高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换本章综合与测试精练

本章复习提升

易混易错练

易错点1　对向量的夹角理解有误

1.(★★☆)在△ABC中,已知||=6,||=5,∠A=30°,求·.

2.(★★☆)已知a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,当向量a+λb与λa+b的夹角为钝角时,求λ的取值范围.

易错点2　对向量模的运算及意义理解有误

3.(★★☆)若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则(　　)　　　　　　　　　　　　　　

A.|2a|>|2a+b|      B.|2a|<|2a+b|

C.|2b|>|a+2b|      D.|2b|<|a+2b|

4.(★★☆)已知a≠e,|e|=1,对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则(　　)

A.a⊥e      B.a⊥(a-e)    C.e⊥(a-e)     D.(a+e)⊥(a-e)

5.(★★☆)已知P为△ABC所在平面内一点,且满足||+||+||=0,则点P为△ABC的　　　　心. 

易错点3　忽略角的范围致错

6.(★★☆)若cos α=,α∈,则tan =　. 

7.(★★☆)已知0<α<,-<β<0,cos=,cos=.

(1)求cos α的值;

(2)求cos的值.

8.(★★☆)已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1,x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值.

易错点4　忽略角的特殊关系致错

9.(★★☆)若sin=,则cos=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.-     B.       C.-       D.

10.(★★☆)若cos=,sin=,α∈,β∈,则cos(α+β)=(　　)

A.    B.-     C.-      D.

易错点5　不能灵活运用公式变形致错

11.(★★☆)计算cos 70°cos 335°+sin 110°sin 25°的结果是(　　)

A.      B.1      C.       D.

12.(★★☆)已知sin x-sin y=-,cos x-cos y=,且x,y为锐角,则tan(x-y)的值是(　　)

A.      B.-     C.±   D.-

思想方法练

一、方程思想在向量运算中的应用

1.(★★☆)已知向量a=(1,2),b=(m,-1),且(a+b)⊥a,则实数m的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　

A.-1      B.2       C.-3      D.4

2.(★★☆)已知菱形ABCD的边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R.若·=-3,则λ=(　　)

A.         B.-       C.        D.-

二、数形结合思想在向量运算中的应用

3.(★★☆)在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,·=4,点P在边CD上,则·的取值范围是(　　)

A.[-1,8]　    B.[-1,+∞)　    C.[0,8]　     D.[-1,0]

4.(★★☆)如图所示,在6×4的网格中,每个小正方形的边长均为1,点O,A,B,C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点),求·的值.

5.(★★★)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=BC=2,CD=1,∠ABC=,E是边BC上一动点,求·的最小值.

三、分类讨论思想在三角恒等变换中的应用

6.(★★★)已知函数f(x)=cos(x+θ)为奇函数,且f=0,其中a∈R,θ∈(0,π).

(1)求a,θ的值;

(2)若α∈,f+coscos 2α=0,求cos α-sin α的值.

四、转化与化归思想在三角恒等变换中的应用

7.(★★☆)已知α为锐角,且tan=2,则sin 2α=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.     B.       C.      D.

8.(★★☆)已知cos α+cos β=,sin α+sin β=,则cos(α-β)=　　　　. 

9.(★★☆)已知函数f(x)=cos2x+sin xcos x+1,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期和最值;

(2)设α∈,且f=,求cos的值.

答案全解全析

易混易错练

1.解析　因为||=6,||=5,∠A=30°,

向量和的夹角为∠A的补角,为150°,

所以·=||×||×cos 150°=6×5×-=-15.

2.解析　因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°,

所以a·b=|a||b|cos 120°=1×2×=-1.

因为向量a+λb与λa+b的夹角为钝角,

所以(a+λb)·(λa+b)<0,且两向量不共线.

又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,所以λ-(λ2+1)+4λ<0,

解得λ<或λ>.

又当(a+λb)∥(λa+b)时,λ=±1,

所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪∪.

3.C　由|a+b|=|b|得a2+2a·b+b2=b2,即2a·b=-a2.又(2a+b)2-(2a)2=4a·b+b2=b2-2a2,符号不能确定,故A,B均不对.又(a+2b)2-(2b)2=a2+4a·b=-a2<0,故|2b|>|a+2b|.故选C.

4.C　由|a-te|≥|a-e|得(a-te)2≥(a-e)2,即t2-2ta·e+2a·e-1≥0恒成立,则Δ≤0,即4(a·e)2-4(2a·e-1)≤0,即(a·e-1)2≤0,得e·a=1,故e·(a-e)=e·a-e2=1-1=0,

即e⊥(a-e).故选C.

5.答案　内

解析　由题意得||+||(+)+||(+)=0,

即·(||+||+||)+||·+||·=0,

∴=

=·.

又==1,所以在∠ACB的平分线上.同理在∠BAC的平分线上,故P为△ABC的内心.

6.答案　

解析　因为α∈0,,所以∈0,.又cos α=,

所以tan ===.

7. 解析　(1)∵0<α<,

∴<+α<.

∵cos+α=,

∴sin+α=,

∴cos α=cos+α-

=cos+αcos +sin+αsin

=×+×=.

(2)∵-<β<0,∴<-<.

∵cos-=,

∴sin-=,∴cosα+

=cos+α--

=cos+αcos-+

sin+αsin-

=×+×=.

