人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试课时训练

这是一份人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试课时训练，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。


人教版八年级上册第十四章
整式的乘法与因式分解
一、单选题
1.（2020八下·丹东期末）下列各式中从左到右的变形中，是因式分解的是（   ）
A. m(a+b+c)=ma+mb+mc                             B. x2+6x+36=(x+6)2
C. a2−b2+1=(a+b)(a−b)+1                            D. 10x2−5x=5x(2x−1)
2.（2020七下·汉中月考）计算(－2a)2－3a2的结果是（   ）
A. －a2                                     B. a2                                     C. －5a2                                     D. 5a2
3.（2020·河北）对于① x−3xy=x(1−3y) ，② (x+3)(x−1)=x2+2x−3 ，从左到右的变形，表述正确的是（    ）
A. 都是因式分解                                                       B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算                              D. ①是乘法运算，②是因式分解
4.（2020七下·株洲开学考）下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（    ）
A. (x+1)2=x2+2x+1                                          B. x2+3x−16=x(x+3)−16
C. (x+1)(x−1)=x2−1                                         D. x2−16=(x+4)(x−4)
5.（2021七下·阜南期末）计算 a•a5−(2a3)2 的结果为（   ）
A. a6−2a5                                B. −a6                                C. a6−4a5                                D. −3a6
6.（2020七下·汉中月考）下列计算正确的是（   ）
A. x2+3x2=4x4             B. x2y⋅2x3=2x4y             C. (6x2y2)÷(3x)=2x2             D. (−3x)2=9x2
7.（2020七下·越城期中）已知2a＝3，8b＝6，22a﹣3b+1的值为（　　）
A. 3                                           B. 32                                           C. 2                                           D. 5
8.（2019八下·鼓楼期末）计算3×（ (2018−20182−12×20192×3)2 ﹣2018×（ 2018−20182−12×20192×3 ）+1的结果等于（　　）
A. ﹣2017                                B. ﹣2018                                C. ﹣2019                                D. 2019
9.（2020七下·滨湖期中）任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解： n=s×t （ s 、 t 是正整数，且 s⩽t ），如果 p×q 在 n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 p×q 是 n 的最佳分解，并规定： F(n)=pq .例如18可以分解成 1×18 ， 2×9 ， 3×6 这三种，这时就有 F(18)=36=12 ，给出下列关于 F(n) 的说法：
① F(2)=12 ；② F(48)=13 ；③ F(n2+n)=nn+1 ；④若 n 是一个完全平方数，则 F(n)=1 ，其中正确说法的个数是（    ）
A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 1
10.（2019七下·丹阳期中）已知实数x、y满足等式：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，则x+y的值为（　　）
A. 2                                        B. −12                                        C. ﹣2                                        D. 12
二、填空题
11.（2020七下·泰兴期中）已知 32×9m×27=321 ，求m=________.
12.（2020七下·溧阳期末）(-2020)0 =________.
13.（2020·上虞模拟）因式分解：a²-9b²=________。
14.（2021·丰润模拟）计算： (−a)6÷a3=         ．
15.（2021七下·淳安期末）如图，将长为a cm(a>2)，宽为b cm(b>1)的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为       cm2 ． (用含a、b的代数式表示，结果要求化成最简)

16.（2020·吉林模拟）将一元二次方程x2+4x-1=0变形为(x+m)²=k的形式为 ________。
17.（2020七下·黄岛期中）如图，现有A，C两类正方形卡片和B类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要B类长方形卡片      张．

18.（2019八下·红河期末）我国古代数学领域有些研究成果曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》(1261年)一书中，用图中的三角形解释二项式和的乘方规律．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数都为它的上方(左右)两数之和，这个三角形给出了(a+b)n(n=1，2，3，4，5)的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2展开式中各项的系数，等等．利用上面呈现的规律填空：
(a+b)6=a6+6a5b+________ +20a3b3+15a2b4+ ________+b6


三、计算题
19.（2020八上·西青期末）  
（1）计算： (2m2n−2)2⋅3m−3n3 ；


（2） 先化简，再求值： (x2x−1− 2x1−x)÷ xx−1 ，其中 x = -3 .



