2021学年第五章 三角函数5.5 三角恒等变换优质导学案

第五章 三角函数

5.5三角恒等变换

第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【课程标准】

1. 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式、正切公式
2. 熟记和角公式和差角公式，并能利用公式进行求值、计算
3. 能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换

【知识要点归纳】

1.公式汇总：

两角差的余弦公式：=  

两角和的余弦公式：      

两角和正弦公式：      

两角差的正弦公式：       

两角和与差的正切公式：

2.倍角公式

（1）．二倍角的正弦、余弦、正切公式

（2）．和角公式、倍角公式之间的内在联系

在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：

（3）二倍角公式的逆用及变形

1．公式的逆用

；．

．

．

2．公式的变形

；

降幂公式：

升幂公式：

3.两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型

求值题、化简题、证明题

1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；

2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如

等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；

【经典例题】

例1．（1）；

（2）．

【解析】（1）原式

．

（2）原式==

    =

    =

    =

例2．已知，，且、均为第二象限角，求、和。

【解析】  ∵，，且、均在第二象限，

故，

，

故

==

例3.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为。

（1）求的值；

（2）求的值。

【解析】由三角函数定义可得，

又因为为锐角，所以因此

（1）；

（2）所以，

为锐角，

例4.求下列各式的值：

（1）；      ；      （3）．

【解析】

（3）

例5．求值：（1）已知，求．

（2）已知，求．

【解析】（1）===

（2）===

【当堂检测】

一．选择题（共8小题）

1．已知，，则　　

A．1 B．2 C．3 D．4

2．　　

A． B． C． D．

3．若，则的值为　　

A．3 B． C． D．

4．已知，为锐角，，，则　　

A． B． C． D．

5．已知角终边过点，则　　

A．2 B． C．1 D．

6．已知，则　　

A． B． C． D．

7．已知角的终边经过点，则　　

A． B． C． D．

8．若，，，则　　

A． B．0 C． D．

二．填空题（共2小题）

9．已知，则的值为　　．

10．已知是第一象限角，且，则　　．

当堂检测答案

一．选择题（共8小题）

1．已知，，则　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】由于，利用两角和的正切公式化简即可求解．

【解答】解：因为，

所以，

整理解得．

故选：．

【点评】本题主要考查了两角和的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

2．　　

A． B． C． D．

【分析】利用两角和的余弦公式，诱导公式化简即可求解．

【解答】解：．

故选：．

【点评】本题主要考查了两角和的余弦公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

3．若，则的值为　　

A．3 B． C． D．

【分析】首先利用三角函数的关系式的变换求出角的正切值，进一步利用和角的正切值的应用求出结果．

【解答】解：，

整理得．

所以．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：同角三角函数值的应用，和角的正切值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

4．已知，为锐角，，，则　　

A． B． C． D．

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，，的值，根据两角差的余弦函数公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角差的正切函数公式即可计算得解．

【解答】解：已知，为锐角，，且，

所以：，，

所以可得：，

由于：，

可得：，

所以：，可得，，

所以．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

5．已知角终边过点，则　　

A．2 B． C．1 D．

【分析】根据正切函数的定义求出的值，再计算的值．

【解答】解：角终边过点，所以，

所以．

故选：．

【点评】本题考查了正切函数的定义与两角和的正切公式计算问题，是基础题．

6．已知，则　　

A． B． C． D．

【分析】由题意利用诱导公式求得，再利用二倍角公式求得的值．

【解答】解：已知，则，

故选：．

【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．

7．已知角的终边经过点，则　　

A． B． C． D．

【分析】角的终边经过点，由三角函数的定义求出角正弦与余弦，进而利用二倍角公式，两角和的余弦公式即可求解．

【解答】解：角的终边经过点，

故，

由三角函数的定义知，，可得，，

故．

故选：．

【点评】本题考查三角函数的定义，知道终边上一点的坐标利用三角函数的定义求三角函数值是考查三角函数的定义的主要方式，属于基础题．

8．若，，，则　　

A． B．0 C． D．

【分析】由题意利用诱导公式、二倍角公式、两角和差的三角公式求出，再把所得式子平方，可得的值．

【解答】解：，，，

（舍去） 或，

平方可得，，即，

故选：．

【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．

二．填空题（共2小题）

9．已知，则的值为　　．

【分析】由题意利用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得结果．

【解答】解：，则，，

，

故答案为：．

【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．

10．已知是第一象限角，且，则　　．

【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．

【解答】解：已知是第一象限角，且，则，

故答案为：．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．