2020-2021学年第七章 三角函数本章综合与测试当堂检测题

专题强化练2　妙用同角三角函数的基本关系求值

一、单项选择题

1.(2019江西玉山一中高一下月考,★★☆)已知tan θ=2,则=(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.        B.      C.2        D.-1

2.(2019河北唐山高三二模,★★☆)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点A(2sin α,3),则cos α=(　　)

A.          B.-     C.        D.-

3.(2019广东中山一中高一下段考,★★☆)已知sin α·cos α=,且<α<,则cos α-sin α=(　　)

A.       B.-     C.        D.-

4.(2019甘肃武威一中高一下段考,★★☆)化简+的结果为(　　)

A.-3       B.-1     C.1        D.3

5.(2019河南安阳高三一模,★★☆)+的最小值为(　　)

A.18       B.16     C.8        D.6

二、填空题

6.(2019江西上饶“山江湖”协作体高一下统考,★★☆)若角A是三角形ABC的内角,且tan A=-,则sin A+cos A=　　　　. 

7.(★★☆)已知tan θ=2,则+sin2θ=　　　　. 

三、解答题

8.(★★☆)已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.

9.(★★☆)已知角α∈,且满足sin α+cos α=.

(1)求cos α-sin α的值;

(2)求sin3α+cos3α的值.

10.(★★☆)已知<θ<π,tan θ+=-.

(1)求tan θ的值;

(2)求+sin θcos θ的值.

11.(★★☆)已知sin α+cos α=(0<α<π).

(1)求+的值;

(2)求tan α的值.

答案全解全析

一、单项选择题

1.A　=,把tan θ=2代入,得原式==.

2.A　由三角函数定义得tan α=,即=,得3cos α=2sin2α=2(1-cos2α),解得cos α=或

cos α=-2(舍去).

3.B　由题意得(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,∵<α<,

∴cos α-sin α<0,∴cos α-sin α=-.

4.A　+=+,因为sin 4<0,cos 3<0,所以原式=+=-2-1=-3.

5.B　因为+=(sin2α+cos2α)·≥9+1+2=16,所以+的最小值为16.

二、填空题

6.答案　-

解析　由题意得 解得

∴sin A+cos A=-.

7.答案　

解析　+sin2θ =1++ =1++,

把tan θ=2代入,得原式=1++=.

三、解答题

8.证明　由tan2α=2tan2β+1,可得tan2β=(tan2α-1),即=-1,

故有=×-1=×,整理得=,

即sin2β(1-sin2α)=(1-sin2β)sin2α-,

展开化简,得sin2β=sin2α-,即sin2β=2sin2α-1.

9.解析　(1)由sin α+cos α=两边平方,得1+2sin αcos α=,所以2sin αcos α=-,

所以(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=.

因为α∈,所以cos α-sin α<0,

所以cos α-sin α=-.

(2)  由题及(1)知,sin α+cos α=,sin α·cos α=-,所以sin3α+cos3α=(sin α+cos α)(1-sin αcos α)

=×=.

10.解析　(1)由tan θ+=-,得3tan2θ+10tan θ+3=0,

解得tan θ=-3或tan θ=-.

∵<θ<π,∴-1<tan θ<0,

∴tan θ=-.

(2)由(1)知tan θ=-,

∴+sin θcos θ=+=+=+=.

11.解析　(1)因为sin α+cos α=,

所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,

所以sin αcos α=-.所以+===-.

(2)因为sin αcos α=-<0,0<α<π,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0.

又因为(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2×-=,

所以sin α-cos α=.

所以

解得

所以tan α===-.