人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试同步测试题

第三章　三角恒等变换

本章复习提升

易混易错练

易错点1　忽略角的范围致错

1.(★★☆)已知sin α=-,π<α<,求cos的值.

2.(★★☆)已知0<α<,-<β<0,cos=,cos=.

(1)求cos α的值;

(2)求cos的值.

3.(2018山东烟台栖霞一中高一下期末,★★☆)已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1,x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值.

易错点2　忽略角的特殊关系致错

4.(★★☆)若sin=,则cos=(　　)

A.- B. C.- D.

5.(★★☆)若cos=,sin=,α∈,β∈,则cos(α+β)=(　　)

A. B.- C.- D.

6.(★★☆)已知α,β为锐角,sin α=,cos(α+β)=.

(1)求cos的值;

(2)求sin β的值.

易错点3　不能灵活运用公式变形致错

7.(★★☆)计算cos 70°cos 335°+sin 110°sin 25°的结果是(　　)

A. B.1 C. D.

8.(★★☆)已知sin x-sin y=-,cos x-cos y=,且x,y为锐角,则tan(x-y)的值是(　　)

A. B.-

C.± D.-

思想方法练

一、变换思想在三角函数求值中的应用

1.(2019重庆高三调研,★★☆)已知α为锐角,且tan=2,则sin 2α=(　　)

A. B. C. D.

2.(2019辽宁沈阳高一下期末,★★☆)已知tan=3,则sin 2θ-2cos2θ=(　　)

A.-1 B.- C. D.-

3.(2019陕西黄陵中学高一上期末,★★☆)已知cos α+cos β=,sin α+sin β=,则cos(α-β)=　　　　. 

4.(2020四川泸州泸化中学高一月考,★★☆)已知函数f(x)=cos2x+sin xcos x+1,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期和最值;

(2)设α∈,且f=,求cos的值.

二、转化与化归思想在解决与三角函数性质相关的问题中的应用

5.(★★☆)函数y=2cos2+1的最小正周期是(　　)

A.4π B.2π C.π D.

三、分类讨论思想在三角恒等变换及三角函数性质中的应用

6.(★★★)已知函数f(x)=cos(x+θ)为奇函数,且 f =0,其中a∈R,θ∈(0,π).

(1)求a,θ的值;

(2)若α∈,f+coscos 2α=0,求cos α-sin α的值.

四、数形结合思想在解三角函数问题中的应用

7.(2019山东烟台栖霞一中高一下期末,★★★)若函数f(x)=sin x+cos x+a在(0,2π)内有两个不同的零点α,β.

(1)求实数a的取值范围;

(2)求tan(α+β)的值.

五、换元思想在处理三角函数问题中的应用

8.(2020山西大学附中高一月考,★★★)已知函数f(x)=cos+2sincos,x∈.

(1)若f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;

(2)令g(x)=f 2(x)+2mf(x)+2m+1,求g(x)的最小值h(m)的表达式.

答案全解全析

第三章　三角恒等变换

本章复习提升

易混易错练

1.解析　∵π<α<,sin α=-,

∴cos α=-,<<,

∴cos =-=-.

2.解析　(1)∵0<α<,

∴<+α<.

∵cos+α=,

∴sin+α=,

∴cos α=cos+α-

=cos+αcos +sin+αsin

=×+×=.

(2)∵-<β<0,∴<-<.

∵cos-=,

∴sin-=.

∴cosα+=cos+α--=cos+αcos-+

sin+αsin-

=×+×=.

3.解析　(1)由题意得f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1=sin 2x-cos 2x=sin2x-,

∴函数f(x)的最小正周期T==π.

(2)解法一:∵≤x≤,

∴0≤2x-≤,

∴当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增;

当≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递减.

∴当x=时,f(x)取得最大值,且最大值为f=;

又f=0,f=sin-=-cos=-1,

∴函数f(x)在区间,上的最小值为-1.

解法二:作出函数f(x)=sin2x-在区间,上的图象,如图所示.

由图象得函数f(x)在区间,上的最大值为f=,最小值为f=-1.

4.A　∵sin-α=cos--α=cos+α=,

∴cos+2α=cos

=2cos2+α-1=2×2-1=-.

故选A.

5.C　因为α∈,,

所以-α∈-,0,

所以sin-α=-=-.

因为β∈0,,

所以+β∈,,

所以cos+β==,

所以cos(α+β)=cos+β--α=cos+βcos-α+sin+βsin-α=×+×-=-,故选C.

6.解析　(1)∵α为锐角,sin α=,

∴cos α==.

