人教版新课标A选修1-12.1椭圆教案

这是一份人教版新课标A选修1-12.1椭圆教案，共5页。

1．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”．那么甲是乙成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．[2011·课标全国卷] 椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
3．若椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,m2)＝1过点(－2，eq \r(3))，则其焦距为( )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(5) C．4eq \r(3) D．4eq \r(5)
4．已知点M(eq \r(3)，0)，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1与直线y＝k(x＋eq \r(3))交于点A、B，则△ABM的周长为________．
eq \a\vs4\al\c1(能力提升)
5． [2011·执信中学月考] 若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
6．椭圆kx2＋(k＋2)y2＝k的焦点在y轴上，则k的取值范围是( )
A．k>－2 B．k<－2
C．k>0 D．k<0
7．[2011·铁岭三校二联] 椭圆x2＋my2＝1的离心率为eq \f(\r(3),2)，则m的值为( )
A．2或eq \f(1,2) B．2
C．4或eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)
8．若长轴在y轴上的椭圆的一个焦点到长轴两个端点的距离之比为eq \f(1,4)，短轴长为8，则椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,20)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,50)＝1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,25)＝1
9．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的短轴的长为( )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(6)
C．4eq \r(2) D．4eq \r(3)
10．椭圆的中心在原点，一个焦点是F(0,2)，离心率是eq \f(\r(6),3)，则椭圆的标准方程是________．
11．已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1上，则eq \f(sinA＋sinC,sinB)＝________.
12．若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
13．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点到直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1的距离为b，则椭圆的离心率为________．
14．(10分)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为eq \f(4\r(5),3)和eq \f(2\r(5),3)，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
15．(13分)[2011·陕西卷] 设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为eq \f(3,5).
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为eq \f(4,5)的直线被C所截线段的中点坐标．
eq \a\vs4\al\c1(难点突破)
16．(12分)[2011·福州质检] 已知椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(常数m、n∈R＋，且m>n)的左、右焦点分别为F1，F2，M、N为短轴的两个端点，且四边形F1MF2N是边长为2的正方形．
(1)求椭圆方程；
(2)过原点且斜率分别为k和－k(k≥2)的两条直线与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1的交点为A、B、C、D(按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内)，求四边形ABCD的面积S的最大值．
课时作业(四十九)
【基础热身】
1．B [解析] 当“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”时，则有“|PA|＋|PB|是定值”；反之，当 “|PA|＋|PB|是定值”时，点P的轨迹可能是线段或无轨迹．故选B.
2．D [解析] 由题意a＝4，c2＝8，∴c＝2eq \r(2)，所以离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(2),4)＝eq \f(\r(2),2).
3．C [解析] 把点(－2，eq \r(3))的坐标代入椭圆方程得m2＝4，所以c2＝16－4＝12，所以c＝2eq \r(3)，故焦距为2c＝4eq \r(3).故选C.
4．8 [解析] y＝k(x＋eq \r(3))，过定点N(－eq \r(3)，0)，而M、N恰为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.
【能力提升】
5．B [解析] 依题意有2b＝a＋c，所以4(a2－c2)＝(a＋c)2，整理得3a2－2ac－5c2＝0，解得a＋c＝0(舍去)或3a＝5c，所以e＝eq \f(3,5).故选B.
6．B [解析] 将椭圆方程化为x2＋eq \f(k＋2y2,k)＝1，若椭圆的焦点在y轴上，则必有07．C [解析] (1)当焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝eq \f(1,m)>0，
所以c2＝1－eq \f(1,m)>0，所以m>1，且e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(1,m))＝eq \f(\r(3),2)，解得m＝4.
(2)当焦点在y轴上时，a2＝eq \f(1,m)>0，b2＝1，所以c2＝eq \f(1,m)－1>0，所以08．A [解析] 依题意知eq \f(a－c,a＋c)＝eq \f(1,4)，即3a＝5c，又b＝4，∴a2＝16＋c2＝16＋eq \f(9,25)a2，解得a2＝25.故选A.
