人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案设计

【新教材】4.5.2 用二分法求方程的近似解

（人教A版）

1.了解二分法的原理及其适用条件.

2.掌握二分法的实施步骤.

3.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.

1.数学抽象：二分法的概念；

2.逻辑推理：用二分法求函数零点近似值的步骤；

3.数学运算：求函数零点近似值；

4.数学建模：通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用.

重点：利用二分法求方程的近似解；

难点：利用二分法求方程的近似解．

一、 预习导入

阅读课本144-145页，填写。

1．二分法的概念

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的_______所在的区间_________，使区间的两个_________逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

[点睛]　二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．

2．用二分法求函数零点近似值的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.

第二步，求区间(a，b)的_________c.

第三步，计算f(c)：

(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(c)<0，则令_________＝c(此时零点x0∈(a，c))；

(3)若f(c)·f(b)<0，则令_________＝c(此时零点x0∈(c，b))．

第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|_________ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．(　　)

(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．(　　)

(3)精确度ε就是近似值．(　　)

2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)

3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)

A．[－2,1]　　　　　　　　 B．[－1,0]

C．[0,1]   D．[1,2]

4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．

题型一    二分法概念的理解

例1　下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是                                  （   ）

跟踪训练一

1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求

解的个数分别为         (　　)

A．4,4　　 B．3,4    C．5,4      D．4,3

题型二   用二分法求方程的近似解

例2 求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度0.1).

跟踪训练二

1. 用二分法求2x+x=4在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2).

参考数据:

1．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　)

A．f(x)＝x3－1　　　　　　 B．f(x)＝ln x＋3

C．f(x)＝x2＋2x＋2   D．f(x)＝－x2＋4x－1

2．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1   B．x2

C．x3   D．x4

3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度0.1)为(　　)

A．1.2   B．1.3

C．1.4   D．1.5

4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)＜0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．

5．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是____________．

6．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．

答案

小试牛刀

1．(1)×　(2)×　(3)×

2．A

3. A

4.(0,0.5)　f(0.25)

自主探究

例1　【答案】C．

【解析】A中，函数无零点．B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，故选C.

跟踪训练一

1.【答案】D

【解析】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.

例2 【答案】-2.25

【解析】由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间[-3,-2]作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下:

由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1,所以函数的一个近似负零点可取-2.25.

跟踪训练二

1.【答案】1.375

【解析】令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0.

∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,∴2x+x=4在(1,2)内的近似解可取为1.375.

当堂检测 

1-3、CCC

4、(2,3) 

5、a2＝4b

6、【答案】函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2

【解析】由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1,2)．

下面用二分法求解：

因为f(1.187 5)·f(1.25)＜0，且|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2.