初中数学北师大版七年级下册3 探索三角形全等的条件教学设计

《3.3探索三角形全等的条件》

教学目标：

使学生掌握并初步学会应用三角形全等的判定——边角边公理.

教学重点：

1．指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．

2．三角形全等证明的书写格式.

教学难点：

1．指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．

2．三角形全等证明的书写格式.

教学过程：

一、复习提问

1．怎样的两个三角形是全等三角形？

2．全等三角形的性质？

3．指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：

图（1）中：△ABD≌△ACE，AB与AC是对应边；

图（2）中：△ABC≌△AED，AD与AC是对应边．

二、新课

1．三角形全等的判定

（1）全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：

如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，

∠AOB＝∠COD，

BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

（附注：此外，还可以图1（1）中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数，也将与△ABD重合．图1（2）中的△ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把△ADE沿着AE（AB）翻折180°．两个三角形也可重合）

由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：

（1）读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

（2）把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

3．边角边公理．

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）

三、三角形全等判定的应用

1．填空：

（1）如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB（已知），二是（    ）＝（    ）；还需要一个条件（    ）＝（    ）（这个条件可以证得吗？）．

（2）如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：（    ）＝（    ），（    ）＝（    ）（这个条件可以证得吗？）．

2．例题

例1、已知：AD∥BC，AD＝ CB（图3）．

求证：△ADC≌△CBA．

问题：如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置（如图5），那么要证明△ADF≌ △CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件（AF＝CE或AE＝CF）？怎样证明呢？

例2、已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2（图4）．求证：△ABD≌△ACE．

四、小结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．

3．证明的书写格式：

（1）通过证明，先把题设中的间接条件转化成为可以直接用于判定三角形全等的条件；

（2）再写出在哪两个三角形中：具备按边角边的顺序写出可以直接用于判定全等的三个条件，并用括号把它们括起来；

（3）最后写出判定这两个三角形全等的结论．

五、作业：

1.已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF．

2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．