9．D [解析]依题意得|AC|＝5，所以椭圆的焦距为2c＝|AB|＝4，长轴长2a＝|AC|＋|BC|＝8，所以短轴长为2b＝2eq \r(a2－c2)＝2eq \r(16－4)＝4eq \r(3).故选D.
10.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,6)＝1 [解析] 由已知，得c＝2，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，所以a＝eq \r(6)，b2＝a2－c2＝2.又焦点在y轴上，所以椭圆方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,6)＝1.
11．2 [解析] 易知A，C为椭圆的焦点，故|BA|＋|BC|＝2×6＝12，又|AC|＝6，由正弦定理知，eq \f(sinA＋sinC,sinB)＝eq \f(|BA|＋|BC|,|AC|)＝2.
12.eq \f(\r(2),2)≤e<1 [解析] 由题意知，以半焦距c为半径的圆与椭圆有公共点，故b≤c，所以b2≤c2，即a2≤2c2，
所以eq \f(\r(2),2)≤eq \f(c,a).又eq \f(c,a)<1，所以eq \f(\r(2),2)≤e<1.
13.eq \f(\r(3)－1,2) [解析] 椭圆的左焦点为(－c,0)，直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，化为bx＋ay－ab＝0，依题意有eq \f(|－bc－ab|,\r(a2＋b2))＝b，化简得(a＋c)2＝a2＋b2.又b2＝a2－c2，所以有2c2＋2ac－a2＝0，即2e2＋2e－1＝0，解得e＝eq \f(－1－\r(3),2)(舍去)，或e＝eq \f(\r(3)－1,2).
14．[解答] 设两焦点为F1、F2，且|PF1|＝eq \f(4\r(5),3)，|PF2|＝eq \f(2\r(5),3).
由椭圆定义知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(5)，即a＝eq \r(5).
由|PF1|>|PF2|知，|PF2|垂直焦点所在的对称轴，
所以在Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2＝eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(1,2)，
可求出∠PF1F2＝eq \f(π,6)，2c＝|PF1|·cseq \f(π,6)＝eq \f(2\r(5),\r(3))，
从而b2＝a2－c2＝eq \f(10,3).
所以所求椭圆方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(3y2,10)＝1或eq \f(3x2,10)＋eq \f(y2,5)＝1.
15．[解答] (1)将(0,4)代入椭圆C的方程得eq \f(16,b2)＝1，∴b＝4.
又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)得eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(9,25)，即1－eq \f(16,a2)＝eq \f(9,25)，∴a＝5，
∴C的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为eq \f(4,5)的直线方程为y＝eq \f(4,5)(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝eq \f(4,5)(x－3)代入C的方程，得
eq \f(x2,25)＋eq \f(x－32,25)＝1，
即x2－3x－8＝0.
解得x1＝eq \f(3－\r(41),2)，x2＝eq \f(3＋\r(41),2)，
∴AB的中点坐标eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(3,2)，
eq \x\t(y)＝eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(2,5)(x1＋x2－6)＝－eq \f(6,5).
即中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(6,5))).
【难点突破】
16．[解答] (1)依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－n＝n，,2\r(n)＝2\r(2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4，,n＝2，))
所求椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)设A(x，y)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得Aeq \f(2,\r(1＋2k2))，eq \f(2k,\r(1＋2k2)).
根据题设直线图象与椭圆的对称性，知
S＝4×eq \f(2,\r(1＋2k2))×eq \f(2k,\r(1＋2k2))＝eq \f(16k,1＋2k2)(k≥2)．
所以S＝eq \f(16,\f(1,k)＋2k)(k≥2)，
设M(k)＝2k＋eq \f(1,k)，则M′(k)＝2－eq \f(1,k2)，
当k≥2时，M′(k)＝2－eq \f(1,k2)>0，
所以M(k)在k∈[2，＋∞)时单调递增，
所以[M(k)]min＝M(2)＝eq \f(9,2)，
所以当k≥2时，Smax＝eq \f(16,\f(9,2))＝eq \f(32,9).