}，

所以：={4，5，6，7，8}， 

    = {1，2，7，8}．

例6．设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B，。

例7.              已知全集U=R，集合

解：。

4.性质：（1）；（2）

通过初中所学及实例，引发学生的思考，大胆猜想.

通过实例，让学生感知、了解，进而概括出并集的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。

用图形来表示并集，提高学生用数形结合法解决问题的能力。

加深对并集的理解。

通过思考进一步理解并集，教会学生解决和研究问题。

通过例题巩固并集，提高学生解决问题的能力。

通过实例，让学生感知、了解，进而概括出并集的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。

通过思考进一步理解交集，教会学生解决和研究问题。

通过例题巩固交集，提高学生解决问题的能力。

提高思考，加深对交集的理解。

引出学习补集和全集的重要性。

学生通过对实例的思考，去体验知识方法。发现并提出数学问题，应用数学语言予以达。

三、达标检测

1．设集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则A∩B＝(　　)

A．{2,3}    B．{0,1}C．{0,1,4}  D．{0,1,2,3,4}

【解析】　因为集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，所以A∩B＝{2,3}，故选A.

【答案】　A

2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，则A∪B＝(　　)

A．(2,3)   B．[－1,5]  C．(－1,5)   D．(－1,5]

【解析】　∵集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，∴A∪B＝{－1≤x≤5}．故选B.

【答案】　B

3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B＝(　　) B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}

【解析】　因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，则(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．

4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.

【解析】　∵A＝{x|1≤x＜a}，∁UA＝{x|2≤x≤5}，

∴A∪(∁UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，

且A∩(∁UA)＝∅，因此a＝2.

【答案】　2

5．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，求： (1)A∪B；(2)C∩B.

【解】　(1)由集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，把两集合表示在数轴上如图所示：

得到A∪B＝{x|2＜x＜10}．

(2)由集合B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，

则C∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1、并集、交集、补集

   A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，

   A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；

   。

（2）利用数轴或Venn图求交集、并集、补集；

（3）性质A∩A＝A，A∪A＝A，

         A∩，A∪＝A；

         A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A；

         。

五、作业

习题1.3    1,4题

通过总结，让学生进一步巩固集合的基本运算与性质，提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识。