艺术生高考数学专题讲义：考点16 同角三角函数的关系式及诱导公式

考点十六  同角三角函数的关系式及诱导公式

知识梳理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：＝tan α.

2.诱导公式

统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，

对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．

典例剖析

题型一  同角三角函数关系应用

例1　已知α是第二象限角，tan α＝－，则sin α＝________．

答案 

解析  由解得sin α＝±.∵ α为第二象限角，∴  sin α>0，∴  sinα＝.

变式训练  已知α∈，sin α＝，则tan α＝________.

答案  －

解析  ∵α∈，∴cos α ＝－＝－，

∴tan α＝ ＝－.

例2　(1)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝________.

(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝        .

答案  (1)     (2)

解析  (1)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ

＝

＝＝＝＝.

(2)sin θcos θ＝＝＝＝.

解题要点  (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．

(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

(3)应熟练掌握齐次式问题求值，通过代数式变形，把所求值化为关于tan θ的齐次式，从而使问题得解.

题型二  sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α “三姊妹”问题

例3　已知sin α＋cos α＝，且α∈；求

(1)sin α·cos α；

(2)sin α－cos α；

(3)tan α.

解析　(1)因为sin α＋cos α＝，

所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝()2，即2sin α·cos α＝－，所以sin α·cos α＝－.

(2) 由sin α·cos α＝－可得(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1＋＝，

又2sin α·cos α＝－<0,0<α<π，所以sin α>0，cos α<0，即sin α－cos α>0，

故sin α－cos α＝＝，

(3)由得所以tan α＝－.

变式训练  已知sin θ＋cos θ＝(0＜θ＜π)，求tan θ的值．

解析　将已知等式两边平方，得sin θcos θ＝－，∴＜θ＜π，

∴sin θ－cos θ＝＝＝.

解方程组得

∴tan θ＝＝.

解题要点  对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，基本解题策略是借助方程思想，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．

题型三  三角函数诱导公式的应用

例4　(1) cos＝________．

(2) 已知cos＝，求cos＝________．

答案　 (1)－  (2) －

解析　(1) cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.

(2) ∵＋＝π，

∴－α＝π－.

∴cos＝cos＝－cos＝－，即cos＝－.

变式训练  化简：.

解析　原式＝＝＝＝－1.

解题要点  (1) 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2kπ＋α(k∈Z)，0≤α＜2π；② 转化为锐角．

(2)要善于观察角度间的关系，注意“整体思想”的运用，适当将角变形，如化π＋α为π＋或2π－．

(3)注意确定相应三角函数值的符号，另外切化弦是常用的规律技巧．

当堂练习

1．已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝________．

答案  －

解析  ∵α是第二象限角，∴cosα＝－＝－＝－.

2．若cosα＝，α∈(－，0)，则tanα等于________．

答案 

解析  由已知得sinα＝－＝－＝－，

∴tanα＝＝－2.

3. 已知α是第四象限角，tan(π－α)＝，则sinα等于________．

答案  －

解析  由诱导公式可得：tan(π－α)＝－tanα，∴tanα＝－，∴＝－，

又∵sin2＋cos2α＝1，α是第四象限角，∴sinα＝－.

4．若tanα＝3，则的值等于________．

答案  6

解析  ＝＝＝2tanα＝6.

5．已知sin 2α＝－，α∈，则sin α＋cosα等于________．

答案 

解析  (sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，又α∈，sinα＋cosα>0，

所以sinα＋cosα＝.

课后作业

一、    填空题

1． tan150°的值为________．

答案  －

解析  tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－.

2．已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝________．

答案  －

解析  由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－.

3．已知cos α＝－，角α是第二象限角，则tan(2π－α)等于________．

答案 

解析  ∵cos α＝－，α是第二象限角，

∴sin α＝＝，

∴tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.

4．α是第一象限角，tanα＝，则sinα＝________．

答案 

解析  tanα＝＝，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sinα＝.

5．若cosα＝，α∈，则tanα等于________．

答案 －2

解析  由已知得sinα＝－＝－＝－，∴tanα＝＝－2.

6．若＝，则tan2α等于________．

答案

解析  ∵＝＝，∴tanα＝－3.∴tan2α＝＝.

7．已知sinθ＋cosθ＝，则sinθ－cosθ的值为________．

答案  －

解析  ∵sinθ＋cosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝，∴sin2θ＝，又0<θ<，∴sinθ<cosθ，∴sinθ－cosθ＝－＝－＝－.

8．已知tanθ＝2，则＝________．

答案  －2

解析  ＝＝＝＝＝－2.

9．如果sin(π＋A)＝，那么cos(π－A)的值是________．

答案 

解析  ∵sin(π＋A)＝，∴－sinA＝.∴cos(π－A)＝－sinA＝.

10．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝__________.

答案  －

解析  ∵sinθ<0，tanθ>0，∴θ为第三象限角，∴cosθ＝－＝－.

11．设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝________.

答案  －

解析  tan(θ＋)＝＝，解得tanθ＝－，又θ位于第二象限得sinθ＝，cosθ＝－，所以sinθ＋cosθ＝－.

二、解答题

12． 若tanα＋＝3，计算下列各式的值：

(1) sinαcosα;

(2) tan2α＋.

解析  (1)∵tanα＋＝3，∴＋＝3，即＝3.∴sinαcosα＝.

(2) tan2α＋＝2－2tanα·＝9－2＝7.

13．已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，求tanθ的值．

解析  由sinθ＋cosθ＝，

两边平方得sinθ·cosθ＝－，

∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1＋＝＝2.

∵θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝(－1)<1，

∴θ∈，∴sinθ－cosθ>0，

∴sinθ－cosθ＝.由得sinθ＝，cosθ＝－.

∴tanθ＝－.