高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时导学案，共14页。

第2课时　单调性与最值
学习目标　1.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的单调区间.3.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．

知识点　正弦函数、余弦函数的单调性与最值

正弦函数
余弦函数
图象


定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增，
在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，
在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都单调递减
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1

思考　正弦、余弦函数在定义域上是单调函数，正弦函数在第一象限是增函数，这些说法对吗？
答案　正弦、余弦函数不是定义域上的单调函数．因为正弦、余弦函数有递增和递减区间，“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调递增区间上，y＝sin x都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间．

1．函数y＝2cos x＋1的值域为________．
答案　[－1,3]
2．函数y＝sin x取最大值时x＝________.
答案　＋2kπ，k∈Z
3．函数y＝sin x的值域为________．
答案　[0,1]
4．函数y＝－cos x的单调递减区间是________________；单调递增区间是________________．
答案　[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)

一、求正弦函数、余弦函数的单调区间
例1　求函数y＝2sin的单调区间．
解　令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增(减)时，
函数y＝2sin也单调递增(减)．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为(k∈Z)．
延伸探究
1．求函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调区间．
解　由例题知f(x)＝2sin的单调递增区间为，k∈Z，
又∵x∈[0,2π]，
∴0≤x≤或≤x≤2π，
同理函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调递减区间为.
∴函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调递增区间为，，单调递减区间为.
2．求函数y＝sin的单调递增区间．
解　y＝sin＝－sin，
令z＝x－，而y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.
(学生留)
反思感悟　求正弦、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上．
跟踪训练1　(1)函数y＝sin，x∈[0,2π]的单调递减区间为________．
答案　，
解析　y＝sin＝－sin，
令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
又x∈[0,2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π，
∴原函数的单调递减区间为，.
(2)求函数y＝2cos的单调区间．
解　令2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
即2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴单调递增区间为(k∈Z)．
令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴单调递减区间为(k∈Z)．
∴函数y＝2cos的单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)．
二、比较三角函数值的大小
例2　比较下列各组数的大小：
(1)sin 220°与sin 230°；
(2)cos 与cos ；
(3)sin与cos.
解　(1)因为函数y＝sin x在[90°，270°]上单调递减，且90°<220°<230°<270°，所以sin 220°>
sin 230°.
(2)cos ＝cos＝cos ，
cos ＝cos＝cos .
因为函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0<<<π，
所以cos >cos ，
故cos >cos .
(3)sin＝sin ＝－sin ，cos＝cos ＝－cos ＝－sin .
因为函数y＝sin x在上单调递增，而－<<<，
所以sin －sin .
故sin>cos.
反思感悟　比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练2　比较下列各组数的大小：(1)cos与cos；
(2)cos 1与sin 2.
解　(1)cos＝cos ＝cos＝－cos ，
而cos ＝－cos ，
∵函数y＝cos x在上单调递减，且0<<<，∴cos>cos.
∴－cos <－cos ，∴cos (2)∵1∈，∴cos 1＝sin，
∵y＝sin x在上单调递减，
又＋1,2∈，且＋1>2，
∴sin 即cos 1 三、正弦函数、余弦函数的最值(值域)
例3　求下列函数的值域：
(1)y＝cos，x∈；
(2)y＝cos2x－4cos x＋5，x∈R.
解　(1)由y＝cos，x∈，可得x＋∈，
因为函数y＝cos x在区间上单调递减，所以函数的值域为.
(2)y＝cos2x－4cos x＋5，令t＝cos x，x∈R，
则－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，－1≤t≤1，
当t＝－1时，函数取得最大值10；
当t＝1时，函数取得最小值2，
所以函数的值域为[2,10]．
反思感悟　三角函数值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．
跟踪训练3　已知f(x)＝2sin＋1，x∈，求f(x)的最大值和最小值．
解　∵x∈，∴－≤2x－≤，
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－＋1，
当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝3，
综上，当x＝0时，f(x)min＝－＋1，
当x＝时，f(x)max＝3.

正弦函数、余弦函数的对称性
典例　函数y＝sin的图象的对称轴方程是________，对称中心的坐标是________．
答案　x＝π＋(k∈Z)　(k∈Z)
解析　根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线均是对称轴，而函数图象与x轴的交点均为对称中心．
要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，所以x＝＋(k∈Z)，
即对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，
而函数y＝sin的图象与x轴的交点即为对称中心，
所以令y＝0，即sin＝0，
所以2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－(k∈Z)，
故函数y＝sin的图象的对称中心的坐标为(k∈Z)．
[素养提升]　正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.通过该类问题，培养直观想象的核心素养．

