高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第1课时教案及反思

《1.3集合的基本运算》教学设计

第1课时

一．教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章集合与常用逻辑用语的第三节 集合的基本运算（第一课时）。以下是本节两个课时的安排：

 二，学情分析

 学生在学习了集合间的基本关系以后，自然会对集合能否进行运算有所疑问，本节将要学习的集合的三种运算，可以说符合学生的认知规律。值得一提的是，学生的感性思维还是主流，应当借助形象的图示与实例进行教学，化抽象为形象，才能更贴近学生的认知形成规律。

三．学习目标

1. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求简单集合的并、交运算，培养数学运算的核心素养；
2. 能使用图或数轴表示集合的关系及运算，提升直观想象的核心素养。

3. 通过集合的并集、交集的运算及应用，体会数形结合、函数与方程、转化与划归等数学思想.

四．教学重点

重点： 并集与交集的含义，用集合语言表达数学对象或数学内容。

难点： 弄清交集、并集的含义，认识数学符号之间的区别与联系

五．教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

【问题1】某兴趣小组有20名学生，学号分别是1，2，3，…，20，现新到a，b两本新书，已知学号是偶 数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b.问：

(1)    至少读过一本书的有哪些学生？

(2)    同时读了a，b两本书的有哪些学生？

(3)    一本书也没有读的有哪些学生？

【提示】　(1) 至少读过一本书的学生有2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20.

(2)    同时读了a，b两本书的学生有6，12，18.

(3) 一本书也没有读的学生有1,5,7，11，13，17,19.

2. 探索交流，解决问题

【思考1】设集合A={读过新书a}，B={读过新书b}，上述问题，与集合A，B的运算有什么联系？

【提示】 集合A={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} ，B={3,6,9,12,15,18}，

则{至少读过一本书的学生}=，{同时读了a，b两本书的学生}=，{一本书也没有读的学生}=，这就是本节课和下一节课所要学习的集合的基本运算。

【设计意图】

通过问题与思考题的探究，引导学生探索集合的运算，培养数学抽象的核心素养。

（二）并集

【思考2】

考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？

（1） A=｛1，3，5｝， B=｛2，4，6｝， C=｛1，2，3，4，5，6｝．

（2）A=｛x|x是有理数｝， B=｛x|x是无理数｝，C=｛x|x是实数｝．

【提示】  集合C是由所有属于集合A或属于B的所有元素组成的．

并集定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union set)，记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，如图，可用Venn图表示．

【思考3】  （1）集合AB中的元素具有什么特点？

（2）集合A有3个元素，集合B有4个元素，那么集合中元素一定是7个吗？

【提示】    （1）将两个集合中的元素合并在一起，即可得到并集中的元素。

（2）求两个集合的并集时，公共元素在并集中只能出现一次，所以集合中元素不一定是7个，只有当集合A，B无公共元素时，才可以说集合中元素是7个。

【探究1】

（1）下列关系式成立吗？①

（2）若则A∪B与B有什么关系？反之，是否成立？

（3） 集合A∪B与A的关系是什么？与B呢？

【结论】

并集的运算性质

①A∪B＝B∪A；       ②A∪A＝A；

③A∪∅＝∅∪A＝A；    ④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；

⑤A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B.

【做一做】

 若集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　)

A．{0,1}　　　　　　 B．{－1,0,1}

C．{0,1,2}  D．{－1,0,1,2}

[答案] D

【设计意图】

通过问题探究，使学生深入理解并集的概念及性质，培养数学抽象的核心素养。

 （三）交集

【思考4】

考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？

（1） A=｛2，4，6，8，10｝， B=｛3，5，8，12｝， C=｛8｝．

（2）A=｛x|x是立德中学今年在校的女同学｝，

          B=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级同学｝，

          C=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学｝．

【提示】 集合C是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的．

交集定义

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，可用Venn图表示．

【思考5】

（1）如何理解“且”的含义？

（2）能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？

【提示】

（1）交集中的元素既属于集合A，又属于集合B ,是由两个集合的公共元素组成的集合。

（2）不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝∅.

