突破1.3 集合的基本运算（重难点突破）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训（人教A版2019必修第一册）

突破1.3 集合的基本运算一、考情分析二、经验分享1、并集（1）．并集的概念一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示： （1） （2） （3）由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．（2）．并集的性质对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：（1），； （2）；（3）； （4）．交集（1）．交集的概念一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示： （1）A与B相交（有公共元素） （2），则 （3）A与B相离（）注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．（2）．交集的性质（1）； （2）；（3）； （4）．全集与补集（1）．全集的概念一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+科网说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集．（2）．补集的概念对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．若，则或，二者必居其一．（3）．全集与补集的性质设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）．三、题型分析重难点题型1 并集及其运算例1．(1)（2021·全国高一课时练习）已知集合，则（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据集合并集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合，根据集合并集的概念及运算，可得.故选：A.(2)．（2021·江苏高一课时练习）已知集合，，那么集合等于（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】用列举法表示出集合，进而可得.【详解】因为，又，所以.故选：C.（3）．（2021·江苏高一）已知集合，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的并集运算即可得出结果.【详解】故选：D【变式训练1-1】．（2021·江苏高一专题练习）已知集合，，则（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】按并集的定义即可得答案.【详解】，，所以.故选：A.【变式训练1-2】．（多选题）（2020·唐山市丰润区第二中学高一月考），则集合可能是（ ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】将符合条件的集合列举出来即可得解.【详解】因为，则集合可能是：、、、.故选：ABD. 重难点题型2 交集及其运算例2．（1）（2020·江苏扬州市·仪征市第二中学高三月考）已知集合，则=A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，，则．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．（2）．（2021·全国高一单元测试）（多选题）已知集合，则可能为（ ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由已知可知集合必含有元素4和5，但不能含有，从而可得选项.【详解】解：因为集合，可得集合必含有元素4和5，但不能含有，根据选项，可得集合可能为，，故选：BC【点睛】此题考查了集合的交集运算，属于基础题. （3）．（2020·全国高三专题练习（理））已知集合，则A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合B再求出交集.【详解】，∴，则，故选A．【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.【变式训练1-1】．（2020·全国高三专题练习（文））已知集合，，则A． B． C． D．【答案】A【分析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合中的元素，最后求得结果.【详解】详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.【变式训练1-2】．（2021·全国高三专题练习（文））已知集合，，则A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果．【详解】解：由集合A得,所以故答案选C.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．【变式训练1-3】．（2021·上海交大附中高一开学考试）设集合，，.则实数_______.【答案】【分析】由可得，从而得到，即可得到答案.【详解】因为，所以，显然，所以，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查利用集合的基本运算求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题. 重难点题型3 全集与补集及其运算例3．（1）（2021·北京市陈经纶中学高二月考）已知集合，则A． B．C． D．【答案】B【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式得，所以，所以可以求得，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.（2）．（2020·贵阳市清镇养正学校高一期中）设集合，则=A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：由补集的概念，得，故选C．【考点】集合的补集运算【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．【变式训练3-1】．（2020·翁牛特旗乌丹第二中学高一期中）设全集，集合，则__________．【答案】或【分析】根据补集的定义，利用数轴观察集合在全集下的补集.【详解】因为，，所以或.【点睛】集合中求补集时，要注意端点是否可取到.【变式训练3-2】．（2020·扬州中学教育集团树人学校）（多选）设全集，，，则的值是A．2 B．8 C．-2 D．-8【答案】AB【分析】根据全集，，可快速判断，再根据对应关系确定，解绝对值即可求得【详解】，，解得或8.答案选A、B【点睛】本题考查根据集合的补集确定集合中元素，进而求解参数问题，属于基础题 重难点4 交集、并集与补集混合运算例4．（1）（2020·江苏省江浦高级中学）（多选题）已知集合，集合，则（ ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】对两个集合中的元素所具有的性质分别化简，使其都是含有相同的分母表达式，再比较分子可得答案.【详解】由题意可知：，集合，代表所有的偶数，代表所有的整数， 所以，即．故选：BD．【点睛】本题考查两个集合之间的基本关系，要求对集合中的元素所具有的性质能进行化简.（2）．（2018·江西高三一模（理））已知为实数集，集合，，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】首先确定集合A,B，然后结合Venn图求解阴影部分表示的集合即可.【详解】求解分式不等式可得，求解二次不等式可得，则，韦恩图中阴影部分表示的集合为，即.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的交并补运算，Venn图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.例5．（2020·江苏省板浦高级中学高一月考）设全集，集合，（1）求．（2）求【答案】（1）.（2）【分析】（1）先求，再求；（2）先求，再求.【详解】（1）因为全集，集合所以，所以.（2）集合，所以,又全集，所以例6．（2020·江西省兴国县第三中学高一月考）设集合，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）本题首先可通过求解得出，然后通过得出或，最后通过检验即可得出结果；（2）本题首先可通过得出，然后分为、中有一个元素、中有两个元素三种情况进行计算，通过判别式以及检验即可得出结果.【详解】（1），即，解得或，，因为，所以，解得或，若，，或，，满足题意；若，，或，，满足题意，故或.（2）因为，所以，若，则，解得；若中有一个元素，则，解得，此时，解得，，不满足题意；若中有两个元素，则，，无解，不满足题意，综上所述，的取值范围为.例7．（2021·江西高一期末）已知全集，集合，或，（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)根据题意，画出数轴即可得到；(2)现根据题意，求出，再结合，即可求出实数的取值范围.【详解】(1)根据题意得，.(2)根据题意得，或，因此，又因，所以，解得.例8．（2020·景谷傣族彝族自治县第一中学高一月考）设集合，集合．（1）求使的实数的取值范围；（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）;（2）存在，.【分析】（1），即.集合是一元二次方程的解集，要对方程是否有实数根、有几个实数根进行分类讨论；（2）与是对立的，可先求出时的取值范围，再对该范围求补集即可.【详解】（1）因为，即.因为集合，所以，所以，①当时，，，所以，成立，所以，②当时，，由，得，所以且，综上， .（2）因为，，所以①时，，此时成立，所以，②时，，若，则，③时，，若，则，所以，时或，所以，时，即存在实数，使成立，.【点睛】本题考查集合之间的关系与运算，同时考查学生的转化与推理计算、分类讨论的能力，属于难题.，即，把两个集合之间的交集运算转化成两个集合之间的子集关系；集合是含参数的一元二次方程，方程根的情况是由决定的，所以需对的取值进行分类讨论；当集合的一元二次方程有解时，两个根的大小关系如何，需要对方程根的大小关系分类讨论；当两个根的大小关系确定时，借助于实数轴考虑对列式计算，如果直接列式情况较多，可考虑“正难则反”的数学思想，先解的答案，再得的答案.