1．函数y＝－cos x在区间上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先减后增 D．先增后减
答案　C
解析　因为y＝cos x在区间上先增后减，
所以y＝－cos x在区间上先减后增．
2．(多选)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　)
A．y轴 B．直线x＝－
C．直线x＝ D．直线x＝π
答案　BC
解析　当x＝时，y取最大值，∴x＝是一条对称轴，
当x＝－时y取最小值，∴x＝－是一条对称轴．
3．下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11° B．sin 168° C．sin 11° D．sin 168° 答案　C
解析　∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.
∴由正弦函数的单调性，得sin 11° 即sin 11° 4．函数y＝3－4cos的最大值为________，此时自变量的取值集合为________．
答案　7　
解析　当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)max＝3＋4＝7.
5．函数f(x)＝cos的单调递减区间是__________．
答案　(k∈Z)
解析　令2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即f(x)＝cos的单调递减区间是(k∈Z)．

1．知识清单：
(1)正弦、余弦函数的单调区间．
(2)比较三角函数值的大小．
(3)正弦、余弦函数的最值(值域)．
(4)正弦、余弦函数的对称性．
2．方法归纳：整体代换、换元法．
3．常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围．


1．函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由y＝|sin x|的图象知，该函数在上单调递增．
2．对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
答案　B
解析　因为函数y＝sin x在上单调递减，
所以f(x)＝sin 2x在上单调递减，故A错误；
因为f(－x)＝sin[2(－x)]＝sin(－2x)
＝－sin 2x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；
f(x)的最小正周期为π，故C错误；
f(x)的最大值为1，故D错误．
3．(多选)下列不等式中成立的是(　　)
A．sin>sin B．cos 400°>cos
C．sin 3>sin 2 D．sin >cos 
答案　BD
解析　y＝sin x在上单调递增，又－<－，
∴sin cos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故B成立．
y＝sin x在上单调递减，
又<2<3<π，∴sin 2>sin 3，故C不成立．
sin ＝－sin ，
cos ＝－cos ＝－sin＝－sin .
∵0<<<，且y＝sin x在上单调递增．
∴sin cos ，故D成立．
4．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　C
解析　∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
∴y＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
5．函数y＝cos2x＋sin x的最大值为(　　)
A．2 B. C．1 D．0
答案　B
解析　y＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x，
令t＝sin x，t∈[－1,1]，
y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
当t＝时，ymax＝.
6．函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________．
答案　(－π，0]
解析　因为y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有－π 7．函数f(x)＝sin，x∈[0，π]的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
答案　　
解析　f(x)＝－sin，
令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，f(x)单调递减．
又0≤x≤π，所以0≤x≤，
即f(x)的单调递减区间为，
同理f(x)的单调递增区间为，
所以f(x)在x∈[0，π]上的单调递减区间为，单调递增区间为.
8．若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.
答案　±2
解析　当a>0时，得
所以ab＝2.
当a<0时，得
所以ab＝－2，
综上所述ab＝±2.
9．已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
解　(1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，
解得－≤x≤－(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
即x＝－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
10．设函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
解　(1)最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
所以当t＝，即x＝时，ymin＝×＝－1，
当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.

11．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，则φ可能是(　　)
A. B．－ C．－ D.
答案　B
解析　由题意知，当x＝时，
f ＝sin＝0，
故＋φ＝kπ(k∈Z)，
解得φ＝kπ－(k∈Z)．
当k＝0时，φ＝－，故φ可能是－.
12．(多选)设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的一个周期为2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
答案　ABC
解析　A显然正确．
f(x)的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，
即x＝－＋kπ，k∈Z，当k＝3时，x＝，故B正确．
令f(x)＝0，∴x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，令k＝0，∴x＝为f(x)的一个零点，故C正确．
令t＝x＋，当x∈时，t∈，
由y＝cos t的图象知y＝cos t在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
13．设函数f(x)＝2sin.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　　)
A．4 B．2 C．1 D.
答案　B
解析　依题意得f(x1)是f(x)的最小值，f(x2)是f(x)的最大值．因此|x1－x2|＝T(k∈Z)．
∴当k＝0时，|x1－x2|min＝T＝×＝2.
14．函数f(x)＝3cos2x－4cos x＋1，x∈，当x＝________时，f(x)最小且最小值为________．
答案　　－
解析　令t＝cos x，x∈，∴t∈，
y＝3t2－4t＋1＝32－.
∵y＝32－在t∈上单调递减，
∴当t＝，即x＝时，
ymin＝3×2－4×＋1＝－.

15．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和为________．
答案　2π
解析　作出函数y＝sin x的图象，如图所示．由图可知，

b－a的最大值为－＝，
b－a的最小值为－＝.
所以最大值与最小值之和为＋＝2π.
16．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin α)>f(cos β)．
证明　由f(x＋1)＝－f(x)，
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上单调递增，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增．
又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β>，
即>α>－β>0，
因为y＝sin x在上单调递增，
所以sin α>sin＝cos β，
且sin α∈[0,1]，cos β∈[0,1]，
所以f(sin α)>f(cos β)．