【探究2】

（1）下列关系式成立吗？

①；②

（2）若,则与A有什么关系？如何证明？反之，是否成立？

（3）与A有什么关系？与B呢？

交集的性质：

①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；

③A∩∅＝∅；④若A⊆B，则A∩B＝A；

⑤(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B.

【做一做】已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(　　)

A．{0,2}  B．{1,2}

C．{0}  D．{－2，－1,0,1,2}

[答案]　A

[解析]　由题意知A∩B＝{0,2}．

【设计意图】

通过问题探究学习，使学生掌握交集的概念及性质，强化数学抽象的核心素养。

（四）集合的交、并运算

1.集合的并集运算

例1.（1）设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　)

A.{0}　　　　　　 　  B.{0,2}

C.{－2,0}  D.{－2,0,2}

（2）已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，则A∪B=        

【思维引导】   由并集的定义，结合数轴求解。

[答案]　（1）D   （2）{x|x≤－2，或x>1}

[解析]　（1）M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，

所以M∪N＝{－2,0,2}。

（2）将x≤－2或x>5及1<x≤7在数轴上表示出来，如图所示：

由并集的定义，图中阴影部分即为所求，∴A∪B＝{x|x≤－2，或x>1}．

【类题通法】求集合并集的2种方法

(1)           定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集  

合运算的结果．

(2)           数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点

       不在集合中时，应用“空心点”表示．

提醒：若两个集合中有相同元素，在求其并集时只能算作一个.

【巩固练习1 】

(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(　　)

A．{－1,2,3}    B．{－1，－2,3}

C．{1，－2,3}   D．{1，－2，－3}

(2)若集合A＝{x|－2≤x＜3}，B＝{x|0≤x＜4}，则A∪B＝________.

[答案]　(1)C　(2){x|－2≤x＜4}

[解析]　　(1)A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，

∴A∪B＝{1，－2,3}．

(2)将－2≤x＜3与0≤x＜4在数轴上表示出来．

根据并集的定义，图中阴影部分即为所求，

∴A∪B＝{x|－2≤x＜4}．

2.集合的交集运算

例2.（2021·全国甲卷）设集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

[答案]　B

[解析]　 集合，如图所示，

由图可知，故选.

【类题通法】求集合交集的2个注意点

(1)求两集合交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．

(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．

【巩固练习2 】

（1） （2021·四川凉山彝族自治州高三三模）已知集合，，则（    ）

A．   B．   C． D．

（2）已知集合，，则（    ）

A．或 B．或或

C． D．

[答案]　（1）B   （2）D.

【解析】（1）由得，所以．故选：B．

（2），，

因此， .

3.交集、并集的性质及应用

例3. 已知集合A＝{x|－3<x≤4}，B＝{x|2－k≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，求k的取值范围． 

【思维导引】  若A∪B＝A，则B⊆A,利用数轴求解.

【解答】

【类题通法】由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点

(1)策略：当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝B转化为A⊆B.

(2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．

(3)注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．

【巩固练习3】  

已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1，或x>5}，若A∩B＝A，求a的取值范围．

【解答】　∵A∩B＝A，∴A⊆B.

(1)若A＝∅，则2a>a＋3，a>3；

(2)若A≠∅，如图所示：

则有或

解得a<－4或<a≤3.

综上所述，a的取值范围是.

【设计意图】

通过例题学习，使学生掌握并集、交集的运算、性质及应用，会根据集合的运算求解有关参数的问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养。

（六）操作演练  素养提升

1．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则A∪B等于(　　)

A．{1,6,5,6,8}   B．{1,5,6,8}

C．{0,2,3,4,5}   D．{1,2,3,4,5}

2.已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于(　　)

A．{x|x>－1}   B．{x|x<2}

C．{x|－1<x<2}   D．∅

3.若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|0<x≤3}，则A∪B＝_____，A∩B＝________.

【答案】    1.B       2.C          3.　{x|－1≤x≤3}　{x|0<x<2}

【设计意图】

通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。

（七）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。

 六．布置作业

完成教材：第144页  练习1

第155页第3题、第7题.