∴cosα-=cos αcos+sin αsin

=×+×=.

(2)∵α,β为锐角,∴α+β∈(0,π),

由cos(α+β)=得sin(α+β)==,

∴sin β=sin[(α+β)-α]

=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α

=×-×=.

7.A　cos 70°cos 335°+sin 110°sin 25°

=cos 70°cos 25°+sin 70°sin 25°

=cos(70°-25°)=cos 45°=.故选A.

8.B　∵sin x-sin y=-,cos x-cos y=,∴(sin x-sin y)2=,(cos x-cos y)2=,两式左、右两边分别相加得2-2sin xsin y-2cos xcos y=,∴cos(x-y)=.

∵x,y为锐角,sin x-sin y<0,∴x<y,

∴sin(x-y)=-=- ,

∴tan(x-y)==- =-.

故选B.

思想方法练

1.C　tan===-,

又tan=tan2α+

==-,∴tan 2α=7,

∴sin22α===.

∵α是锐角,∴0<2α<π,

∴sin 2α=,故选C.

2.B　∵tan+θ==3,

∴tan θ=,

则sin 2θ-2cos2θ=

===-.

故选B.

3.答案　-

解析　cos α+cos β=,sin α+sin β=,

两式两边分别平方并相加得cos2α+cos2β+2cos αcos β+sin2α+sin2β+2sin αsin β=1,整理得cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=-.

4.解析　(1)f(x)=+sin 2x+1

=cos 2x+sin 2x+

=sin2x++,

∴函数f(x)的最小正周期是π,最大值为,最小值为.

(2)∵fα+=,

∴sin2α+++=,

故sin2α+=.

∵α∈,,∴2α+∈,π,∴cos2α+=-.

∴cos=cos

=cos2α+cos+sin2α+sin=-+×=-.

5.B　∵y=2cos2+1=2cos2-1+2=cos x+2,

∴函数的最小正周期T=2π.

6.解析　(1)因为f(x)=a+2cos2·cos(x+θ)是奇函数,

所以a+2cos2cos(x+θ)

=-a+2cos2cos(-x+θ),

整理得cos xcos θ=0,所以cos θ=0.

又θ∈(0,π),所以θ=,

所以f(x)=-sin x·a+2cos2,

由f=0,得-(a+1)=0,即a=-1.

(2)由(1)知f(x)=-sin 2x,

因为f++cosα+cos 2α=0,

所以sinα+=cosα+cos 2α.

因为cos 2α=sin2α+ =sin2α+=2sinα+cosα+,

所以sinα+=cos2α+·sinα+,

又α∈,所以α+∈,所以sinα+=0或cos2α+=.

①由sinα+=0,<α+<,得α+=π,所以α=,

所以cos α-sin α=cos -sin =-.

②由cos2=,<α+<,

得cosα+=-,所以(cos α-sin α)=-,

所以cos α-sin α=-.

综上,cos α-sin α的值为-或-.

7.解析　(1)f(x)=sin x+cos x+a=2+a=2sin+a,

∵函数f(x)=sin x+cos x+a在(0,2π)内有两个不同的零点,

∴关于x的方程sin x+cos x+a=0在(0,2π)内有两个不同的解,

即方程sinx+=-在(0,2π)内有两个不同的解.

作出y=sinx+在(0,2π)上的图象.

结合图象可得,若方程有两个不同的解,则满足-1<- <1且-≠,

解得-2<a<2且a≠-.

∴实数a的取值范围是(-2,-)∪(-,2).

(2) ∵ α,β是方程sin x+cos x+a=0的两个不同的解,

∴sin α+cos α+a=0,①

sin β+cos β+a=0,②

①-②得(sin α-sin β)+(cos α-cos β)=0,

∴2sincos-2sinsin=0,

又sin≠0,∴tan=,

∴tan(α+β)==.

8.解析　(1)f(x)=cos2x-+2sinx-cosx-=cos2x-+sin2x-=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin2x-,

∵f(x)≥a恒成立,∴只需f(x)min≥a即可.

∵x∈-,,

∴2x-∈-,,

∴当2x-=-,即x=-时,f(x)有最小值-,故a≤-.

(2)令f(x)=t,t∈-,1,

φ(t)=t2+2mt+2m+1=(t+m)2-m2+2m+1,

当-m≤-,即m≥时,h(m)=φ-=(2-)m+;

当-<-m≤1,即-1≤m<时,h(m)=φ(-m)=-m2+2m+1;

当-m>1,即m<-1时,h(m)=φ(1)=4m+2.

综上,h(m)=