2021学年5.4 三角函数的图象与性质第1课时学案

5.4.2第1课时   正、余弦函数的周期性与奇偶性

学习目标

知识梳理

1．函数的周期性

(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

名师导学

知识点1    正、余弦函数的周期性

【例】求下列函数的最小正周期：

(1)ƒ(x)＝cos；

(2)ƒ(x)＝|sin x|.

反思感悟　

求三角函数的周期的方法

(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；

(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝来求；

(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．　　　　

变式训练

1．函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B．π

C．2π  D．4π

2．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值为________．

知识点2    正、余弦函数的奇偶性问题

【例】判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝cos＋x2sin x；

(2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x；

(3)f(x)＝＋.

反思感悟　

判断函数奇偶性的方法

变式训练

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝|sin x|＋cos x；

(2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x.

知识点3    奇偶性、周期性的综合应用

【例】定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(　　)

A．－   B.

C．－   D.

反思感悟　

关于周期性、奇偶性的应用

(1)利用周期性可以将绝对值较大的角变为较小的角，其作用类似于诱导公式(一)，不同在于周期性适用于所有的函数，诱导公式(一)只适用于三角函数．

(2)奇偶性在求值中的作用在于自变量正负值的转化，即f(x)与f(－x)之间的转化求值．　

变式训练

1．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　)

A．1　　　　B．－1      C．0　　　　 D．2

2．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，当x∈时，求f(x)的解析式．

当堂测评

1．函数f(x)＝sin(－x)是(　　)

A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数  D．非奇非偶函数

2．函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则ω等于(　　)

A．5  B．10

C．15  D．20

3．(多选)下列函数中，周期为2π的是(　　)

A．y＝cos   B．y＝cos

C．y＝  D．y＝|cos 2x|

4．若函数f(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称，则a＝________．

5．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．

名师导学

知识点1    正、余弦函数的周期性

【例】求下列函数的最小正周期：

(1)ƒ(x)＝cos；

(2)ƒ(x)＝|sin x|.

[解]　(1)法一(定义法)：∵ƒ(x)＝cos

＝cos

＝cos

＝ƒ(x＋π)，

即ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，

∴函数ƒ(x)＝cos的最小正周期T＝π.

法二(公式法)：∵y＝cos，∴ω＝2.

又T＝＝＝π.

∴函数ƒ(x)＝cos的最小正周期T＝π.

(2)法一(定义法)：∵ƒ(x)＝|sin x|,

∴ƒ(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝ƒ(x)，

∴ƒ(x)的最小正周期为π.

法二(图象法)：∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．

由图象可知最小正周期T＝π.

反思感悟　

求三角函数的周期的方法

(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；

(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝来求；

(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．　　　　

变式训练

1．函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B．π

C．2π  D．4π

解析：选D　函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝4π.

2．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值为________．

解析：∵k>0，∴T＝≤2，即k≥4π，∴正整数k的最小值是13.

答案：13

知识点2    正、余弦函数的奇偶性问题

【例】判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝cos＋x2sin x；

(2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x；

(3)f(x)＝＋.

[解]　(1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．

(2)函数的定义域为R，关于原点对称，

∵f(x)＝cos x－x3·sin x，

∴f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x)

＝cos x－x3·sin x＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(3)由得cos x＝，此时f(x)＝0，f(x)的定义域为，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

反思感悟　

判断函数奇偶性的方法

变式训练

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝|sin x|＋cos x；

(2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x.

解：(1)函数的定义域为R，

又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，

所以f(x)是偶函数．

(2)函数的定义域为R，关于原点对称，

因为f(x)＝cos x－x3·sin x，

所以f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x)

＝cos x－x3·sin x＝f(x)，

所以f(x)为偶函数．

知识点3    奇偶性、周期性的综合应用

【例】定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(　　)

A．－   B.

C．－   D.

【解析】　f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.

【答案】　D

反思感悟　

关于周期性、奇偶性的应用

(1)利用周期性可以将绝对值较大的角变为较小的角，其作用类似于诱导公式(一)，不同在于周期性适用于所有的函数，诱导公式(一)只适用于三角函数．

(2)奇偶性在求值中的作用在于自变量正负值的转化，即f(x)与f(－x)之间的转化求值．　

变式训练

1．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　)

A．1　　　　B．－1      C．0　　　　 D．2

解析：选B.f＝f＝f＝－f＝－1.

2．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，当x∈时，求f(x)的解析式．

解：x∈时，3π－x∈，

因为x∈时，f(x)＝1－sin x，

所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.

又f(x)是以π为周期的偶函数，

所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，

所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.

当堂测评

1．函数f(x)＝sin(－x)是(　　)

A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数  D．非奇非偶函数

解析：选A　由于x∈R，

且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

2．函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则ω等于(　　)

A．5  B．10

C．15  D．20

解析：选B　由题意知T＝＝，所以ω＝10.

3．(多选)下列函数中，周期为2π的是(　　)

A．y＝cos   B．y＝cos

C．y＝  D．y＝|cos 2x|

解析：选BC　y＝cos 的周期为T＝＝4π；

y＝cos的周期为T＝2π；

y＝的周期为T＝2π；

y＝|cos 2x|的周期为T＝.故选B、C.

4．若函数f(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称，则a＝________．

解析：∵f(x)的图象关于直线x＝对称，

∴f(0)＝f，即a＝sin ＋acos ，∴a＝.

答案：

5．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．

解析：因为f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0.

答案：0