四、解答题
20.（2021七下·昌平期末）分解因式： 2a2−2b2 ．


21.（2021八上·东平月考）分解因式
（1）9(m+n)2−(m−n)2
（2）(x2−6x)2+18(x2−6x)+81
（3）−4m3+16m2−26m
（4）（a2+4）2﹣16a2


22. 已知：A=3x2﹣12，B=5x2y3+10xy3 ， C=（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．



23. 计算：（a－b）2m-1·（b－a）2m·（a－b）2m+1 ， 其中m为正整数．



24.（2019·黄埔模拟）已知 {x2a2+y2b2=1(a>b>0)……①x=my+n(m≠0,n≠0)……②
求证： (a2+b2m2)y2+2mnb2y+(n2−a2)b2=0 ．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法运算，故此选项错误；
B、 x2+12x+36=(x+6)2 ，故此选项错误；
C、结果不是积的形式，故此选项错误；
D、 10x2−5x=5x(2x−1) ，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，根据因式分解的定义作答即可.
2.【答案】 B
【考点】合并同类项法则及应用，积的乘方
【解析】【解答】(－2a)2－3a2
=4a2-3a2
=a2 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据积的乘方法则求出前面的单项式，然后根据合并同类型的法则得出答案.
3.【答案】 C
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C．
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；
4.【答案】 D
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
5.【答案】 D
【考点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】 a•a5−(2a3)2
=a6−4a6
=−3a6
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法法则计算求解即可。
6.【答案】 D
【考点】单项式乘多项式，单项式除以单项式，合并同类项法则及应用，积的乘方
【解析】【解答】A. x2+3x2=4x2 ，错误；
B、 x2y⋅2x3=2x5y ，错误；
C、 (6x2y2)÷(3x)=2xy2 ，错误；
D、 (−3x)2=9x2 ，正确，
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘除法法则、积的乘方法则逐一进行计算即可得.
7.【答案】 A
【考点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵2a＝3，8b＝23b＝6，
∴22a﹣3b+1
＝22a÷23b×2
＝（2a）2÷23b×2
＝32÷6×2
＝9÷6×2
＝3．
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘法及除法法则的逆用，将代数式 22a﹣3b+1 变形为（2a）2÷23b×2后整体代入即可算出答案.
8.【答案】 B
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：3× (2018−20182−12×20192×3)2 ﹣2018×（ 2018−20182−12×20192×3 ）+1
＝ 2018−20182−12×20192×3 ×（3× 2018−20182−12×20192×3 ﹣2018）+1
＝﹣ 2018−20182−12×20192×3 × 2018+20182−12×20192 +1
＝﹣ 20182−(20182−12×2019)2×3×2 +1
＝﹣2019+1
＝﹣2018
故答案为：B．

【分析】先利用提公因式法把前两项提取公因式2018−20182−12×20192×3 ， 再利用平方差公式计算，即可求出原式的值为-2018.
9.【答案】 B
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵ 2=1×2 ，
∴ 1×2 是2的最佳分解，
∴ F(2)=12 ，即①正确；
∵ 48=1×48 ， 48=2×24 ， 48=3×16 ， 48=4×12 ， 48=6×8 ，
∴ 6×8 是48的最佳分解，
∴ F(48)=68=23 ，即②错误；
∵ n2+n=n(n+1) ，
∴ F(n2+n)=nn+1 ，即③正确；
若 n 是一个完全平方数，则设 n=a×a （ a 是正整数），
∴ F(n)=aa=1 ，即④正确；
综上所述，①③④正确，共三个，
故答案为：B.
【分析】分别将①②③④中的数或式子进行分解，根据最佳分解的定义进行判断即可.
10.【答案】 D
【考点】因式分解的应用，偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，
x2+4xy+4y2+2x2﹣4x+2＝0，
（x+2y）2+2（x﹣1）2＝0，
则x+2y＝0，x﹣1＝0，
解得，x＝1，y＝﹣ 12 ，
则x+y＝ 12 ，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式把方程的左边化为平方和的形式，根据偶次方的非负性计算即可．
二、填空题
11.【答案】 8
【考点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵ 32×9m×27=321 ，
即 32×2m×33=321 ，
∴ 2+2m+3=21 ，
解得 m=8 ，
故答案为：8.
【分析】根据幂的乘方可得 9m=32m ， 27=33 ，再根据同底数幂的乘法法则解答即可.
12.【答案】 1
【考点】0指数幂的运算性质
【解析】【解答】解： (−2020)0=1 ，
故答案为：1.
【分析】直接根据零指数幂的定义进行求解.
13.【答案】 (a+3b)(a-3b)
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：a²-9b²=(a+3b)(a-3b)
故答案为：(a+3b)(a-3b).
【分析】观察此多项式的特点：含有两项，且两项的符号相反，两项都能写成平方形式，因此利用平方差公式分解因式。
14.【答案】 a3
【考点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解： (−a)6÷a3=a6÷a3=a3 ，
故答案为： a3 ．
【分析】利用同底数幂相除的法则计算即可．
15.【答案】 4b+2a－4
【考点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵空白部分为矩形，此矩形的长为（a-2）cm，宽为（b-1）cm，
∴阴影部分的面积为2ab-2（a-2）（b-1）=2ab-2ab+2a+4b-4=2a+4b-4.
故答案为：2a+4b-4.
【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽，再列式化简，可求出阴影部分的面积.
16.【答案】 (x+2)2=5
【考点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+4x-1=0
x2+4x+4-4-1=0
（x+2）2=5.
【分析】根据题意，利用完全平方公式进行配方即可得到答案。
17.【答案】 7
【考点】多项式乘多项式
【解析】【解答】长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：
（3a+b）（a+2b）＝3a2+7ab+2b2 ，
∵A类卡片的面积为a2 ， B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2 ，
∴需要A类卡片3张，B类卡片7张，C类卡片2张，
故答案为：7．