8.解析　(1)f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1=sin 2x-cos 2x=sin2x-.

∴函数f(x)的最小正周期T==π.

(2)∵≤x≤,

∴0≤2x-≤,

∴当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增;

当≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递减.

∴当x=时, f(x)取得最大值,且最大值为f=.

又f=0, f=sin-=-cos=-1,

∴函数f(x)在区间,上的最小值为-1.

9.A　∵sin-α=cos--α

=cos+α=,

∴cos+2α=2cos2 +α-1=2×2-1=-.

故选A.

10.C　因为α∈,,所以-α∈-,0,

所以sin-α=-=-.

因为β∈0,,所以+β∈,,

所以cos+β==,

所以cos(α+β)=cos+β--α=cos+βcos-α+sin+βsin-α=×+×-==-.故选C.

11.A　cos 70°cos 335°+sin 110°sin 25°

=cos 70°cos 25°+sin 70°sin 25°

=cos(70°-25°)=cos 45°=.故选A.

12.B　∵sin x-sin y=-,cos x-cos y=,∴(sin x-sin y)2=,(cos x-cos y)2=,两式左右两侧分别相加得2-2sin xsin y-2cos xcos y=,∴cos(x-y)=.

∵x,y为锐角,sin x-sin y<0,∴x<y,

∴sin(x-y)=-=-,

∴tan(x-y)==- =-.

故选B.

思想方法练

1.C　∵向量a=(1,2),b=(m,-1),

∴a+b=(1+m,1).

∵(a+b)⊥a,

∴(a+b)·a=0,即1+m+2=0,

∴m=-3.

故选C.

2.A　·=(- )·(- )=(- )·(λ-- )=λ(·- )=λ22cos -22=-6λ=-3,解得λ=.故选A.

3.A　∵AB=4,AD=2,·=4,∴||·||·cos∠DAB=4,

∴cos∠DAB=,∴∠DAB=60°.

以A为原点,AB所在的直线为x轴,AB的垂线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),∴A(0,0),B(4,0),D(1,).

设P(x,)(1≤x≤5),∴=(-x,-),=(4-x,-),

∴·=x(x-4)+3=x2-4x+3=(x-2)2-1,

设f(x)=(x-2)2-1(1≤x≤5),则f(x)在[1,2)上单调递减,在[2,5]上单调递增,

结合二次函数的性质可知:函数的最小值为 f(2)=-1,函数的最大值为f(5)=8,则·的取值范围是[-1,8].

4. 解析　设水平向右和竖直向上的单位向量分别为e1和e2,

则|e1 |=|e2 |=1,且e1·e2=0,

由题图可知=3e1+2e2,=6e1-3e2,

所以·=(3e1+2e2)·(6e1-3e2)=18+3e1·e2-6=12.

5.解析　过点C作CF⊥AB,垂足为F,

因为AB=BC=2,CD=1,∠ABC=,所以BF=1,CF=,AF=CD=1.

又因为AF∥DC,所以四边形AFCD为矩形.

以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,

则A(0,0),C(1,),B(2,0),D(0,),=(1,-).

设E(x,y)(1≤x≤2),所以=(x-1,y-).

因为∥,所以y-+(x-1)=0,

所以y=-x+2.

因为=(x,y),=(x,y-),

所以·=x2+y2-y=x2+(2-x)2-(2-x)=4x2-9x+6=4x-2+(1≤x≤2),

当x=时,·取得最小值.

6.解析　(1)因为f(x)=a+2cos2·cos(x+θ)是奇函数,

所以a+2cos2cos(x+θ)=-a+2cos2cos(-x+θ),

整理得cos xcos θ=0,

所以cos θ=0.又θ∈(0,π),得θ=,所以f(x)=-sin x·a+2cos2.

由f=0,得-(a+1)=0,即a=-1.

(2)由(1)易知f(x)=-sin 2x,

f++cosα+cos 2α=0,即sinα+=cosα+cos 2α.

因为cos 2α=sin2α+

=sin2α+=2sinα+cosα+,

所以sinα+=cos2α+·sinα+.

又α∈,所以α+∈,所以sinα+=0或cos2α+=.

由sinα+=0,得α=,

所以cos α-sin α=cos -sin =-.

由cos2=,<α+<,得cosα+=-,

所以(cos α-sin α)=-,

所以cos α-sin α=-.

综上,cos α-sin α=-或-.

7.C　tan 2α+===-,

又tan 2α+=tan2α+==-,

∴tan 2α=7,∴sin22α===.

∵α是锐角,∴0<2α<π,∴sin 2α=.

故选C.

8.答案　-

解析　cos α+cos β=,sin α+sin β=,

两式两边分别平方并相加得cos2α+cos2β+2cos αcos β

+sin2α+sin2β+2sin αsin β=1,整理得cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=-.

9.解析　(1)f(x)=+sin 2x+1

=cos 2x+sin 2x+

=sin2x++,

∴函数f(x)的最小正周期是π,最大值为,最小值为.

(2)∵fα+=,

∴sin2α+++=,

∴sin2α+=.

∵α∈,,∴2α+∈,π,∴cos2α+=-.

又cos=cos,

∴cos2α+=cos2α+cos+sin2α+sin=-+×=-.