【分析】根据长方形的面积=长×宽，求出长为3a+b，宽为a+2b的长方形的面积是多少，判断需要B类卡片多少张即可。
18.【答案】 15a4b2；6ab5
【考点】多项式乘多项式，探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵第六行6个数1,5,10,10,5,1，则第七行7个数为1,6,15,20,15,6,1；
则 (a+b)7=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab6+b7；
故答案为：1、15a4b2 ， 2、6ab5.
 
【分析】 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数都为它的上方(左右)两数之和，所以由第六行的数字可以得出第七行的数， 结合a的次数由大到小的顺序逐项写出展开式即可。
三、计算题
19.【答案】 （1）解： (2m2n−2)2⋅3m−3n3
= 4m4n−4⋅3m−3n3
= 4m4−3n−4+3
= 4mn−1
= 4mn ；

（2）解： (x2x−1− 2x1−x)÷ xx−1
= (x2x−1+ 2xx−1)· x−1x
= x2+2xx−1· x−1x
= x(x+2)x−1· x−1x
= x+2
当x = -3时，原式=-3+2=-1.
【考点】同底数幂的乘法，利用分式运算化简求值，负整数指数幂的运算性质，幂的乘方
【解析】【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可；（2）先变形后根据同分母的分式相加减的法则计算括号里面的，同时把除法变成乘法，再分解因式后约分，最后把x的值代入求出值即可.
四、解答题
20.【答案】 解： 2a2−2b2
= 2(a2−b2)
= 2(a+b)(a−b)
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】先提取公因式2，再利用平方差公式因式分解即可。
21.【答案】 （1）解：原式 =[3(m+n)+(m−n)][3(m+n)−(m−n)]=4(2m+n)(m+2n)
（2）解：原式 =(x2−6x+9)2=(x−3)4
（3）解：原式 =−2m(2m2−8m+13)
（4）解：原式 =(a2+4−4a)(a2+4+4a)=(a−2)2(a+2)2 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）将（x2−6x）当作整体，利用完全平方公式因式分解得到(x2−6x+9)2 ， 再利用完全平方公式因式分解即可；
（3）提取公因式-2m即可得到答案；
（4）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可。
 
 
22.【答案】 解：多项式A、B、C有公因式．
∵A=3x2﹣12=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2），
B=5x2y3+10xy3=5xy3（x+2），
C=（x+1）（x+3）+1=x2+4x+3+1=x2+4x+4=（x+2）2 ．
∴多项式A、B、C的公因式是：x+2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】将多项式A提取公因式，再利用平方差公式分解因式，再将多项式B提取公因式，将多项式C先去括号进行整理，再利用完全平方公式分解因式，然后观察即可得出三个多项式中的公因式。
23.【答案】 ① 因为m为正整数，所以2m为正偶数，
则 (b−a)2m=(a−b)2m,
(a−b)2m−1⋅(b−a)2m⋅(a−b)2m+1=(a−b)2m−1⋅(a−b)2m⋅(a−b)2m+1=(a−b)2m−1+2m+2m+1=(a−b)6m
② 因为m为正整数，所以2m-1,2m+1都是正奇数，
则 (a−b)2m−1=−(b−a)2m−1,(a−b)2m+1=−(b−a)2m+1
(a−b)2m−1⋅(b−a)2m⋅(a−b)2m+1=[−(b−a)2m−1]⋅(b−a)2m⋅[−(b−a)2m+1]=(b−a)2m−1+2m+2m+1=(b−a)6m
【考点】单项式乘单项式
【解析】【分析】根据整式的运算性质，结合（a-b）以及（b-a）的符号关系，分别进行讨论，得到答案即可。
24.【答案】 解：把 ② 代入 ① ，得
(my+n)2a2+y2b2=1 ，
∴b2(m2y2+2mny+n2)+a2y2=a2b2 ，
∴m2b2y2+2mnb2y+n2b2+a2y2−a2b2=0 ，
∴(a2+b2m2)y2+2mnb2y+(n2−a2)b2=0 ．
【考点】因式分解的应用
【解析】【分析】先把②式代入①式可以去掉x，然后整理y的函数，即可证明．